1、重庆理工大学硕士研究生试题专用纸重庆理工大学 2018 年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：理学院 学科、专业名称：数学，统计学考试科目（代码）：高等代数（822）（A卷） （试题共 4 页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题与答题纸装入原信封内交回。一、填空题（每小题3分，共15分）1. 方程的所有根为_.2. 设, 为2阶单位矩阵,则_.3. 方程组有解的充要条件是_.4. 已知为3阶方阵, 与相似, 且的特征值为1,2,3.设为的伴随矩阵，则_.5. 已知实二次型经正交变换可化为标准形,则_.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设为
2、数域上的多项式,则下列说法正确的是( ).(A) 若,则 (B) 若,则 (C) 若互素,则两两互素 (D) 若,则或2. 设3阶方阵的秩,则( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 33. 设向量组可由向量组线性表示,则下列说法正确的是( ).(A) 当 时, 向量组必线性相关(B) 当 时, 向量组必线性相关(C) 当 时, 向量组必线性相关(D) 当 时, 向量组必线性相关4. 若阶矩阵的任意一行的个元素之和都是,则必有一个特征值为( ).(A) (B) (C) 0 (D) 5. 设是欧氏空间的一个正交变换,则下列说法不正确的是( ).(A) 保持向量的内积不变 (B) 保持向
3、量的长度不变 (C) 不一定是可逆变换 (D) 在任一规范正交基下的矩阵是正交矩阵3、 ( 14分)证明：设是数域上的次数大于0的多项式, 则是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是,对上的任意多项式, 必有, 或者对某一正整数,有.4、 (18分)计算阶行列式.五、(16分)设是阶方阵,是阶矩阵,且,证明：(1) (10分)如果,那么；(2) (6分)如果,那么.六、(18分)已知向量组,，,设生成的子空间为,生成的子空间为.(1) (10分)求子空间的维数； (2) (8分)求子空间的一个极大无关组.七、(20分)设是数域上所有3维行向量构成的向量空间，是的一个线性变换, 给定的一个基：，且在基，下的矩阵是.(1)(8分)求出在基，下的矩阵；(2) (6分)求出的特征值和特征向量；(3) (6分)判定能否相似对角化.八、(14分)设是阶正定矩阵，是阶单位矩阵.(1) (8分)证明：的伴随矩阵是正定的；(2) (6分)证明：大于.九、(20分)已知实二次型可()通过变量的正交变换化为标准形.(1) (8分)求的值；(2) (12分)求出将化为标准形时所用的正交变换的矩阵.第 5 页 (共4页)
