1、1.2.3复合函数求导复合函数求导我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.aaxxxxafxcfxfxxfxaxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1( )ln,( );fxxfxx则导数的运算法则：法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的等于这两个函数的
2、导数的和导数的和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方再除以第二个函数的平方.即即:2( )( ) (
3、 )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x1.复合函数的概念:( ),( ),( )( )( )yfxuxyf uuuxxyfx对 于 函 数令若是 中 间 变 量 的 函 数 ，是 自 变 量 的 函 数 ， 则 称是复自 变 量 x的合 函 数 .二、讲授新课：*指出下列函数是怎样复合而成：2(1)sin2(2)31(3)cos(sin )(4)()1(5)sin(1).nmyxyxxyxyabxyx； ； ；练习练习1sin ,2yuux2,31yuuxx,.mnyuuabxcos ,sinyuux1sin ,1yuux *定理定理 设函
4、数设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导均可导，则复合函数则复合函数 y = f ( (x) 也可导也可导.且且( )( )xyf ux，xuxuyy 或或复合函数的求导法则复合函数的求导法则即：即：因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. ( . ( 链式法链式法则则 ) )注意：1、法则可以推广到两个以上的中间变量；2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.例例4 求下列函数的导数求下列函数的导数2
5、)32() 1 (xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：32)32() 1 (22xuuyxy1284)32()(2xuxuuyyxux105. 0)2(xey函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：105. 0) 1 (105. 0 xueyeyux105. 005. 005. 0)105. 0()(xuuxuxeexeuyy)(sin()3(均为常数，其中xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：xuuyxysin)sin() 1 ()cos(cos)()(sinxuxuuyyxux解：设解：设则则 二、举例二、举例(A) 例例1 求
6、函数求函数 的导数的导数5)23(xy解：设解：设, 23 xu5uy因为因为, 3,54xuuuy所以所以 xuxuyy(B) 例例2 求函数求函数 的导数的导数 )1ln(2xy21xuuyln因为因为 ,2,1xuuyxu所以所以 12)2(12xxxuuyyxux444) 23 (153) 23 ( 535xxu则则 (A) 例例3 求函数求函数 的导的导数数xy2cos解：设解：设 xucos2uy因为因为 xuuyxusin,2所以所以 xuxuyyxxxxu2sinsincos2)sin(2的导数、求xyAsinln2)(xuuysin,ln解：xuxuxxuuyy)(sin)(
7、ln xxxxucotcossin1cos1练习练习3 3：设设 f (x) = sinx2 ，求，求 f (x).解解22( )cos()xfxxx 22 cosxx 练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数(A)1.xey3解：解：xxxexeey3333)3()(A)2.)cos(3xy 解：解：)(sin)(cos333xxxy32sin3xxxey1sin)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxexxxex1cos)1(21sinxexx1cos11sin2(B)3.解：解：(A) 例例11 求下列函数的导数求下列函数的导数综合运用求导法则求导综合运用求导法则求导xe
8、xy22sin).1 ()2(sin2xexy解：)()2(sin2xex)2()2(2cos2xexxxxex222cos233)(lnln).2(xxy)(ln)(ln33xxy解：)(ln)(ln3)(1233xxxxxxxx1)(ln331223)(ln1 3)(ln3322xxxxx(B) 例例12 求下列函数的导数求下列函数的导数321)45(xxy解：解： y312)1 () 45 (xx)1)(45(312xx) 1()1 (31) 45()1 (1032231xxxx.)1 (1)45(311103223xxxx（1）【解析】103311(25 )(2)sinsin1yxyx
9、xx求下列函数的导数（）例42)sin(xxy解 ：)sin()sin(4232xxxxy)(sin)sin( 4232xxxx)(sinsin21 )sin(432xxxx)cossin21 ()sin( 432xxxx)2sin1 ()sin(432xxx（2）练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数xeyAx3sin.1)(221.2)(xxeeyA)3(sin3sin)(22xexeyxx解：)3(3cos3sin)2(22xxexxexxxexexx3cos33sin222）（）（解：21xxeey)(1212xexexx）（22121xxxexe22112xxxeexxxyC2c
10、os12sin. 4)(xxxxxxycotsincossin211cossin22解：)(cotxyx2csc1) 1(. 3)(2xxyB) 1)(1(1) 1(22xxxxy解：12 x) 1() 1(21) 1(2212xxx12 xxxx2) 1)(1(212121) 1(122xxxx11222xxx复习检测复习检测复习检测复习检测(C) 例例13 求下列函数的导数求下列函数的导数 112xxy解解 ：先将已知函数分母有理化，先将已知函数分母有理化，得得) 1)(1(1222xxxxxxy12xxy) 1(121122xx112xx（1）xxycos1sin2解： 因为xxycos
11、1sin2xxxcos1cos1cos12 所以xysin11lnxxy解：因为11lnxxy)1ln()1ln(21xx所以 y211)1111(21xxx（2）（3）【解析】233(31)142yx求曲线在点（， ）处的例切线方程。练习练习1:求下列函数的导数求下列函数的导数: bxaxyxxyxxxyxycbxaxycossin)5()7643()4()3(211)2() 1 (232232 答案答案:2223221)21 (2) 2 ()( 3)2 () 1 (xxxycbxaxcbxaxbaxy 4227421925) 76 () 43(135) 4 ()925 ()(21) 3(
12、xxxxxxy.)2sin()2 (41)2sin()2 (41sin21) 5 (xbabaxbababxb 例例2: 设设f(x)可导可导,求下列函数的导数求下列函数的导数: (1)f(x2); (2)f( ); (3)f(sin2x)+f(cos2x)21 x 解解: );(2)()() 1 (222xf xxxfy );1(1122)1() 2(2222xfxxxxxfy ).(cos)(sin2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin)(cos(cos)(sin(sin )(cos)(sin) 3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy
13、 三、例题选讲：三、例题选讲：复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。 如设如设 那么对于复合函那么对于复合函数数 ，我们有如下求导法则：，我们有如下求导法则： ),(),(),(xvvuufy)(xfyxvuxvuyy)()()(xvufy(B) 例例4 求求 的导数的导数2tan2xy 解：解： 设设 ,2uy 2,tanxvvu由由 得得 )()()(xvufy2sec2tan21sectan2)2(sec2)()(tan)(2222xxvvxvuvvuy 即即(B) 例例8 求求 的导数的导数 32sin xy y=sin(x3)2=2s
14、in(x3) sin(x3)=2sin(x3) cos(x3) (x3)=2sin(x3) cos(x3) 3x2=6x2sin(x3) cos(x3) (B) 例例9 求求 的导数的导数xy4sinlny=lnsin(4x)= sin(4x) x4sin1= cos(4x)(4x) x4sin1x4sin4= cos(4x)x4cot4(B) 例例5 求求 的导数。的导数。 )42tan(lnxy解：解： 设设 42,tan,lnxvvuuy由由 得得)()()(xvufy)42()(tan)(ln xvuy21)42(cos1)42tan(12xx.sec)2sin(1)42cos()42
15、sin(21xxxx21cos112vu（C）4. 32ln1xy)ln1 ()ln1 (3121312xxy解 ： )(ln1 )ln1 (312322xx)(lnln20 )ln1 (31322xxxxxxln12)ln1 (31322xxxln)ln1 (32322.3小结小结： 复合函数复合函数y=f(x)要先分解成基本要先分解成基本初等函数初等函数y=g(u), u=h(v), v=i(x) 等，等，再求导：再求导：yx=yuuvv x根据函数式结构或变形灵活选择根据函数式结构或变形灵活选择基本初等函数求导公式或复合函数求基本初等函数求导公式或复合函数求导方法导方法作业本：作业本：“基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则及导数的运算法则”
