1、6.2.2直线上向量的坐标及其运算1.1.直线上向量的坐标直线上向量的坐标给定一条直线给定一条直线l及这条直线上一个单位向量及这条直线上一个单位向量e, ,对于这条对于这条直线上的任意一个向量直线上的任意一个向量a, ,一定存在唯一的实数一定存在唯一的实数x,x,使得使得a=x=xe, ,此时此时x x称为向量称为向量a的的坐标坐标. .在直线上指定原点在直线上指定原点O,O,以以e的方向为正方向的方向为正方向, ,如果把向量如果把向量a的始点平移到原点的始点平移到原点O,O,那么那么a的终点对应的数就是向量的终点对应的数就是向量a的坐标的坐标. .【思考思考】向量向量a的坐标的坐标x x能刻
2、画它的模与方向吗能刻画它的模与方向吗? ?提示提示: :能能. .(1)|(1)|a|=|x|=|xe|=|x|=|x|e|=|x|.|=|x|.(2)(2)当当x0 x0时时, ,a的方向与的方向与e的方向相同的方向相同; ;当当x=0 x=0时时, ,a是零向是零向量量; ;当当x0 x0时时, ,a的方向与的方向与e的方向相反的方向相反. .2.2.直线上向量的运算与坐标的关系直线上向量的运算与坐标的关系如果直线上两个向量如果直线上两个向量a, ,b的坐标分别为的坐标分别为x x1 1,x,x2 2. .(1)(1)a= =b的充要条件是的充要条件是x x1 1=x=x2 2. .(2)
3、(2)a+ +b的坐标为的坐标为x x1 1+x+x2 2, ,a- -b的坐标为的坐标为x x1 1-x-x2 2,a的坐标为的坐标为xx1 1. .(3)(3)设设A(xA(x1 1),B(x),B(x2 2) )是数轴上的两点是数轴上的两点,M(x),M(x)是线段是线段ABAB的中的中点点, ,则则AB=|xAB=|x2 2-x-x1 1|,x=|,x= 12xx.2【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)数轴上点数轴上点A A对应的数为对应的数为-3,-3,则向量则向量 的坐标为的坐标为3. (3. () )(2)
4、(2)数轴上点数轴上点A A对应的数为对应的数为-3,-3,则向量则向量| |=3.(| |=3.() ) OA OA (3)(3)直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等. . ( () )(4)(4)两个向量差的坐标等于这两个向量坐标的差两个向量差的坐标等于这两个向量坐标的差. (. () ) 提示提示: :(1)(1). .数轴上点数轴上点A A对应的数为对应的数为-3,-3,则向量则向量 的坐的坐标为标为-3.-3.(2).(3).(4).(2).(3).(4).OA 2.2.已知直线上向量已知直线上向量a的坐标为的坐标为3,3,则则b=
5、-2=-2a的坐标的坐标为为 ( () )A.-2 B.2 C.6 D.-6A.-2 B.2 C.6 D.-6【解析解析】选选D.-2D.-2a的坐标为的坐标为-2-23=-6.3=-6.3.3.已知数轴上两点已知数轴上两点A,BA,B的坐标分别为的坐标分别为-2,5,-2,5,则向量则向量 的的坐标为坐标为_._.AB 【解析解析】由题意由题意, , 的坐标为的坐标为-2, -2, 的坐标为的坐标为5,5,又因又因为为 所以所以 的坐标为的坐标为5-(-2)=7.5-(-2)=7.答案答案: :7 7OA OB AB OB OA ，AB 类型一求直线上向量的坐标类型一求直线上向量的坐标【典例
6、典例】1.1.若若e是直线是直线l上的一个单位向量上的一个单位向量, ,这条直线上的这条直线上的向量向量a, ,b的坐标分别为的坐标分别为x,y,x,y,下列说法错误的是下列说法错误的是( () )A.|A.|a|=x B.|=x B.b=y=yeC.C.a+ +b的坐标为的坐标为x+y D.|x+y D.|e|=1|=12.2.如图所示如图所示, ,写出直线上向量写出直线上向量a, ,b的坐标的坐标. .【思维思维引引】根据直线上向量坐标的定义解决根据直线上向量坐标的定义解决. .【解析解析】1.1.选选A.A.由题意知由题意知,|,|e|=1,|=1,|a|=|x|,|=|x|,b=y=y
7、e, , a+ +b=x=xe+y+ye=(x+y)=(x+y)e, ,所以所以a+ +b的坐标为的坐标为x+y,x+y,只有只有A A错误错误. .2.2.如题图如题图, ,因为因为a=-4=-4e, ,b=3=3e, ,所以向量所以向量a, ,b的坐标分别是的坐标分别是-4,3.-4,3.【类题类题通通】求直线上向量的坐标的两种方法求直线上向量的坐标的两种方法(1)(1)将向量用单位向量表示出来将向量用单位向量表示出来. .(2)(2)将向量的始点平移到原点将向量的始点平移到原点, ,读出终点的坐标读出终点的坐标. .【习练习练破破】若若e是直线是直线l上的一个单位向量上的一个单位向量,
8、,向量向量a=-=- e是这条直线是这条直线上的向量上的向量, ,则向量则向量a的坐标为的坐标为( () )A.-A.- e B. B. e C.- C.- D. D. 1313131313【解析解析】选选C.C.由直线上向量的坐标的定义知由直线上向量的坐标的定义知, ,向量向量a的的坐标为坐标为- .- .13类型二直线上向量的坐标运算类型二直线上向量的坐标运算【典例典例】已知直线上向量已知直线上向量a, ,b的坐标分别为的坐标分别为3,-4,3,-4,求下求下列向量的坐标列向量的坐标. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)2(1)2a+ +b. .(2)5(2)5a- - b. .12【思
9、维思维引引】利用直线上向量坐标运算的法则解决利用直线上向量坐标运算的法则解决. .【解析解析】(1)2(1)2a+ +b的坐标为的坐标为2 23+(-4)=2.3+(-4)=2.(2)5(2)5a- - b的坐标为的坐标为5 53- 3- (-4)=17.(-4)=17.1212【类题类题通通】直线上向量的坐标运算类似于初中数学上的代入求值直线上向量的坐标运算类似于初中数学上的代入求值问题问题, ,解题时要特别注意符号解题时要特别注意符号, ,以防出错以防出错. .【习练习练破破】若若e是直线是直线l上的一个单位向量上的一个单位向量, ,向量向量a= = e, ,b=-=- e是这是这条直线上
10、的向量条直线上的向量, ,则则| |a+2+2b|=_.|=_.1312【解析解析】由题意由题意, ,向量向量a, ,b的坐标分别为的坐标分别为 ,- ,- ,所以所以a+2+2b的坐标为的坐标为 +2+2 =- , =- ,故故| |a+2+2b|= .|= .答案答案: : 1312131()2232323【加练加练固固】已知直线上向量已知直线上向量a, ,b的坐标分别为的坐标分别为-3,2,-3,2,c= =a+ +b, ,d= =a- -b, ,判断向量判断向量c, ,d的方向是相同还是相反的方向是相同还是相反. .【解析解析】c= =a+ +b的坐标为的坐标为-3+2=-1;-3+2
11、=-1;d= =a- -b的坐标为的坐标为-3-2=-5,-3-2=-5,故向量故向量c, ,d的方向相同的方向相同. .类型三数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式类型三数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式【典例典例】已知已知A,BA,B是数轴上的点是数轴上的点,B(-2),B(-2),且且 的坐标为的坐标为4,4,求求: :世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)点点A A的坐标的坐标.(2).(2)线段线段BABA的中点的中点C C的坐标的坐标. .AB 【思维思维引引】利用数轴上两点之间的关系与中点坐标利用数轴上两点之间的关系与中点坐标公式求解公式求解. .【解析解析】(1)(1)由
12、题意知由题意知, , 的坐标为的坐标为-2,-2,又又 且且 的坐标为的坐标为4,4,所以所以 的坐标为的坐标为-6,-6,即即A(-6).A(-6).(2)(2)由由(1)(1)知知,A(-6),B(-2),A(-6),B(-2),所以中点所以中点C C的坐标为的坐标为=-4,=-4,即即C(-4).C(-4).OB AB OB OA ，AB OA 622 【素养素养探探】本题考查数轴上两点之间的关系与中点坐标公式本题考查数轴上两点之间的关系与中点坐标公式, ,突出突出考查了数学运算的核心素养考查了数学运算的核心素养. .若把本例条件改为若把本例条件改为“已知已知A,BA,B是数轴上的点是数
13、轴上的点,A(2),A(2),B(-3)”,B(-3)”,求求A A与与B B的距离及线段的距离及线段ABAB的中点坐标的中点坐标. .【解析解析】因为因为 所以所以 的坐标为的坐标为-3-2=-5,-3-2=-5,故故AB=| |=5,AB=| |=5,线段线段ABAB的中点坐标为的中点坐标为 AB OB OA ，AB AB 231.22 【类题类题通通】要熟记数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式要熟记数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式, ,并并清楚它们之间的区别清楚它们之间的区别. .【习练习练破破】设数轴上两点设数轴上两点A,BA,B的坐标分别为的坐标分别为-1,4,-1,4,求向量求向量 的坐标的坐标及及A A与与B B的距离的距离. .BA 【解析解析】由题意得由题意得 的坐标为的坐标为-1, -1, 的坐标为的坐标为4,4,又又因为因为 所以所以 的坐标为的坐标为-1-4=-5,-1-4=-5,而且而且BABA=| |=|-5|=5.=| |=|-5|=5.OA OB BA OA OB ，BA BA
