1、2abab2022-5-18 2002年国际数学大会年国际数学大会（ICM-2002）在北京召开，此）在北京召开，此届大会纪念封上的会标图案，其届大会纪念封上的会标图案，其中央正是经过艺术处理的中央正是经过艺术处理的“弦弦图图”。 它标志着中国古代的数学成它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。迎来自世界各地的数学家。 一、问题引入一、问题引入2022-5-1822+abab新课探究新课探究22ab2ab222SabSab四个三角形大正方形2022-5-18=a b特别地，当时又有怎样的结论？ab22+=2abab新课探究新课探究
2、2022-5-18一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数 ，我们有，我们有 , a b222abab当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立ab思考：思考：如何证明？如何证明？2022-5-18222222()02ababababab证明：证明：当且仅当当且仅当 时，时， 此时此时ab2()0ab222abab2022-5-182.代数意义：代数意义：几何平均数小于等于算术平均数几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：几何意义：半弦长小于等于半径半弦长小于等于半径(0,0)2ababab（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）二二、新课讲解新课讲解算术平均数算术平均数几
3、何平均数几何平均数3.几何证明:从数列角度看从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项等差中项1.1.思考思考: :如果当如果当 用用 去替换去替换 中的中的 , ,能得到什么结论能得到什么结论? ? 0, 0ba,ab222aba bba,基本不等式2022-5-18abababab0,0,2abababab若则当且仅当时取等号2022-5-18当且仅当a=b时，取“=”号 0,02ababab（）能否用不等式的性质进行证明？能否用不等式的性质进行证明？小组合作：小组合作：2022-5-18在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，设 AC =
4、 a , BC = b 。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。RtRtACDDCB三角形三角形与相似基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。半径不小于半弦。” 2ababE()ab当且仅当时，取号aCDCDb2CDabCDabP98探究探究2022-5-18oabABPQ1.1.如图如图,AB,AB是圆是圆o o的的直径，直径，Q Q是是ABAB上任上任一点，一点，AQ=AQ=a a,BQ=,BQ=b b, ,过点过点Q Q作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦PQPQ，连，连AP,BPAP,BP, ,则半弦则半弦PQ=PQ=_ _,_ _,半径半径AO=AO=_ab2ba 几何意义：几何
5、意义：圆的半径不小于圆内半弦长圆的半径不小于圆内半弦长动态演示你能用这个图得出基本你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗不等式的几何解释吗? ?2.PQ2.PQ与与AOAO的大小关系怎样的大小关系怎样? ?2022-5-18证明证明:要证要证abba2只要证只要证ba ( ) 要证，只要证要证，只要证ba 0( ) 要证，只要证要证，只要证（ ) 20ab2ab2abba 显然显然: : 是成立的是成立的, ,当且仅当当且仅当 时时中的等号成立中的等号成立. .证明:当 时, . abba20, 0ba2022-5-182abab22abab0,02abababab当时，当且仅当时等号成立变形
6、式：平方平方2022-5-18基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a =b时，等号成立时，等号成立.当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.222(abab aR、b）重要不等式：重要不等式：(0,0)2ababab注意：注意：（1）不同点：两个不等式的）不同点：两个不等式的适用范围适用范围不同。不同。（2）相同点：当且仅当）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。2022-5-182.基本不等式基本不等式（均值定理）（均值定理）,2,aba baba b我们把叫做正数的把叫做正数的算算术术平平均均数数，几几何何平平均均数数。1.两个正数的算术平均数两个正数的算术平均数不
7、小于不小于它们的几何平它们的几何平均数均数. 002()abababab如果，那么当且仅当时，取号2.两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小于不小于它们的等比中项。它们的等比中项。此定理又可叙述为：此定理又可叙述为：2022-5-1822R2()abababab如果 ，那么当且仅当时，取号1.重要不等式重要不等式002()abababab如果，那么当且仅当时，取号2.基本不等式（均值定理）基本不等式（均值定理）基本不等式成立的要素：基本不等式成立的要素：2abab（）（1）：看是否均为正数）：看是否均为正数（2）：看不等号的方向）：看不等号的方向（3）：看等号是否能取到）：看等号是否能取到简
8、言之：一正二定三相等简言之：一正二定三相等2022-5-181. 基本不等式：基本不等式：.2abba a=b基本不等式的变形：基本不等式的变形：知识要点：知识要点：（当且仅当（当且仅当_时取时取“”号）号）.2, 0, 0abbaba 则则如如果果 （当且仅当当且仅当a=b时取时取“”号）号）.2baab 或或.)2(2baab 或或如果如果a0，b0，那么，那么 2022-5-18 重要变形重要变形22220,0,22aba babababa ba b若则，当 且 仅 当时 取 等 号 。（由小到大）（由小到大）2022-5-18应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件： a
9、 a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大2baab（ a0，b0）2022-5-18当且仅当当且仅当ab时等号成立时等号成立当且仅当当且仅当ab时等号成立时等号成立(a0,b0)2abab2(0,0)ababab222abab0,02ababab2（）结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值结论结论2 2：两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值2022-5-18例题：例题：的最大值。求已知变式：)21 (,210 x
10、xyx的最小值。求变式：已知14, 1xxyx的最大值。求设的最小值。，求已知)1 (, 10)2(40) 1 (xxyxxxyx2022-5-18练习：练习：）；（其中的最小值求1143xxxy2022-5-18例例3求函数求函数 的最大的最大值，及此时值，及此时x的值。的值。223( )(0)xxf xxx解：解： ，因为，因为x0，3( )1 (2)f xxx 所以所以3322 22 6xxxx得得3(22 6xx)-因此因此f(x) 1 2 62022-5-18当且仅当当且仅当 ，即，即 时，式中等时，式中等号成立。号成立。32xx232x 由于由于x0，所以，所以 ，式中等号成立，式
11、中等号成立，62x 因此因此 ，此时，此时 。max( )1 2 6f x 62x 2022-5-18例、已知正数例、已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值错解错解: :221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx即即 的最小值为的最小值为yx1124过程中两次运用了过程中两次运用了均值不等式中取均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，号的条件是不同的，故结果错。故结果错。错因：错因：2022-5-18已知正数已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值
12、的最小值解解:223当且仅当当且仅当yxxy2即即:xy2时取时取“=”号号122yxxy而222221yx即此时即此时223minyyx11yyxxyx22yxxy23正确解答是正确解答是:2022-5-182、已知、已知则则x y 的最大值是的最大值是 。1、当、当x0时，时， 的最小值为的最小值为 ，此时，此时x= 。21xx1 )0, 0(232 yxyx61 3、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 的最小的最小值是（值是（ ） A、10 B、 C、 D、yx,5 yxyx33 3664318D2022-5-184、在下列函数中，最小值为、在下列函数中，最小值为2的是（的是（ ） A、 B、C、 D、) 0,(55 xRxxxy)101 (lg1lg xxxy)(33Rxyxx )20(sin1sin xxxyC2022-5-18 下面几道题的解答可能下面几道题的解答可能有错有错，如果，如果错了错了，那么那么错错在哪里？在哪里？已知函数已知函数 ，求函数的，求函数的最小值和此时最小值和此时x的取值的取值xxxf1)(.2112121)(:取到最小值时函数即当且仅当解xxxxxxxxf 运用均值不等式的过程中，忽略了运用均值不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个条件这个条件2022-5-18
