1、第二章 实数 一、想一想一、想一想1.1.有理数如何分类？有理数如何分类？有理数有理数整数整数( (如如 分数（如分数（如 2.我们还学习过那些不同的数我们还学习过那些不同的数? 如如圆周率圆周率 如如a2=2，b2=5中中的的a，b 不是整数，能不能化成分数呢？不是整数，能不能化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？那么它们究竟是什么数呢？ , ) )1325,91 1 , 0.51,0,2,3.),0.020020002.二、活动与探究二、活动与探究活动活动1：面积为：面积为2的正方形的边长的正方形的边长a究竟是多少呢究竟是多少呢? ?a a的平方2.251.962.10252.04492.0
2、7362.01641.98812.0022251.9993962.000527362.000244491.999961642.000810251.41.51.451.441.431.421.411.4151.4141.41451.41441.41431.4142边长边长a 面积面积s 1a21s41.4a1.51.96s2.251.41a1.421.9881s2.0164 1.414a1.415 1.999396s2.0022251.4142a1.41431.99996164s2.00024449 探索探索a是多少？是多少？a =1.41421356请大家用上面的方法估计面积为请大家用上面的方
3、法估计面积为5的正方形的边长的正方形的边长b的值的值. .22a22a又又b=2.23606797探索探索b是多少？是多少？结论：结论：a ，b不是整数，能不能表不是整数，能不能表示成分数呢？示成分数呢？52b活动活动2： 分数化成小数，最终此小数的形式分数化成小数，最终此小数的形式有几种情况？有几种情况？ 请同学们以学习小组进行活动请同学们以学习小组进行活动: :一同学一同学举出任意一分数，另一同学将此分数举出任意一分数，另一同学将此分数化成小数化成小数. .并总结此小数的形式并总结此小数的形式? ?结论：分数只能化成有限小数或结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数无限循环小数. 即任何有
4、限小数或无限循环小即任何有限小数或无限循环小数都是有理数数都是有理数. .所以所以a、b不是有理数。不是有理数。 像像0.585885888588885，1.41421356，2.2360679等这些等这些数的小数位数都是无限的数的小数位数都是无限的, ,但又不是但又不是循环的循环的, ,而是无限不循环小数而是无限不循环小数. . 无限不循环小数叫无理数无限不循环小数叫无理数.(.(圆周率圆周率也是一个无限不循环小数也是一个无限不循环小数, ,故故是无理数是无理数) )三、分一分三、分一分到目前为止到目前为止所学过的数可以分为几类？所学过的数可以分为几类？按按小数的形式来分小数的形式来分有理数
5、：有限小数或无限循环小数有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数无理数：无限不循环小数数数整数整数分数分数四、辨一辨四、辨一辨0.351,2,3例例1 把下列各把下列各数填入相应的集合数填入相应的集合. .4.96,3.14159,-5.232332，12334567891011( (由相继的正整数组成由相继的正整数组成).).36有理数集合有理数集合无理数集合无理数集合0 .3 5 1,.4 . 9 6 , 2,3-5.232332-5.232332123345678910112334567891011 1,36，3.14159,(1)有限小数是有理数有限小数是有理数; ; （
6、）(2)无限小数都是无理数无限小数都是无理数; ; （ ）(3)无理数都是无限小数无理数都是无限小数; ; （ ）(4)有理数是有限小数有理数是有限小数. . （ ） 例例2 判断题判断题 1. .无理数是无限不循环小数，无理数是无限不循环小数， 有理数是有限小数或无限循环小数有理数是有限小数或无限循环小数. . 2. .任何一个有理数都可以化成分数任何一个有理数都可以化成分数 形式（形式（ p0, p，q 为整数且互质），为整数且互质）， 而无理数则不能而无理数则不能. .qp强调以下各正方形的边长是无理数的是以下各正方形的边长是无理数的是（ ）A. .面积为面积为25的正方形；的正方形；
7、B. .面积为面积为 的正方形；的正方形；C. .面积为面积为8的正方形；的正方形； D. .面积为面积为1.44的正方形的正方形. . 425例例3c例例4 一个直角三角形两条直角边的长一个直角三角形两条直角边的长分别是分别是3和和5, ,则斜边则斜边a是有理数吗是有理数吗? ?35a解解: :由勾股定理得由勾股定理得: : 即即a2 2= =34. .因为因为34不是完全不是完全平方数，所以平方数，所以a不是有理数不是有理数. .22235a 五、练一练五、练一练 1. .课本课本P23随堂练习随堂练习. . 2. .已知：将下列各数已知：将下列各数 22n32,5, 1.42, ,3.1
8、416,430,4 ,( 1) , 1.424224222.（1）写出所有有理数写出所有有理数；（2）写出所有无理数；写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号并用符号“”连接连接. .本节课你有什么收获？本节课你有什么收获？1. .无理数的定义无理数的定义. . 2. .你是怎样判断一个数是无理数你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？还是有理数的？3. .请请把已学过的数怎样分类？把已学过的数怎样分类？设半径为设半径为a的圆，面积为的圆，面积为20. .( (1) )a是有理数吗是有理数吗? ?说说你的理由说说你的理由. .( (2)
9、 )估计估计a的值的值( (精确到十分位精确到十分位, ,并利用你的计算器验证你的估计）并利用你的计算器验证你的估计）. .( (3) )如果精确到百分位呢如果精确到百分位呢? ?（选用）探究活动探究活动解：解：a2=20=20， a2= =20 . .( (1) )a不是有理数不是有理数, ,因为因为a既不是整数既不是整数, ,也不是分数也不是分数, ,而是无限不循环小数而是无限不循环小数. .( (2) )估计估计a4.4. .( (3) )估计估计a4.47. .24=25吗吗? ?小明自豪地对同学说小明自豪地对同学说: :“我可以我可以证明证明24=25. .”同学们都觉得同学们都觉得
10、是天方夜谭是天方夜谭. .课后探究：读一读，你有何收获课后探究：读一读，你有何收获? ? 小明取一张方格纸如下图小明取一张方格纸如下图( (1),), 如图将它剪开如图将它剪开, ,然后拼成图然后拼成图( (2) )的的 正方形正方形. .同学们数了一下同学们数了一下, ,图图( (1) ) 有有24个方格个方格, ,图图( (2) )变成了变成了25个个 方格方格. .这把同学们都搞闷了这把同学们都搞闷了, , 你能揭穿他的骗术吗你能揭穿他的骗术吗? ?事实上，事实上，3，4两块并不两块并不密切合缝，拼成的正方密切合缝，拼成的正方形缺少了图中的阴影部形缺少了图中的阴影部分分. .你想出来了吗
11、？你想出来了吗？ 是谁最早使用符号是谁最早使用符号表示圆周率表示圆周率? ? 无理数无理数表示圆周率表示圆周率. .是从什么时候开始用是从什么时候开始用表示圆周率的呢？为什么用字母呢表示圆周率的呢？为什么用字母呢 ？（答？（答案在拓展资源）案在拓展资源）开卷有益！开卷有益！数够用了吗? 再见!读一本好书，就是和许多高尚的人谈话。-歌德书籍是人类知识的总结。书籍是全世界的营养品。-莎士比亚书籍是巨大的力量。-列宁好的书籍是最贵重的珍宝。-别林斯基任何时候我也不会满足，越是多读书，就越是深刻地感到不满足，越感到自己知识贫乏。-马克思书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅
12、读，则正是这种养料。-雨果 喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。-孟德斯鸠如果我阅读得和别人一样多，我就知道得和别人一样少。-霍伯斯英国作家读书有三种方法：一种是读而不懂，另一种是既读也懂，还有一种是读而懂得书上所没有的东西。-克尼雅日宁俄国剧作家诗人要学会读书，必须首先读的非常慢，直到最后值得你精读的一本书，还是应该很慢地读。-法奇(法国科学家)了解一页书，胜于匆促地阅读一卷书。-麦考利英国作家读书而不回想，犹如食物而不消化。-伯克美国想思家读书而不能运用，则所读书等于废纸。-华盛顿(美国政治家)书籍使一些人博学多识，但也使一些食而不化的人疯疯颠颠。-彼特拉克意大利诗人生活
13、在我们这个世界里，不读书就完全不可能了解人。-高尔基读书越多，越感到腹中空虚。-雪莱(英国诗人)读书是我唯一的娱乐。我不把时间浪费于酒店、赌博或任何一种恶劣的游戏；而我对于事业的勤劳，仍是按照必要，不倦不厌。-富兰克林书读的越多而不加思索，你就会觉得你知道得很多；但当你读书而思考越多的时候，你就会清楚地看到你知道得很少。-伏尔泰(法国哲学家、文学家)读书破万卷，下笔如有神。-杜甫读万卷书，行万里路。-顾炎武读书之法无他，惟是笃志虚心，反复详玩，为有功耳。-朱熹读书无嗜好，就能尽其多。不先泛览群书，则会无所适从或失之偏好，广然后深，博然后专。-鲁迅读书之法，在循序渐进，熟读而精思。-朱煮读书务在循序渐进；一书已熟，方读一书，勿得卤莽躐等，虽多无益。-胡居仁明读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。-吴晗看书不能信仰而无思考，要大胆地提出问题，勤于摘录资料，分析资料，找出其中的相互关系，是做学问的一种方法。-顾颉刚书犹药也，善读之可以医愚。-刘向读书破万卷，胸中无适主，便如暴富儿，颇为用钱苦。-郑板桥知古不知今，谓之落沉。知今不知古，谓之盲瞽。-王充举一纲而万目张，解一卷而众篇明。-郑玄
