1、材料力学Mechanics of Materials第四章扭 转材料力学Mechanics of Materials工程实例工程实例引言引言-概念概念材料力学Mechanics of Materialsn受力特点受力特点：两个等值反向的：两个等值反向的力偶矩分别作用在杆件两端力偶矩分别作用在杆件两端垂直于轴线的平面内垂直于轴线的平面内n变形特点变形特点：杆件的各横截面：杆件的各横截面绕杆的轴线发生相对转动绕杆的轴线发生相对转动引言引言-概念概念材料力学Mechanics of Materialsn已已扭转变形扭转变形为主的杆为主的杆件通常称为件通常称为轴轴n任意两横截面间任意两横截面间相对相对
2、转过的角度称为转过的角度称为扭转扭转角角n力偶矩称为力偶矩称为扭力矩扭力矩（扭力偶矩扭力偶矩）MM引言引言-概念概念材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图材料力学Mechanics of Materials外力偶矩的计算外力偶矩的计算n工程中的传动轴，通常不直工程中的传动轴，通常不直接给出外力偶矩的数值，而接给出外力偶矩的数值，而是给出传动轴所传递的是给出传动轴所传递的功率功率和和转速转速n设外力偶矩为设外力偶矩为M，传动轴的传动轴的功率为功率为P，角速度为角速度为w w，则有则有（理论力学）（理论力学）wPM 外力偶矩M 单位：Nm（牛顿米）功率为P 单位
3、：W（瓦）角速度w 单位：arc/s（弧度/秒）外力偶矩、扭矩和扭矩图材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图n在工程中，功率通用在工程中，功率通用千瓦千瓦 PkW (kW) 给给出，角速度用转速出，角速度用转速 n（转转/分钟）给出分钟）给出，则外力偶矩的计算公式为则外力偶矩的计算公式为kW9549(N m)PMn1()1000 N m /skWP千瓦材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图 扭转时的内力扭转时的内力扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图n杆件在扭力矩的作用下产生扭转变形，杆件在扭力矩的作用下产生扭转变形，同时在轴内产生反
4、抗扭转变形的内力偶同时在轴内产生反抗扭转变形的内力偶矩矩T，称为称为扭矩扭矩n扭矩扭矩T 的计算仍采用截面法的计算仍采用截面法材料力学Mechanics of Materials假想截面假想截面m-m将杆将杆件分为两部分，根据平件分为两部分，根据平衡关系，有衡关系，有 T=MMMmmMTM T外力偶矩、扭矩和扭矩图材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图n扭矩符号的规定扭矩符号的规定 采用右手螺旋法则，如果用四指表采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向，拇指的指向与截面的外示扭矩的转向，拇指的指向与截面的外法线法线n的方向相同时，该扭矩为正；反的方向相同时
5、，该扭矩为正；反之，规定扭矩为负之，规定扭矩为负 材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图n以水平轴作为杆件横截面位置的坐标，以水平轴作为杆件横截面位置的坐标，垂直轴表示杆件横截面上扭矩的数值，垂直轴表示杆件横截面上扭矩的数值，所绘制的图形成为所绘制的图形成为扭矩图扭矩图 确定最大扭矩确定最大扭矩Tmax截面所在的位置截面所在的位置n对于等截面杆件，最大扭矩所在的位置对于等截面杆件，最大扭矩所在的位置即为危险截面（即为危险截面（最大切应力所在截面的最大切应力所在截面的位置位置）材料力学M
6、echanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图例例 如图所示的传动轴的转速如图所示的传动轴的转速n=300转转/分，主动轮的输入功率分，主动轮的输入功率PA=367kW，从动轮从动轮B、C及及D的输出功率分别为的输出功率分别为PB=PC=110kW，PD=147kW，绘制该轴的扭矩图，并确定最绘制该轴的扭矩图，并确定最大扭矩大扭矩Tmax及其所在位置。及其所在位置。BCD A主动轮材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图解解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为主动轮和从动轮的外力偶矩分别为方向如图所示方向如图所示mN1068.49549mN105
7、0.39549mN1068.119549333nPMnPMMnPMDDBCBAAMBMCMAMD材料力学Mechanics of MaterialsMCMAMDMB112233外力偶矩、扭矩和扭矩图各段的扭矩为各段的扭矩为 T1MBT1=MB=3.5103 NmMCMBT2T2=MB+ MC =7103 NmT3= -MD= -4.68103 NmMDT3若扭矩为正，表明若扭矩为正，表明与所设方向相同（扭矩与所设方向相同（扭矩的正向）；若为负，表的正向）；若为负，表明扭矩与所设方向相反明扭矩与所设方向相反材料力学Mechanics of MaterialsMCMAMDMB112233外力偶矩、
8、扭矩和扭矩图绘制扭矩图。绘制扭矩图。T (Nm)3.51037.01034.68103x材料力学Mechanics of Materials外力偶矩、扭矩和扭矩图例例 如图所示的水平如图所示的水平圆轴圆轴AB，在在l长度上承受长度上承受均布力偶矩均布力偶矩m（单位长度单位长度的外力偶矩）作用。计算的外力偶矩）作用。计算轴内扭矩并作出扭矩图轴内扭矩并作出扭矩图ABmoTn(x)(l-x)解 取坐标系如图所示，则截面位置为x处的扭矩为 Tn(x)= m(l- x) 从而扭矩图为mlMx材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转时的应力材料力学Mechanics of Materi
9、als下面讨论等直圆轴扭转时横截面上各点下面讨论等直圆轴扭转时横截面上各点处的应力处的应力此问题必须从此问题必须从几何几何、本构本构和和平衡平衡三个方三个方面进行综合分析面进行综合分析几何关系（变形应变）本构关系（胡克定理）静力平衡关系MM三个方面三个方面圆轴扭转时的应力材料力学Mechanics of Materials回忆轴向拉伸的应力公式的建立回忆轴向拉伸的应力公式的建立n实验观察实验观察-表表 均匀变形均匀变形-几何几何n理论假设理论假设-里里 均匀变形均匀变形-几何几何n理论推论：理论推论：杆件在横截面上的分布内力是均匀的杆件在横截面上的分布内力是均匀的n理论公式理论公式 平衡平衡A
10、FAFN 2 2 2 2 F F 1 1 1 1 材料力学Mechanics of Materials几何关系n实验观察实验观察-画线画线v 圆周线大小、间距、形状不变，只是绕轴转动一个角度v 纵线仍为直线，倾角为gv 矩形变为平行四边形圆轴扭转时的应力材料力学Mechanics of Materialsn基本假设基本假设圆轴横截面始终保持平面，其形状、大小与圆轴横截面始终保持平面，其形状、大小与横截面间的距离均不变，只是绕轴转动一个横截面间的距离均不变，只是绕轴转动一个角度角度圆轴扭转的平面假设圆轴扭转的平面假设n推论推论无轴向变形，无轴向变形，横截面上只有切应力横截面上只有切应力只有横截面
11、内的变形只有横截面内的变形圆轴扭转时的切应力材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转时的切应力MexmmnnMejmmnnxdxdxabcdRcddjgreecc=R djccdRacdxjgddxrjgrO几何关系几何关系材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转时的切应力由剪切胡克定律由剪切胡克定律 t t =Gg gdxdGGjrgtrr横截面上半径为横截面上半径为r r 处的切应力为处的切应力为dxdjrgr考虑到考虑到本构关系本构关系材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转的切应力n剪力方向垂直于半径剪力方向垂直于半径（由于剪
12、切变形发生在（由于剪切变形发生在垂直于半径的平面内）垂直于半径的平面内）dxdGjrtrdxdjUNKNOWNn 圆轴截面上的切应力圆轴截面上的切应力t tr r与与r r 成正比成正比-线性分布，线性分布， 切应力在圆轴边缘达到最切应力在圆轴边缘达到最大大n 在离圆心等远的各点处，在离圆心等远的各点处，切应力则均相同切应力则均相同-等应力线等应力线材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转的切应力静力平衡关系 横截面上分布的切横截面上分布的切应力的合力（主矢）等应力的合力（主矢）等于零，切应力关于点于零，切应力关于点o的合力偶应该等于该截的合力偶应该等于该截面上的扭矩面上的
13、扭矩T，即即TTdAArtrTOdArrt材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转的切应力由于由于dxdGjrtrTdAArtrMnTdAdxdGA2rj则则记记称为称为圆截面的极惯性矩圆截面的极惯性矩dAIA2prpGITdxdj圆轴扭转变形公式圆轴扭转变形公式则则材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转的切应力从而从而切应力的公式切应力的公式rtrpIT最大切应力为最大切应力为RITpmaxt记记称为抗扭截面系数称为抗扭截面系数RIWppdxdGjrtrpGITdxdjpmaxWTt则最大切应力为则最大切应力为由于由于材料力学Mechanics of
14、 Materials极惯性矩和抗扭截面模量定义RIWdAIApp2p,r实心圆轴实心圆轴44022p321212DRddAIRArrrr33pp16121DRRIW实心圆轴实心圆轴材料力学Mechanics of Materials极惯性矩和抗扭截面模量)1 (321)(321)(2124444442prrrDdDrRdIRr)1 (161)1 (24343ppDRRIW空心圆轴Dd 00何意何意? ?实心圆轴实心圆轴4p321DI3p161DW材料力学Mechanics of Materials极惯性矩和抗扭截面模量讨论：讨论：是否成立？是否成立？dDdDWWWIIIpppppp不能用叠加法
15、不成立可用叠加法成立dDdDWWWIIIpppppp材料力学Mechanics of Materials薄壁圆筒的扭转设圆筒的壁厚为设圆筒的壁厚为t，R0是圆是圆筒的平均半径筒的平均半径n薄壁圆筒的几何特征薄壁圆筒的几何特征 t/R0 10-1n空心圆截面处理空心圆截面处理-精确精确n近似处理近似处理R0trtrpIT材料力学Mechanics of Materialsn由于是薄壁圆筒，所以，假定由于是薄壁圆筒，所以，假定切应力切应力沿壁厚方向是均匀的，且切应力方向沿壁厚方向是均匀的，且切应力方向垂直于半径，垂直于半径，于是，于是，切切应力t 在整个横截面上相等n横截面上切应力横截面上切应力t
16、 t 对原点对原点o的力偶矩的力偶矩（扭矩）为（扭矩）为薄壁圆筒的扭转tttRdARTA2002tR0t dA于是于是202TR tt误差小于误差小于4.73%材料力学Mechanics of Materials薄壁圆筒的扭转n适用性适用性 1. 均质材料：弹性、非弹性（没有用到均质材料：弹性、非弹性（没有用到胡克定律）；胡克定律）； 各向同性与各向异性各向同性与各向异性 2. t/R0 10-1材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转的强度分析圆轴扭转的强度分析材料力学Mechanics of Materials扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析n扭转试验是在扭转试验扭
17、转试验是在扭转试验机上对圆截面试样进行机上对圆截面试样进行测试测试n塑性材料塑性材料的的t t g g 曲线与曲线与杆件的拉伸杆件的拉伸 e e 曲线形曲线形状相似状相似（如图）（如图）n在剪切比例极限内在剪切比例极限内，切，切应力和切应变成正比，应力和切应变成正比，即即 t t =Gg g 材料力学Mechanics of Materials扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析破坏类型破坏类型 试验发现：试验发现：n 塑性材料塑性材料q 脆性材料脆性材料材料力学Mechanics of MaterialsdxdydzxyzABCD扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析斜截面上的应力斜截面上的应
18、力 从圆轴中取出一单元体从圆轴中取出一单元体nAB、CD面属于圆轴的横面属于圆轴的横截面截面(垂直垂直 x 轴轴)nAD、BC面属于圆轴的径面属于圆轴的径向面向面(垂直垂直 y 轴轴)n前、后两侧面属于圆轴的前、后两侧面属于圆轴的两个柱面两个柱面(垂直垂直 z 轴轴)q 该单元体的受力状态该单元体的受力状态为为纯剪切应力状态纯剪切应力状态q AB、CD、AD、BC面面受剪力受剪力t t 的作用，方向的作用，方向如图所示如图所示材料力学Mechanics of Materials扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析dxdydzxyzABCDt tt tADCBt tt tt tt t n研究法向
19、研究法向n与与x轴夹角为轴夹角为 的斜截面上的应力的斜截面上的应力材料力学Mechanics of Materials扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析 t tt t ndydxxyt t 注意到：注意到： dAx=dAsin dAy=dAcos ttt2cos2sin得：0cossin00sincos0 xxyyFdAdAdAFdAdAdAtttt利用截面法和静力衡，利用截面法和静力衡，材料力学Mechanics of Materialsn在在 = 0o或或 = 90o的截的截面上，面上，t t 达到极值，其达到极值，其绝对值大小为绝对值大小为t t，并且，并且，截面上没有正应力截面上没有
20、正应力n在在 = 45o的截面上，的截面上， 达到极值，其绝对值达到极值，其绝对值大小仍为大小仍为t t，并且，截面并且，截面上没有切应力上没有切应力t tt t t t t tttt2cos2sin扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析材料力学Mechanics of Materials扭转试验和破坏分析扭转试验和破坏分析破坏机理破坏机理n塑性材料：塑性材料：受剪破坏受剪破坏。 低碳钢的抗剪强度低于低碳钢的抗剪强度低于抗拉强度抗拉强度q 脆性材料脆性材料受拉破坏受拉破坏脆性材料的抗剪强度大脆性材料的抗剪强度大于抗拉强度于抗拉强度45ot tt t t t t t材料力学Mechanics of
21、 Materialsn拉伸拉伸steeliron抗剪抗剪抗拉抗拉抗拉抗拉抗剪抗剪分析破坏截面与材料性质之间的关系分析破坏截面与材料性质之间的关系2cossin 22t轴向拉伸的破坏分析轴向拉伸的破坏分析材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件从破坏类型可见，对于从破坏类型可见，对于脆性材料脆性材料（如（如铸铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉铸铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力。因此，本质上讲，理应对斜截面上应力。因此，本质上讲，理应对斜截面上的正应力进行强度计算。然而，由于斜截的正应力进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和横截面上的切应力间有
22、固面上的正应力和横截面上的切应力间有固定的关系，所以，习惯上仍按定的关系，所以，习惯上仍按最大切应力最大切应力进行强度计算进行强度计算材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件n受扭轴的破坏标志仍为受扭轴的破坏标志仍为屈服屈服和和断裂断裂n屈服时横截面上的最大切应力称为屈服时横截面上的最大切应力称为扭转扭转屈服应力屈服应力，记为，记为t tsn断裂时横截面上的最大切应力称为断裂时横截面上的最大切应力称为扭转扭转强度极限强度极限，记为，记为t tb 它们统称为它们统称为扭转极限应力扭转极限应力，记为，记为t tu45o材料力学Mechanics of M
23、aterialsq 等截面圆轴扭转强度条件等截面圆轴扭转强度条件为截面上的最大扭矩为截面上的最大扭矩pmaxmaxttWT扭转强度条件扭转强度条件为扭转许用切应力为扭转许用切应力maxtt圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转强度条件maxpmaxttWTq 阶梯形圆轴阶梯形圆轴q 许用切应力许用切应力与许用正应力与许用正应力的关系的关系v 塑性材料塑性材料v 脆性材料脆性材料许用拉应力许用拉应力材料力学Mechanics of MaterialsExample-1例例 已知已知 t t =60 MPa D =85 mm t =2 mm M
24、 =1.2 kNm校核其强度校核其强度 MMt解解 由于由于因此，可用薄壁圆筒理因此，可用薄壁圆筒理论。由于扭矩论。由于扭矩则则故满足强度要求故满足强度要求 ttMPa47.55)(22220ttDTtRT材料力学Mechanics of MaterialsExample-2例例 轴的转速轴的转速n=100r/min，传递功率传递功率P=7.5kW，材料的许用应力材料的许用应力t t =40MPa。空心轴的内外半径之比为空心轴的内外半径之比为d/D=0.5。为满足为满足强度要求，求实心轴的直径强度要求，求实心轴的直径d1和空心轴的和空心轴的外直径外直径D。材料力学Mechanics of Ma
25、terialsExample-2mN18.7169549nPMT空心圆轴直径空心圆轴直径mm46)/(1(1634DdTDt从而，实心圆轴直径从而，实心圆轴直径mm451631tTd31pp161dRIWpmaxmaxttWT解解 轴的扭矩为轴的扭矩为材料力学Mechanics of MaterialsExample-2设实心和空心圆轴的材料相同，长度相设实心和空心圆轴的材料相同，长度相等，等， 则空心圆轴和实心圆轴的重量之比为则空心圆轴和实心圆轴的重量之比为%3 .78434/4/ )(2121221212dDddDAAPP可见，在相同的强度要求下可见，在相同的强度要求下空心圆轴比空心圆轴比
26、实心圆轴节省材料实心圆轴节省材料材料力学Mechanics of MaterialsExample-3例例 阶梯圆轴阶梯圆轴AB段的直径段的直径dI=120mm， BC段的直径段的直径dII=100mm，扭转力偶分别为扭转力偶分别为MA=22kNm， MB=36kNm， MC=14kNm。已知已知 材料的许用切应力材料的许用切应力t t =80 MPa，校核该轴强度。校核该轴强度。 MAMCMBIIIACB材料力学Mechanics of MaterialsExample-3MAMCMBIIIACB由于两端的直由于两端的直径不同，因此，应径不同，因此，应分别校核两段轴的分别校核两段轴的强度强度
27、 xT解解 利用截面法，利用截面法，可得可得AB段和段和BC段段的扭矩分别的扭矩分别TI=22kNm， TII=-14kNm扭矩图如图所示扭矩图如图所示材料力学Mechanics of MaterialsExample-3对对AB段段因此，该阶梯圆轴满足强度要求因此，该阶梯圆轴满足强度要求MPa84.64)12. 0(100022316maxttIIIWT对对BCBC段段MPa30.71)10. 0(100014316maxttIIIIIIWTt t =80 MPa材料力学Mechanics of MaterialsExample-4例例 图示圆柱形密圈图示圆柱形密圈螺线弹簧（螺线弹簧（密圈螺
28、线弹簧密圈螺线弹簧是指是指螺旋升角螺旋升角 50），），沿弹簧的沿弹簧的轴线承受拉力轴线承受拉力F的作用，设的作用，设弹簧的平均直径为弹簧的平均直径为D，弹簧弹簧丝的直径为丝的直径为d，分析弹簧的分析弹簧的应力，并建立相应的强度条应力，并建立相应的强度条件。件。 d D/2D/2F材料力学Mechanics of MaterialsExample-4解解 利用截面法，以通利用截面法，以通过弹簧轴线的平面将弹簧丝切过弹簧轴线的平面将弹簧丝切断，选择上部为研究对象。由断，选择上部为研究对象。由于螺旋升角于螺旋升角 很小，此切面可很小，此切面可视为弹簧丝的横截面。视为弹簧丝的横截面。可见，弹簧丝的横
29、截可见，弹簧丝的横截面上作用有剪力面上作用有剪力F Fs s和扭矩和扭矩T T，其分别值为其分别值为 Fs=F，T=FD/2dFsTFD/2材料力学Mechanics of MaterialsExample-4假设与剪力假设与剪力Fs相应的相应的切切应应力力t t 沿截面分布均匀，则沿截面分布均匀，则22s44dFdFtt扭矩扭矩T T 引起的最大切引起的最大切应力应力t tmax 为为33pmax8216dFDFDdWTt tdFsTFD/2材料力学Mechanics of MaterialsExample-4由叠加原理可得截面上的由叠加原理可得截面上的最大最大切切应力应力t tmax)21
30、 (83maxmaxDddDF ttt可见，弹簧丝处于纯可见，弹簧丝处于纯剪切状态，所以其强度条剪切状态，所以其强度条件为件为maxttttdFsTFD/2材料力学Mechanics of MaterialsExample-4当当D/d 10时，时，最大最大切切应应力力t tmax可近似为可近似为3max8dDFtt)21 (83maxDddDFt当当D/d 10时时，则应考则应考虑剪应力虑剪应力t t 和弹簧丝和弹簧丝曲率曲率的影响，此时，的影响，此时，最大最大切切应应力力t tmax可修正为可修正为342483maxdDdDdDFttdFsTFD/2材料力学Mechanics of Mat
31、erials圆轴扭转的变形圆轴扭转的变形材料力学Mechanics of MaterialsMnMn物理意义物理意义 长度为长度为dx的微元段，其两端的微元段，其两端横截面的相对转角为横截面的相对转角为dj jdxGITdpj公式公式pGITdxdj圆轴扭转的变形圆轴扭转的变形材料力学Mechanics of Materials从而从而ldxGIT0pj 抗扭刚度抗扭刚度 单位长度的单位长度的 扭转角扭转角pGIpGITdxGITdpjpp0pGIMlGITldxGITljMM等截面常扭矩公式等截面常扭矩公式轴两端面之间的相对扭转角与轴长、扭矩成正比，与抗扭刚度成反比轴两端面之间的相对扭转角与
32、轴长、扭矩成正比，与抗扭刚度成反比圆轴扭转的变形圆轴扭转的变形材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转的变形l2l1MCMBABCd1d2ldxGIT0pjipiiiiiGIlTjj1.阶梯轴阶梯轴2.变截面变截面ldxxGIT0p)(j3.变扭矩变扭矩ldxGIxT0p)(j4.变截面变扭矩变截面变扭矩ldxxGIxT0p)()(j材料力学Mechanics of Materials等直圆轴刚度条件材料力学Mechanics of MaterialsldxGIT0pjpp0pGIMlGITldxGITljMMdxGITdpj对于等截面常扭矩圆轴对于等截面常扭矩圆轴pGIT
33、单位长度扭转角单位长度扭转角圆轴扭转的变形材料力学Mechanics of Materials圆轴扭转的刚度条件刚度条件刚度条件 在考虑刚度问题时，通常限制圆轴在考虑刚度问题时，通常限制圆轴的的最大单位长度的扭角最大单位长度的扭角 max不超过许用扭不超过许用扭角角 ，即，即 )/(pmaxmaxmGIT弧度 )m/(180opmaxmaxGIT材料力学Mechanics of MaterialsExample-1例例 阶梯轴横截面阶梯轴横截面B和和C上的外力偶矩分别上的外力偶矩分别为为MB=4200Nm，MC=1200N m，圆轴直径圆轴直径d1=50mm，d2=75mm，长度长度l1=50
34、0mm，l2=750mm，剪切弹性模量剪切弹性模量G=80GPa，许用单许用单位扭角位扭角 =2o/m，求截面求截面C相对截面相对截面A的扭转的扭转角角 AC，并校核该轴的刚度条件。并校核该轴的刚度条件。l2l1MCMBABCd1d2材料力学Mechanics of MaterialsExample-1解解 阶梯轴在阶梯轴在BC 段和段和AB段内的扭矩分段内的扭矩分别为别为 T1= MC = 1200Nm T2= MB MC = 3000Nm l2l1MCMBABCd1d2)rad(10905. 0)075. 0(32108075. 030002492p22GIlTAB截面截面B相对于截面相对
35、于截面A的扭转角的扭转角 AB为为材料力学Mechanics of MaterialsExample-1 截面截面C相对于截面相对于截面B的扭转角的扭转角 BC为为)rad(1022. 1)05. 0(32108050. 012002491p11GIlTBC）rad(10315. 02BCABAC故截面故截面C相对于截面相对于截面A的扭转角的扭转角 AC为为l2l1MCMBABCd1d2负号何意？负号何意？材料力学Mechanics of MaterialsExample-1 AB段的单位长度的扭转角段的单位长度的扭转角 AB为为m/692. 0180op22GITABm/40. 1180o1
36、p1GITBCBC段的单位长度的扭转角段的单位长度的扭转角 BC为为故满足刚度要求。故满足刚度要求。l2l1MCMBABCd1d2m/40. 1omaxBC =2o/m材料力学Mechanics of MaterialsExample-2例例 传动轴所承受的传动轴所承受的扭矩扭矩M=200Nm，轴的直轴的直径径d=40mm，材料的许用材料的许用应力应力t t =40MPa，剪切模剪切模量量G=80GPa，许用单位长许用单位长度转角度转角 =1o/m。校核该校核该轴的强度和刚度。轴的强度和刚度。MPa92.15163pmaxttdMWTm/57. 0180opmaxGITM材料力学Mechani
37、cs of MaterialsExample-3例例 一汽车主传动轮，受到最大一汽车主传动轮，受到最大转矩转矩M=1800N m的作用，轴由内径的作用，轴由内径d=82mm、外径外径D=90mm的无缝钢管的无缝钢管支撑，材料的剪切弹性模量支撑，材料的剪切弹性模量G=80GPa，单位长度的许用扭角单位长度的许用扭角 =1o/m。校核该轴刚度；校核该轴刚度；若改用刚度相同的实心轴，求实若改用刚度相同的实心轴，求实心轴的直径；心轴的直径；比较空心和实心轴的重量。比较空心和实心轴的重量。Dd材料力学Mechanics of MaterialsExample-34944pm10200032dDI满足刚度
38、要求。满足刚度要求。m/1m/645. 0180oopGIT空心轴的单位长度的扭角为空心轴的单位长度的扭角为解解 1. 校核空心轴的刚度校核空心轴的刚度材料力学Mechanics of MaterialsExample-32. 改用实心轴改用实心轴，由，由 = 0.645o/m得得mm67m102 .6718032342GTd%30307. 022222121ddDSSWW3. 比较重量比较重量在长度、材料相同的条件下，其重在长度、材料相同的条件下，其重量比就是相应的面积比量比就是相应的面积比材料力学Mechanics of Materials结论：结论：空心轴比实心轴具有优越性空心轴比实心轴
39、具有优越性原因：原因：由于切应力为线性分布的，所以，即使外圆由于切应力为线性分布的，所以，即使外圆周的切应力周的切应力t t 达到许用切应力达到许用切应力t t 时，在圆心时，在圆心附近的切应力仍然较小，不利于材料的充分附近的切应力仍然较小，不利于材料的充分利用利用圆心附近的切应力由于力臂较小，因而抵抗圆心附近的切应力由于力臂较小，因而抵抗材料所承受的扭矩也较小材料所承受的扭矩也较小圆轴扭转的刚度条件材料力学Mechanics of Materials因此，设计时应将材料外移至离圆心较因此，设计时应将材料外移至离圆心较远处，在面积保持不变的条件下，做成空心远处，在面积保持不变的条件下，做成空心
40、截面，以提高材料的承载能力。同时，由于截面，以提高材料的承载能力。同时，由于极惯性矩极惯性矩Ip的相应增加，也提高了抵抗扭转的相应增加，也提高了抵抗扭转变形的能力。变形的能力。设计时需要注意的是：设计时需要注意的是：管壁不能过薄，因为管壁过薄，受扭变管壁不能过薄，因为管壁过薄，受扭变形时，可能出现形时，可能出现皱褶现象皱褶现象局部失稳局部失稳尽量减少截面尺寸的急剧变化，以减缓尽量减少截面尺寸的急剧变化，以减缓应力集中应力集中圆轴扭转的刚度条件材料力学Mechanics of Materials扭转静不定问题材料力学Mechanics of Materials 扭转静不定问题扭转静不定问题如果支
41、座处的约束如果支座处的约束反力偶矩不能仅由静力平衡方程确定反力偶矩不能仅由静力平衡方程确定例例 AB圆轴的两端圆轴的两端固定，在截面固定，在截面C处受外力处受外力偶矩偶矩M作用。若轴的抗弯作用。若轴的抗弯刚度刚度GIp为常量，求轴在为常量，求轴在A、B两端的支座反力偶矩。两端的支座反力偶矩。ab扭转静不定问题材料力学Mechanics of Materials解解 设轴设轴A、B两端的两端的支座反力偶矩分别为支座反力偶矩分别为MA和和MB，方向如图所示。方向如图所示。BACMMBMAppGIaMGIaTAAC（）（+）物理方程物理方程平衡方程平衡方程扭转静不定问题材料力学Mechanics o
42、f Materials扭转静不定问题截面截面B相对于截面相对于截面C的转角的转角 CB为为 BCBppbMbTGIGI由此得由此得ABppaMbMGIGIACMMBMAB几何方程几何方程截面截面B相对于截面相对于截面A的转角的转角 AB为为AB = AC + CB = 0ABaMbM即即,ABbMaMMMa ba b代入平衡方程代入平衡方程 得得MA+ MB = M材料力学Mechanics of Materials例例 有一空心圆套有一空心圆套A套在实心圆杆套在实心圆杆B的一的一端，两杆在同一横截面上各有一直径相同的端，两杆在同一横截面上各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线的夹角为贯穿孔，
43、但两孔的中心线的夹角为b b。现在现在杆杆B上施加一外力偶，使其扭转到两孔对准上施加一外力偶，使其扭转到两孔对准的位置，并在孔中装上销钉。求在外力偶除的位置，并在孔中装上销钉。求在外力偶除去后两杆所承受的扭矩（去后两杆所承受的扭矩（装配应力装配应力）。）。 b b扭转静不定问题材料力学Mechanics of Materials解解 当除去外力偶后，由于内管和外当除去外力偶后，由于内管和外管通过销钉联结，并相互作用，所以，作管通过销钉联结，并相互作用，所以，作用在杆用在杆A、B上的扭矩上的扭矩MA、MB必然大小相必然大小相等，方向相反，组成平衡力系。因此，这等，方向相反，组成平衡力系。因此，这
44、是一个一次静不定问题是一个一次静不定问题TT b b扭转静不定问题材料力学Mechanics of Materials由由平衡关系平衡关系，有有 TA=TB=T由由几何关系几何关系，有，有 由由物理关系物理关系，有有pBBBBpAAAAGIlT,GIlT两杆件的转角分别为两杆件的转角分别为ABBABBBBBAABAAAAIlIlGIlTIlIlGIlTpppppp11bb由此，解得由此，解得BBAAIlIlGTppbTT b b扭转静不定问题材料力学Mechanics of Materials非圆截面杆的扭转材料力学Mechanics of Materials例如矩形截面直例如矩形截面直杆的扭
45、转杆的扭转变形特征变形特征q 横截面周线在扭横截面周线在扭转后变为非平面转后变为非平面曲线曲线平截面假平截面假定不成立定不成立q 横截面变形后变横截面变形后变为曲面为曲面翘曲现象翘翘曲曲非圆截面杆的扭转材料力学Mechanics of Materials非圆截面直杆的扭转分类非圆截面直杆的扭转分类约束扭转自由扭由扭转横截面可自由翘曲的扭转横截面可自由翘曲的扭转q相邻两横截面的翘曲程度完全相同，相邻两横截面的翘曲程度完全相同，两横截面间纵向纤维没有伸长两横截面间纵向纤维没有伸长q横截面上只存在切应力，没有正应力横截面上只存在切应力，没有正应力非圆截面杆的扭转材料力学Mechanics of Ma
46、terials横截面的翘曲受到限制的扭转横截面的翘曲受到限制的扭转n相邻两横截面的翘曲程度不相同，伴随着相邻两横截面的翘曲程度不相同，伴随着两横截面间纵向纤维的伸长或压缩两横截面间纵向纤维的伸长或压缩n截面上不仅有切应力，而且有附加正应力截面上不仅有切应力，而且有附加正应力对非圆实心轴，通常附加正应力很小，可对非圆实心轴，通常附加正应力很小，可忽略不计忽略不计对非圆薄壁杆，有时附加正应力很大，必对非圆薄壁杆，有时附加正应力很大，必须考虑其效应。此时，横截面上不仅有切须考虑其效应。此时，横截面上不仅有切应力（扭转切应力和弯矩切应力），而且应力（扭转切应力和弯矩切应力），而且有附加正应力（有附加正
47、应力（薄壁结构力学薄壁结构力学）非圆截面杆的扭转材料力学Mechanics of Materialsn下面仅讨论矩形截面和狭长矩形截面下面仅讨论矩形截面和狭长矩形截面的等直轴的自由扭转的等直轴的自由扭转n矩形截面等直轴的自由扭转问题必须矩形截面等直轴的自由扭转问题必须用用弹性力学理论弹性力学理论才能解决，这里只简单的才能解决，这里只简单的介绍弹性力学解的相应结果，以便应用介绍弹性力学解的相应结果，以便应用非圆截面杆的扭转材料力学Mechanics of Materials非圆截面杆的扭转横截面上的切应力分布横截面上的切应力分布n横截面周边各点的切应横截面周边各点的切应力方向必与周边平行力方向必
48、与周边平行n截面凸角处切应力的值截面凸角处切应力的值为零为零n最大切应力最大切应力t tmax发生在发生在矩形截面长边的中点处矩形截面长边的中点处n截面短边中点处的切应截面短边中点处的切应力数值也相当大力数值也相当大T材料力学Mechanics of Materials非圆截面杆的扭转n横截面上切应力沿径横截面上切应力沿径向不再是线性分布向不再是线性分布n横截面长边中点处的横截面长边中点处的最大切应力为最大切应力为tmaxWTt为横截面抗为横截面抗扭截面模量扭截面模量为与截为与截面长宽比有关的系数面长宽比有关的系数材料力学Mechanics of Materials非圆截面杆的扭转n横截面短边
49、中点处横截面短边中点处切应力为切应力为 g g 为系数为系数maxtgttGITljTT材料力学Mechanics of Materials非圆截面杆的扭转.31,31,742. 0bg2max3bhTt33GbhTlj材料力学Mechanics of Materials例例 材料、横截面面积和长度均相同材料、横截面面积和长度均相同的两根轴，其横截面分别为圆形截面和正的两根轴，其横截面分别为圆形截面和正方形截面，若两端作用的扭矩方形截面，若两端作用的扭矩M也相同，也相同，计算两轴的最大切应力和扭转变形计算两轴的最大切应力和扭转变形2daEXAMPLE材料力学Mechanics of Mater
50、ials对于圆形截面轴，最大切应力和扭转对于圆形截面轴，最大切应力和扭转角分别为角分别为4c3max, c32,16dGMldMjt44s33max, s141. 0,208. 0aGMlaGMlaMlaMlbjtEXAMPLE材料力学Mechanics of Materials从而，从而，866. 0,737. 0scmax, smax, cjjttEXAMPLE材料力学Mechanics of Materials薄壁杆的自由扭转材料力学Mechanics of Materials薄壁杆件薄壁杆件横截面的厚度远小于其它横截面的厚度远小于其它两个尺寸的杆件，即两个尺寸的杆件，即1 . 0dt1
