1、杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸杭 州 师 范 大 学 2012 年招收攻读硕士研究生入学考试题 考试科目代码： 719 考试科目名称： 量子力学 说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整； 2、命题时试题不得超过周围边框； 3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；一、 填空题（每空2.5分，共25分）1. 量子力学中力学量算符必须是_算符，以保证它的本征值为_数。对一个力学量进行测量时,所得到的测量值肯定是_当中某一个, 测量结果一般是不确定的, 除非体系处于_。测量结果的不确定性来源于_。两个力学量同时具有确定值的条件是_。2 自由粒子平面波波函数，则该自由粒子的动量不确定
2、度_，坐标不确定度_。3 根据德布罗意波粒二象性，能量为E, 动量为p 的微观粒子，与对应的波动的频率和波长的关系式分别是_，_。二、 简答题（每题5分，共30分）1 写出含时薛定谔方程，当时势能与时间无关时，导出定态薛定谔方程。假设定态薛定谔方程给出能量本证值是量子化的，从定态方程的解构造出含时薛定谔方程的一般解。2 叙述量子力学中的测不准原理，以动量和坐标为例给出具体测不准关系式。3 叙述量子力学中物理量算符的性质以及与力学量测量值之间的关系。4 叙述（或者通过变换关系式描述）你对量子力学中的表象变换的理解。5 电子的自旋角动量有什么特点？6 叙述全同粒子波函数的性质。 2012 年 考试
3、科目代码 719 考试科目名称 量子力学 （本考试科目共 3 页 本页第 1 页）杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸三, 计算题（95分）1.（16分）设粒子在一维无限深势阱中运动，求：(1). 求解粒子能量本征值及对应的状态波函数。（6分）(2). 粒子在一维空间的几率分布函数。（5分）(3). 在第n个能量激发态上，证明。（5分）2.(15分)设氢原子处于状态式中为已知常数，且 求：（1）求科能测到氢原子能量值及其测量到的几率。（5分）（2）轨道角动量平方的可能值，可能值出现的几率以及的平均值。（5分）（3）分量的可能值，可能值出现的几率以及的平均值。（5分）3. （10分）（1）证明
4、式中花括号为反对易关系式，如：（5分）（2）证明， 分别是下面三个角动量分量算符的本证态，本证值为.，（5分） 2012 年 考试科目代码 719 考试科目名称 量子力学 （本考试科目共 3 页 本页第 2 页）杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸 4.（16分）设有一算符具有性质, , , 求证: (1), 是一个厄秘算符; (2), (3),的本证值为0或者1 (4), 5（18分） 一维谐振子的哈密顿为假设它处在基态，若在加上一个弹性力作用，试用微扰论计算H对能量的一级和二级修正，并与严格解比较。 记谐振子的基态：；公式：；6（20分）两个自旋为1/2, 质量为m的无相互作用的全同费米子处在线性谐振子势场中。计算体系的基态和第一激发态的能量本征值和本征函数(同时考虑空间自由度和自旋自由度)，指出简并度。已知单粒子能级及本征函数（空间部分）分别为和. 2012 年 考试科目代码 719 考试科目名称 量子力学 （本考试科目共 3 页 本页第 3 页）
