1、2020年年9月月28日日12020年年9月月28日日2圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形吗？驶向胜利的彼岸如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少条对称你能找到多少条对称轴？轴？O你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的? ?圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形.驶向胜利的彼岸圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, ,它有无它有无数条对称轴数条对称轴. .O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题. .OABCDM轴对称图形每一条直径所在的直线是它轴对称图形每一条直径所在的直线是它的对称轴的对称
2、轴 自主探究自主探究在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径所在在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2 2）如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB于于E点点 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？3 3猜想猜想：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦,并
3、并且平分弦且平分弦所对的两条弧所对的两条弧 OABCDM已知已知：如图，：如图，CDCD是是OO的直径，的直径，ABAB为为弦，且弦，且CDAB求证求证:AM=BM 且且 AD=BD AD=BD AC =BC AC =BC符号语言表示：符号语言表示：判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件（注意：定理中的两个条件（直径，直径，垂直于弦垂直于弦）缺一不可！）缺一不可！DOABcECOABEDCOABOBCADDOBCAOBACDOBAC例例1 1、已知：在、已知：在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm,圆心圆心
4、O到到AB的距离为的距离为3cm,求求： O的半径的半径。OABE若若OA=10cm,OE=6cm,求弦求弦AB的长。的长。若圆心到弦的距离用若圆心到弦的距离用d表示，半径用表示，半径用r表示，弦长用表示，弦长用a表示，这三者之间有怎表示，这三者之间有怎样的关系？样的关系？2222adrOE为O到弦AB的垂线段OABCDM 二、继续探究二、继续探究 如图，如图，AB是是OO的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD和弦和弦AB，使，使AM=BM 求证：求证： CDAB推论：平分推论：平分弦弦 （不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。一个
5、圆的任意两一个圆的任意两条条直径总是互相平分直径总是互相平分，但它们不一定互相垂但它们不一定互相垂直直因此这里的弦如因此这里的弦如果是直径，结论不一果是直径，结论不一定成立定成立OABMNCD如图，点如图，点P P是半径为是半径为5cm5cm的的OO内一点，且内一点，且OP=3cm, OP=3cm, 则过则过P P点的弦中，点的弦中，（1 1）最长的弦）最长的弦= = cmcm（2 2）最短的弦）最短的弦= = cmcm（3 3）弦的长度为整数的共有（）弦的长度为整数的共有（ ） A A、2 2条条 B B、3 3条条 C C、4 4条条 D D、5 5条条?O?PAOCD54P3B108C校
6、校2.2.已知：如图，线段已知：如图，线段ABAB与与OO交于交于C C，D D两点，且两点，且OAOAOB.OB.求证：求证：ACACBD.BD.证明：作证明：作OEAB于于E.则则CEDE.OAOB，OEAB，AEBE.AECEBEDE，即，即ACBD.【点拨点拨】过圆心作垂径是圆中常用辅助过圆心作垂径是圆中常用辅助线线2020年年9月月28日日13赵赵 州州 桥桥2020年年9月月28日日14 赵州桥赵州桥( (如图如图) )是我国隋代建造的石拱桥，距今约有是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 4001 400年年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧的历史，是我国古代人民
7、勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形，它的跨度形，它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37 m37 m，拱高，拱高( (弧的中点到弦的距弧的中点到弦的距离离) )为为7.23 m7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径，求赵州桥主桥拱的半径( (结果保留小数点后一位结果保留小数点后一位) ). .2020年年9月月28日日15赵州桥的传说 鲁班和他的妹妹鲁姜周游天下。一路上，鲁姜总是听到人们夸赞鲁班的手鲁班和他的妹妹鲁姜周游天下。一路上，鲁姜总是听到人们夸赞鲁班的手艺高超，她心里太不服气了，决心要跟哥哥比试比试。到了赵州，正巧要在河艺高超，她心里太不服气了，决心要跟哥哥比试比试。到了赵
8、州，正巧要在河上造两座桥方便人们的生活，鲁姜就同哥哥约定，一人造一座，看看谁造得好。上造两座桥方便人们的生活，鲁姜就同哥哥约定，一人造一座，看看谁造得好。 鲁姜是个急性子，她一下子找来了许多材料，才半天功夫就在城西造好了一座鲁姜是个急性子，她一下子找来了许多材料，才半天功夫就在城西造好了一座桥，然后悄悄地溜到城南去偷看鲁班。到了那里，只见河水汩汩地流，却连个桥，然后悄悄地溜到城南去偷看鲁班。到了那里，只见河水汩汩地流，却连个桥影子也看不到。正觉得奇怪呢，忽然远远地，鲁班赶着一群羊过来了。走近桥影子也看不到。正觉得奇怪呢，忽然远远地，鲁班赶着一群羊过来了。走近了一瞧，那哪是羊啊，分明是一块块雪白
9、细润的石头。鲁姜看得心头一凉：多了一瞧，那哪是羊啊，分明是一块块雪白细润的石头。鲁姜看得心头一凉：多好的石头！我造的桥跟它比，那怎么比啊！嘿，对了，我有办法了！她急急忙好的石头！我造的桥跟它比，那怎么比啊！嘿，对了，我有办法了！她急急忙忙地回到城西，在自己造的那座桥的栏杆上细细地雕刻起来，什么牡丹呀、杜忙地回到城西，在自己造的那座桥的栏杆上细细地雕刻起来，什么牡丹呀、杜鹃呀、牛郎织女呀、凤鸣朝阳呀，一口气刻了好多好多非常漂亮的图案。第二鹃呀、牛郎织女呀、凤鸣朝阳呀，一口气刻了好多好多非常漂亮的图案。第二天天一亮，两座桥都造好了。鲁班修的大刀阔斧，气势雄伟，十分壮观，被后天天一亮，两座桥都造好了
10、。鲁班修的大刀阔斧，气势雄伟，十分壮观，被后人称为大石桥；鲁姜修的则小巧玲珑，各种图案精雕细刻，秀气美观，被后人人称为大石桥；鲁姜修的则小巧玲珑，各种图案精雕细刻，秀气美观，被后人称作小石桥。两座桥各有各的优点，都深得赵州人民的喜爱。称作小石桥。两座桥各有各的优点，都深得赵州人民的喜爱。兄妹造桥兄妹造桥2020年年9月月28日日16cm32cm32 8cm1 1半径半径为为4cm4cm的的OO中，弦中，弦AB=4cmAB=4cm, , 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。2 2OO的的直径直径为为10cm10cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3
11、cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 。3 3半径半径为为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。 练习练习 A AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E2020年年9月月28日日17E已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的为圆心的两个同心圆中，大圆的弦两个同心圆中，大圆的弦AB交交小圆于小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。.ACDBO垂径定理的应用垂径定理的应用讲解讲解图图2020年年9月月28日日182020年年9月月28日日19垂径定理垂径定理如图如图,理由是理由是:连接连接OA,OB
12、,驶向胜利的彼岸OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.2020年年9月月28日日20 垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧。复习回顾复习回顾: 垂径定理垂径定理AEBECD是直径CDABCD过圆心DBAOCE推论一：推论一：平分弦（不是直径）的直平分
13、弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。条弧。?(CDAEBEAB是直径CDAB不是直径)2020年年9月月28日日21（1）平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径的直径垂直垂直于弦于弦，并且，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧；（2 2）弦的垂直平分线弦的垂直平分线经过圆心经过圆心，并且，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧；（3 3）平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径，垂垂直平分弦直平分弦并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧。OBCDAE2020年年9月月28日日22OACDE定理演绎定理演绎:推论二推论二
14、.推论三推论三.AE=BECDABCD是直径是直径(或或CD过圆心过圆心)CDABAE=BEBCD是直径是直径(或或CD过圆心过圆心)一般地一般地:在这五个结论中在这五个结论中,如果有其中两个成如果有其中两个成立立,就可以推出另外三个存在就可以推出另外三个存在.即即:有有2就有三就有三2020年年9月月28日日23填空：如图，在填空：如图，在 O中中 （1）若若MNAB，MN为直径；则为直径；则 （ ），（），（ ），（），（ ）；）；（2）若若ACBC，MN为直径为直径；AB不是直径，则不是直径，则 （ ），（），（ ），（），（ ）；）；（3）若若MNAB，ACBC，则则 （ ），（），（
15、 ），（），（ ）；）；（4）若弧若弧AM弧弧BM，MN为直径，则为直径，则 （ ），（），（ ），（），（ ）。）。COBAMN2020年年9月月28日日24一、判断是非：一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。（）（）（）ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)2020年年9月月28日日25（4）弦的垂直平分线一定是圆的直径。）弦的垂直平分线一定是
16、圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。（）（）（）ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E2020年年9月月28日日26DOABC已知：如图，已知：如图， O 中，中， AB为为 弦，弦，C 为为 AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求求 O 的半径的半径OA.2020年年9月月28日日27归纳归纳: : 解决有关弦的问题时，经常解决有关弦的问题时，经常连结半径连结半径；过圆心作一条与弦垂直的线段过圆心作一条与弦
17、垂直的线段等辅助线，等辅助线，为应用垂径定理创造条件。为应用垂径定理创造条件。E.ACDBO.ABO2020年年9月月28日日28如图，如图，P为为 O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点，PAAB2，PO5，求，求 O的半径。的半径。MAPBO关于弦的问题，常常需关于弦的问题，常常需要要过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的这是一条非常重要的辅辅助线助线。圆心到弦的距离、半径、圆心到弦的距离、半径、弦长弦长构成构成直角三角形直角三角形，便将问题转化为直角三便将问题转化为直角三角形的问题。角形的问题。M2020年年9月月28日日291300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（
18、如图）的桥拱多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对是弦的长）为是圆弧形，它的跨度（弧所对是弦的长）为 37.4 米，拱高（弧米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径（精米，求桥拱的半径（精确到确到0.1米）米）.2020年年9月月28日日30解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱， 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为R米，米，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，
19、的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设ABABABAB37.47.2OABCRD, 2 . 7, 4 .37CDABABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（米）（米）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9米米.C2020年年9月月28日日31 仙人过桥仙人过桥 鲁班一夜之间修成大石桥，人们奔走相告，到处传颂。八仙之一的张果鲁班一夜之间修成大石桥，人们奔走相告，到处传颂。八仙之一的张果老听说后，就倒骑毛驴，
20、亲自到赵州看个究竟。张果老在桥头见到鲁班，问老听说后，就倒骑毛驴，亲自到赵州看个究竟。张果老在桥头见到鲁班，问道：道：“先生，你这桥能禁得住我的毛驴一过吗？先生，你这桥能禁得住我的毛驴一过吗？”鲁班毫不在意地说：鲁班毫不在意地说：“你你看这桥上行人客商，千军万马来往不绝，你这小小毛驴不在话下，先生但过看这桥上行人客商，千军万马来往不绝，你这小小毛驴不在话下，先生但过无妨。无妨。”张果老暗暗用法术聚来日月星辰装进肩上的搭裢，笑眯眯地倒骑毛张果老暗暗用法术聚来日月星辰装进肩上的搭裢，笑眯眯地倒骑毛驴走上了桥。当毛驴走到三分之一处时，大桥被压得摇摇晃晃，形势危急。驴走上了桥。当毛驴走到三分之一处时，
21、大桥被压得摇摇晃晃，形势危急。鲁班急忙飞身桥下，用大手托住桥身，保住了大桥。鲁班感到怪异，合住左鲁班急忙飞身桥下，用大手托住桥身，保住了大桥。鲁班感到怪异，合住左眼用右眼细细观察，才发现骑驴的老头原来是仙人张果老，毛驴虽小，但是眼用右眼细细观察，才发现骑驴的老头原来是仙人张果老，毛驴虽小，但是却装着日月星辰。此后，桥面石上就留下了仙人的驴蹄印。却装着日月星辰。此后，桥面石上就留下了仙人的驴蹄印。 柴王推车柴王推车 柴王听到鲁班在赵州修桥的消息后，为国家有这样的贤良能人而高兴。柴王听到鲁班在赵州修桥的消息后，为国家有这样的贤良能人而高兴。他便推上独轮车，装载三山五岳，由赵匡胤拉车，来赵州桥考查封
22、赏鲁班。他便推上独轮车，装载三山五岳，由赵匡胤拉车，来赵州桥考查封赏鲁班。小车将至桥巅，因为车沉桥陡，柴王脚下一滑，单膝跪在桥上，把桥面上压小车将至桥巅，因为车沉桥陡，柴王脚下一滑，单膝跪在桥上，把桥面上压了一个膝印和一道车沟。鲁班看见，急忙上前跪拜，柴王说：了一个膝印和一道车沟。鲁班看见，急忙上前跪拜，柴王说：“你为民修桥你为民修桥有功，我这车上的三山五岳，任你挑选，朕要封你为官。有功，我这车上的三山五岳，任你挑选，朕要封你为官。”鲁班拜谢圣意，鲁班拜谢圣意，表示愿作工匠一世，别无所求。柴王大喜，当场书写表示愿作工匠一世，别无所求。柴王大喜，当场书写“鲁班仙师鲁班仙师”匾额一块匾额一块，赐于
23、鲁班。，赐于鲁班。2020年年9月月28日日32在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示示.若油面宽若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. BAO600 650ED 2020年年9月月28日日33OACB右图是一水平放置的圆柱形右图是一水平放置的圆柱形水管的横截面，水面高水管的横截面，水面高CD=( 2+2) cm水面宽水面宽AB=22cm则水管截面圆的半径是多少则水管截面圆的半径是多少?D2020年年9月月28日日341、要把实际问题转变成一个数学问题来解决、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.2、熟练
24、地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题来解决问题.3、对于一个圆中的弦长、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆半径、圆半径r、弓形、弓形高高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：外两个量，如图有：hda2Od + h = r222)2(adr2020年年9月月28日日35驶向胜利的彼岸挑战自我挑战自我 如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.ABCD0EFGH2020年年
25、9月月28日日36例例2 已知：已知： O中弦中弦ABCD。求证：求证：ACBD证明：作直径证明：作直径MNAB。ABCD，MNCD。则。则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）AMCMBMDMACBD .MCDABON讲解讲解2020年年9月月28日日37演讲完毕，谢谢观看！Thank?you?for?reading!?In?order?to?facilitate?learning?and?use,?the?content?of?this?document?can?be?modified,?adjusted?and?printed?at?will?after?downloading.?Welcome?to?download!汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
