1、 三角形（优生集训）三角形（优生集训） 一、综合题一、综合题 1已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，点 D 是直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、C 重合） ，连接 CE, （1）在图 1 中，当点 D 在边 BC 上时，求证：BC=CE+CD； （2）在图 2 中，当点 D 在边 BC 的延长线上时，结论 BC=CE+CD 是否还成立？若不成立，请猜想 BC、CE、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图 3 中，当点 D 在边 BC 的反向延长线上时，补全图形，不需写证明过程，直接写出BC、CE、CD 之间存在的数量关系 2如图 1，直角三角形 DEF 与直角三角形 AB
2、C 的斜边在同一直线上， ， ， 如图 2，连接 CD，CD 平分 ，将 绕点 D 按逆时针方向旋转，记 为 . （1） 的度数为 . （2）如图 3，在旋转过程中，当顶点 C 在 内部时，边 DF，DE 分别交 BC，AC 的延长线于点 M，N. 求 的度数范围； 与 度数的和是否变化？若不变，请求出 与 的度数和；若变化，请说明理由. 3 （ ）的三条角平分线相交于点 ，延长 交 于点 作 ，交 延长线于点 （1）若 ，则 ； （2）判断 与 的数量关系，并说明理由； （3）求证 4综合与探究：问题情景：如图 1 所示，已知，在ABC中，ACBA，ACB90，AD 是ABC的中线，过点 C
3、 作 CEAD，垂足为 M，且交 AB 于点 E （1） （探究一）小虎通过度量发现BCECAD，请你帮他说明理由； （2） （探究二）小明在图中添加了一条线段 CN，且 CN 平分ACB交 AD 于点 N，如图 2 所示，即可得 CNBE，符合题意吗？请说明理由； （3） （探究三）小刚在（2）的基础上，连接 DE，如图 3 所示，又发现了一组全等三角形，你能发现吗？请找出来，并说明理由 5如图 1，ABC为等边三角形，三角板的 60角顶点与点 C 重合，三角板的一直角边与 AB 交于点 D，在三角板斜边上取一点 F，使 CFCD，线段 AB 上取点 E，使DCE30，连接 AF、EF （1
4、）求证：ACFBCD； （2）写出线段 DE 与 EF 之间的数量关系，并说明理由； （3）如图 2，若ABC为等腰直角三角形，ACB90，三角板的 90角顶点与点 C 重合，三角板的一直角边与 AB 交于点 D，在三角板另一直角边上取一点 F，使 CFCD，在线段 AB 上取点E，使DCE45，连接 AF、EF求EAF 6如图 1，ABC90，FAAB于点 A，D 是线段 AB 上的点，ADBC，AFBD （1）判断 DF 与 DC 的数量关系为 ，位置关系为 （2）如图 2，若点 D 在线段 AB 的延长线上，过点 A 在 AB 的另一侧作 AFAB，并截取 AFBD，连接 DC、DF、C
5、F，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由 （3）若点 D 在线段 AB 外，点 E 是 BC 延长线上一点，且 CEBD，连接 AE，与 DC 的延长线交于点 P，直接写出APC的度数 7【探究】如图，AFH和CHF的平分线交于点 O，EG 经过点 O 且平行于 FH，分别与 AB、CD 交于点 E、G （1）若AFH60，CHF50，则EOF 度，FOH 度 （2）若AFH+CHF100，求FOH的度数 （3） 【拓展】如图，AFH和CHI的平分线交于点 O，EG 经过点 O 且平行于 FH，分别与AB、CD 交于点 E、G若AFH+CHF，直接写出FOH的度数 （用含 a 的代数式表示）
6、 8已知 AMCN，点 B 为平面内一点，ABBC于 B(温馨提示：本题可能用到知识点：三角形三角和为 180) （1）如图 1，若A=40，求C的度数； （2）如图 2，过点 B 作 BDAM于点 D，说明：ABD=C； （3）如图 3，在(2)问的条件下，点 E、F 在射线 DM 上，连结 BE、BF、CF，BF 平分DBC，BE 平分ABD，若FCB+NCF= 180 ，BFC=3DBE，求EBC的度数。 9直线 与直线 垂直相交于 ，点 在直线 上运动，点 在直线 上运动. （1）如图 1，已知 ， 分别是 和 角的平分线，点 、 在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请
7、说明变化的情况；若不发生变化，试求出 的大小. （2）如图 2，已知 不平行 ， 、 分别是 和 的角平分线，又 、 分别是 和 的角平分线，点 、 在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值. （3）如图 3，延长 至 ，已知 ， 的角平分线与 的角平分线及延长线相交于 、 ，在 中，如果有一个角是另一个角的 3 倍，直接写出 的度数 . 10某学习小组发现一个结论：已知直线 a/b，若直线 c/a，则 c/b，他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线 AB/CD，点 E 在 AB，CD 之间，点 P，Q 分别在直线 A
8、B，CD 上，连接 PE，EQ （1）如图 1，作 EH/AB，运用上述结论，探究PEQ与APE+CQE间的数量关系，并说明理由； （2）如图 2，PF 平分BPE，QF 平分EQD，当PEQ=130时，求出PFQ的度数； （3）如图 3，若点 E 在 CD 的下方，PF 平分BPE，QH 平分EQD，QH 的反向延长线交 PF 于点 F，当PEQ=80 时，直接写出PFQ的度数 11如图 1，已知线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8 字型”. （1）求证：A+CB+D； （2）如图 2，若CAB和BDC的平分线 AP 和 DP 相交于点 P，且与
9、CD、AB 分别相交于点M、N. 以线段 AC 为边的“8 字型”有_个，以点 O 为交点的“8 字型”有_个； 若B100，C120，求P的度数； 若角平分线中角的关系改为“CAP CAB，CDP CDB”，试探究P与B、C之间存在的数量关系，并证明理由. 12如图，在ABC中，BD、CD 分别平分ABC、ACB，点 M、N、Q 分别在 AB、AC、BC 的延长线上，BE、CE 分别平分MBC、NCB. （1）若A60 BDC的度数为 . 求BEC的度数. （2）如图，若在EBC内部作EBF，使 ，在ECQ内部作ECF，使 ，则BEC和BFC有什么样的数量关系？请简述理由. 13已知 ABC
10、D，CF 平分ECD. （1）如图 1，若DCF=25，E=20，求ABE的度数. （2）如图 2，若EBF=2ABF，CFB的 2 倍与CEB的补角的和为 190，求ABE的度数. 14如图 1，直角三角形 DEF 与直角三角形 ABC 的斜边在同一直线上，EDF30，ABC40，CD 平分ACB，将DEF绕点 D 按逆时针方向旋转，记ADF为 （0180） ，在旋转过程中； （1）如图 2，当 时， ，当 时，DEBC； （2）如图 3，当顶点 C 在DEF内部时，边 DF、DE 分别交 BC、AC 的延长线于点 M、N， 此时的度数范围是 ； 1与2度数的和是否变化？若不变求出1与2度数
11、和；若变化，请说明理由； 若使得221，求的度数范围. 15如图（1）四边形 ABCD 中，已知ABC+ADC=180，AB=AD，DAAB，点 E 在 CD 的延长线上，BAC=DAE （1）试说明：ABCADE； （2）试说明 CA 平分BCD； （3）如图（2） ，过点 A 作 AMCE，垂足为 M，试说明：ACE=CAM=MAE=E=45 16如图，已知BDCEFC180，DEFB. （1）求证：EDBC； （2）若 D，E，F 分别是 AB，AC，CD 边上的中点，四边形 ADFE 的面积为 6. 求ABC的面积； 若 G 是 BC 边上一点，CG2BG，求FCG的面积. 17数学问
12、题：如图，在 中， 的 等分线分别交于点 根据 等分线等分角的情况解决下列问题： （1）求 的度数. （2）求 的度数. （3）直接写出 的度数. 18ABC中，AD 是BAC的角平分线，AE 是ABC的高. （1）如图 1，若B40，C62，请说明DAE的度数； （2）如图 2（BC） ，试说明DAE、B、C的数量关系； （3）如图 3，延长 AC 到点 F，CAE和BCF的角平分线交于点 G，求G的度数. 19如图，已知 AB/CD， AC/EF （1）若A=75， E=45，求C和CDE的度数； （2）探究：A、CDE与E之间有怎样的等量关系？并说明理由. （3）若将图变为图，题设的条件
13、不变，此时A、CDE 与E之间又有怎样的等量关系，请直接写出你探究的结论. 20已知 ABC，P 是平面内任意一点（A、B、C、P 中任意三点都不在同一直线上）.连接 PB、PC，设PBAs，PCAt，BPCx，BACy. （1）如图，当点 P 在 ABC 内时， 若 y70，s10，t20，则 x ； 探究 s、t、x、y 之间的数量关系，并证明你得到的结论. （2）当点 P 在 ABC 外时，直接写出 s、t、x、y 之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形. 21综合探究： 如图，在 中， 分别是 边上的高，在 上截取 延长 至点 使 ，连接 （1）如图 1 中， 与 相等吗？为什么？
14、（2）如图 2，若 BD 恰好平分 ，过点 作 交 的延长线于点 请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接 22当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等.例如：在图、图中，都有12，34.设镜子 AB 与 BC 的夹角ABC. （1）如图，若 90，判断入射光线 EF 与反射光线 GH 的位置关系，并说明理由. （2）如图，若 90 180，入射光线 EF 与反射光线 GH 的夹角FMH .探索 与 的数量关系，并说明理由. （3）如图，若 120，设镜子 CD 与 BC 的夹角BCD(90180)，入射光线 EF与镜面 AB 的夹角1m(0m90).已知入射光线
15、EF 从镜面 AB 开始反射，经过 n(n 为正整数，且 n3)次反射，当第 n 次反射光线与入射光线 EF 平行时，请直接写出 的度数.（可用含有 m 的代数式表示） 23将锐角 放置在一块正方形卡纸 上，使点 在正方形的 和 边上 （1）如图，若 ，则 度， 度， 度 （2）如图，改变正方形卡纸 的位置，请探究 与 之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论 （3）如图，正方形卡纸的顶点 在 外，且在 边的左侧，请探究 ， 三者之间存在怎样的数量关系，直接写出探究结果，不必验证 24如图 （1）如图,OP 是 的平分线,请你在 OP 上取一点 A,利用该图画一对以 OP 所在直线为对称轴的两个
16、全等三角形(保留画图痕迹 ); （2）如图,在 中, 是直角, 分别是 的平分线,AD、CE 相交于点 F,求 的度数,并判断 FE 与 FD 之间的数量关系,并说明道理; （3）如图,在 中,如果 不是直角,而 (1)中的其它条件不变,请问:你在（2）中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由 25如图，四边形 ABCD 中，ABCD，BD，点 E 为 BC 延长线上一点，连接 AE，AE 交CD 于 H.DCE的平分线交 AE 于 G. （1）求证：ADBC； （2）若BACDAE，AGC2CAE.求CAE的度数； （3） （2）中条件BACDAE仍然成立，若AGC3CA
17、E，直接写出CAE的度数 . 26如图 1，直线 MN 与直线 AB、CD 分别交于点 E、F，1与2互补 （1）试判断直线 AB 与直线 CD 的位置关系，并说明理由； （2）如图 2，BEF 与EFD 的角平分线交于点 P，EP 与 CD 交于点 G，点 H 是 MN 上一点，且 GHEG，求证：PFGH； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 PH，K 是 GH 上一点使PHK=HPK，作 PQ 平分EPK，求HPQ 的度数 答案解析部分答案解析部分 【解析】【分析】 （1）证明ABDACE（SAS） ，得出 BD=CE，即可推出 BC=BD+CD=CE+CD； （2）同（1）利用全等
18、三角形的性质即可证明； （3）同（1）利用全等三角形的性质即可证明。 【解析】【解答】解： （1） ， ， ， CD 平分 ， . 故答案为： . 【分析】(1)先利用三角形内角和定理求出BAC，再根据角平分线的定义求出ACD，最后根据三角形的内角和定理求CDA即可； (2) 分两种情况讨论，即当点 C 在 DE 边上时和当点 C 在 DF 边上时， 首先根据三角形的内角和定理求出CDA，最后根据角的和差关系分别求 的度数，即可得出的范围； 连接 MN，在CMN 中，由三角形内角和定理求出CNM+CMN=90，然后在MND 中，先根据三角形内角和列等式，再由角的和差关系把有关角分解，即可解答.
19、 【解析】【解答】解： （1） 又 、 、 为 的角平分线， = 【分析】 （1）利用三角形内角和求出，由角平分线的定义可求出 = ，利用三角形的内角和即可求出BDC的度数； （2）.理由：由角平分线的定义可得 ， ， ，从而得出 =90，利用三角形外角的性质可得 ，即得 （3）根据垂直的定义及三角形内角和可得，由三角形外角的性质可得 ，据此可求出AEF，将其代入中即可得出结论. 【解析】【分析】 （1）根据同校的余角相等证明即可； （2） 符合题意，证明 ，可得结论； （3） 根据 SAS 证明即可。 【解析】【分析】 （1)由等边三角形的性质得出ACBC，BACBBCA60，求出ACFBC
20、D，证明ACFBCD； （2）证出DCEFCE，由 SAS 证明DCEFCE，得出 DEEF 即可； （3）由 SAS 证明ACFBCD，得出CAFB45，AFDB，即可得出EAF 的度数。 【解析】【解答】解： （1）AFAB， DAF=90， 在ADF和BCD中， ， ADFBCD（SAS） ， DF=CD，ADF=BCD， BCD+CDB=90， ADF+CDB=90，即CDF=90， CDDF 故答案为：DF=CD，CDDF； 【分析】 （1）利用 SAS 证明ADFBCD，再利用全等三角形的性质得出 DF=CD，ADF=BCD，由BCD+CDB=90，即可证得 DF=CD 且 CDD
21、F； （2）由已知证明ADFBCD，得出 DF=CD，ADF=BCD，由BCD+CDB=90，得出ADF+CDB=90，即CDF=90，即可得出 CDDF； （3）过点 A 作 AFAB，并截取 AF=BD，连接 DF，CF，AC，证明 AFCE 为平行四边形，得出FCAE，得出APC=FCD，根据FCD=45，即可得出APC 的度数。 【解析】【解答】 （1）AFH60，OF 平分AFH， OFH30， 又EGFH， EOFOFH30； CHF50，OH 平分CHF， FHO25， FOH中，FOH180OFHOHF125； 故答案为 30，125； 【分析】 （1）根据角平分线的定义可得O
22、FH30，FHO25，利用平行线的性质可得EOFOFH30，再利用三角形内角和求出FOH即可； （2）由角平分线的定义可得 OFH+OHF（AFH+CHF）10050， 由平行线的性质可得EOFOFH，GOHOHF，从而求出EOF+GOHOFH+OHF50， 根据三角形内角和可得FOH180（EOF+GOH ） ，继而得解； （3）由角平分线的定义可得OFH AFH，OHICHI，根据FOHOHIOFH （CHIAFH） （180CHFAFH）即可求解. 【解析】【分析】 （1）利用垂直的定义可证得ABC=90，由此可求出ADB的度数；再利用两直线平行，同位角相等，可求出C的度数. （2）过点
23、 B 作 BG DM，DBG= 90，由此可推出ABD+ABG = 90；再利用垂直的定义可证得CBG+ABG=90，利用余角的性质可得到ABD=CBG，然后根据两直线平行，内错角相等可证得C=CBG，即可证得结论. （3）过点 B 作 BGDM，利用角平分线的定义可得到DBF=CBF，DBE=ABE，可推出ABF=GBF，设DBE=，ABF=，可分别表示出ABE、ABD、GBF、AFB、结合已知条件可表示出BFC、AFC、BCF；然后利用三角形的内角和定理和垂直的定义建立关于 和 的方程组，解方程组求出 和 的值，即可得到ABE的度数，根据EBC=ABE+ABC，代入计算可求解 【解析】【解
24、答】 （3）BAO与BOQ的角平分线相交于 ， AE、AF 分别是 和 的角平分线 在AEF中 有一个角是另一个角的 3 倍，故有： EAF=3E，E=30，ABO=60； EAF=3F，E=30，ABO=120； （舍去） AFE=3E，E=22.5，ABO=45； AEF=3F，E=67.5，ABO=135； （舍去） ABO为 60或 45 【分析】 （1）由已知条件可得AOB=90，结合三角形内角和定理可得OAB+OBA=90，由角平分线的概念可得BAE=OAB，ABE=ABO，据此求解； （2）同（1）可得OAB+OBA=90，进而得到PAB+MBA=270，由角平分线的概念可得BA
25、D=BAP，ABC=ABM，据此可求得BAD+ABC的度数，然后利用四边形内角和为 360可求得ACD+BCD的度数，再次根据角平分线的概念求出CDE+DCE的度数，最后根据三角形内角和定理进行求解； （3）由角平分线的概念可得EAO=BAO，EOQ=BOQ，据此可表示出E，然后分EAF=3E；EAF=3F；AFE=3E；AEF=3F进行求解. 【解析】【分析】 （1）根据平行线的性质，得出APE=PEH，CQE=HEQ，进而得出结论； （2）根据角平分线的定义、平角的意义以及四边形的内角和即可求解； （3）利用角平分线、平角、三角形的内角和、平行线的性质以及等量代换进行计算即可 【解析】【分
26、析】 （1） 根据三角形的内角和得出A+C180AOC，B+D180BOD， 由对顶角相等可得 AOCBOD， 继而得出结论； （2）根据“8 字型”的定义直接查找即可；由（1）结论得出P+CDPC+CAP，P+ BAPB+BDP，即得2P+BAP+CDPB+C+CAP+BDP，利用角平分线的定义得出 BAPCAP，CDPBDP，从而得出 2PB+C，代入相应数据即得结论； 3PB+2C，理由 ：由题意得出 BAP CAB，BDP CDB， 由（1）结论得出P+CDPC+CAP，P+BAPB+BDP，从而得出CPCDPCAP （CDBCAB） ，PBBDPBAP （CDBCAB） ， 即得 2
27、（CP）PB， 据此即得结论. 【解析】【解答】解： （1）由题意， A60， ， BD、CD 分别平分ABC、ACB， ， ， , 【分析】 （1）由角平分线的定义和三角形内角和定理，先求出 ，即可求出答案；由题意，先求出 ，然后得到 ，即可求出BEC的度数.（2）由题意，得到 ， ，由三角形的外角性质进行化简，即可得到答案. 【解析】【分析】 （1）利用角平分线的定义，得DCE=2DCF=50， 根据两直线平行，同旁内角互补，可得DCE+AGC=180，即可求出AGC=130， 利用对顶角相等得出EGB=AGC=130，根据三角形内角和即可求出的ABE 度数； （2）假设 CE 与 AB、
28、BF 相交于点 M、N，如图，设ABF=x，DCF=y，利用角平分线的定义及已知，可得EBF=2x，ABE=3x，FCE=y，DCE=2y， 根据平行线的性质及对顶角相等，可得 EMB=AMC=180-2y，利用三角形内角和先求出E=2y-3x，再得ENB=180+x-2y，CFB=y-x，由CFB 的 2 倍与CEB 的补角的和为 190，可得 2CFB-CEB=10，即得 . 【解析】【解答】解： （1）B40， 当EDAB40时， ， 而EDF30， ， 解得：10； 当 时，DEAB， 此时A+EDA180， ， ， 解得：100； 故答案为 10，100； 【分析】 （1）由平行线的
29、判定定理可得：当EDAB40时，DEBC，据此可得 的度数；当 DEBC时，DEAB，此时A+EDA180，据此求解； （2） 根据直角三角形的两锐角互余以及角平分线的概念可得ACD45，A50，然后根据三角形内角和定理可得CDA的度数，然后分点 C 在 DE 边上、点 C 在 DF 边上进行求解即可； 连接 MN，由三角形内角和定理可得CNM+CMN90，然后在MND 中，应用三角形内角和定理求解即可； 由已知条件可得240，在ADN 中，应用三角形内角和定理可得2=100-，据此可求得 的范围，最后结合中的范围进一步确定即可. 【解析】【分析】 （1）根据三角形的判定定理 ASA 即可证明
30、； （2）通过三角形全等求得 AC=AE，BCA=E，进而根据等边对等角求得ACD=E=ACD即可证得； （3）过点 A 作 AMCE，垂足为 M，根据角的平分线的性质求得 AFAM，然后证得CAE和ACM是等腰直角三角形，进而证得 EC=2AF。 【解析】【分析】 （1）根据同角的补角线段得出BDCEFD，即可证得 ABEF，根据平行线的性质得出ADEDEF，即可得出BADE，从而证得结论； （2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形进行计算即可.连接 DG，由 CG2BG，得到 SDCG2SDBG，即可得到 ，进一步得到 . 【解析】【解答】 （3） 分别是 和 的 n 等分线
31、， ， ， . 【分析】 （1）根据已知条件可知 ，根据 分别是 和 的二等分线，可知 ，由此即可求解； （2）根据 分别是 和 的四等分线，可知 ，由此即可求解； （3）根据（1） （2）题找到规律，得到 ，然后求出 n-1=2020 时的值即可. 【解析】【分析】 （1）根据三角形的内角和定理，可求得BAC的度数，由 AD 是BAC的平分线，可得DAC的度数；在直角AEC中，可求出EAC的度数，所以DAEDACEAC，即可得出； （2）根据三角形的内角和定理，可求得BAC的度数，由 AD 是BAC的平分线，可得DAC的度数；在直角AEC中，可求出EAC的度数，所以DAEDACEAC，即可得
32、出； （3）设ACB，根据角平分线的定义得到CAG EAC （90）45 ，BCG BCF （180）90 ，根据三角形的内角和即可得到结论. 【解析】【分析】 （1）利用平行线的性质定理可得C，过点 D 作 DGAC，可得 DGACEF，利用平行线的性质定理可得CDG，由CDE=CDG+GDE，代入数值可得结果； （2）利用平行线的性质和同角的补角相等得A=CDG，由角的和及等量代换可得； （3）利用平行线的性质定理和三角形的内角和定理可得结论. 【解析】【解答】解： （1）BAC=70， ABC+ACB=110， PBA=10，PCA=20， PBC+PCB=80， BPC=100， x=
33、100， 故答案为：100. 【分析】 （1）利用三角形的内角和定理即可解决问题；结论：x=y+s+t.利用三角形内角和定理即可证明； （2）分 6 种情形分别求解即可解决问题. 【解析】【分析】 （1）利用 SAS 证明三角形全等，再作答求解即可； （2）先求出GAF=90，再利用 AAS 证明三角形全等即可。 【解析】【分析】 （1）在BEG中，2+3+=180，=90，可得2+3=90，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，FEG+EGH=180，进而可得 EF/GH； （2）在BEG中，2+3+=180，可得2+3=180-，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得
34、，MEG=22，MGE=23，在MEG中，MEG+MGE+=180，可得 与 的数量关系； （3）分两种情况画图讨论：当 n=3 时；当 n=2 时. 【解析】【解答】 （1） ， ， 四边形 DEFG 是正方形，D=90， ， ； 故答案为 145；90；55； 【分析】 （1）根据三角形的内角和等于 180先求出，再求出D=90，最后计算求解即可； （2）根据三角形的内角和等于 180进行求解即可； （3）先求出 DBC +DCB =90，ABD=DBC-ABC，ACD=ACB-DCB， 再证明求解即可。 【解析】【分析】 （1）根据要求在 OP 上任取一点 A，作ABOACO，这样就可以
35、利用“SAS”来判定三角形全等； （2）先在 AC 上截取 AG=AE，连接 FG，利用“SAS”判定AEFAGF，得出AFE=AFG，FE=FG，再利用“ASA”证明CFGCFD，得到 FG=FD，进而得出 FE=FD； （3）先过点 F 分别作 FGAB于点 G，FHBC于点 H，则FGE=FHD=90，根据已知条件得到GEF=HDF，进而判定EGFDHF，即可得出 FE=FD。 【解析】【解答】 （3）解：设CAEx，DCGz，BACy， 则EADy，DDCE2z，AGC3CAE3x， ABCD， AHDBAHxy，ACDBACy， AHD中，x2y2z180， ACG中，x3xyz18
36、0， 4xyz180， 8x2y2z360， 得：7x180， 解得：x ， CAE ； 故答案为： 【分析】 （1）根据平行线的性质得BDCE，推出DDCE，根据内错角相等，二直线平行即可得出结论； （2）设CAGx，DCGz，BACy，AHD中，x2y2z180，ACG中，x2xyz180，变形后相减可得结论； （3）设CAGx，DCGz，BACy，AHD中，x2y2z180，ACG中，x3xyz180，变形后相减可得结论. 【解析】【分析】 （1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角AEF、CFE互补，所以易证ABCD； （2）利用（1）中平行线的性质推知BEF+EFD=180；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得EPF=90，即 EGPF，故结合已知条件 GHEG，易证 PFGH； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得 ；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知 ；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得HPQ=45
