1、共 5 页 第 1 页 电子科技大学电子科技大学 2015 年攻读硕士学位研究生入学考试试题年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：考试科目： 692 数学物理基础数学物理基础 注：所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。注：所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。 一一 选择题（选择题（10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分分, 注注:每题只有一个正确答案）每题只有一个正确答案） 1. 判断级数1nnin=的敛散性 ( ) (A) 发散 (B) 收敛 (C) 条件收敛 (D) 绝对收敛 2. k为整数，则ii= ( ) (A) (2)2ike+ (
2、B) ()2ke+ (C) ()2i ke+ (D) (2)2ke+ 3. 设正项级数=1nna收敛，正项级数=1nnb发散，则( ) (A) nnnba=1必收敛 (B) nnnba=1必发散 (C) =12nna必收敛 (D) =12nnb必发散 共 5 页 第 2 页 4. 已知01a，那么幂级数01nnnnaza=+的收敛半径为 ( ) (A) 1a (B) a (C) 1 (D) 2a 5. 设 A，B 为同阶可逆矩阵，则( ) (A) BAAB = (B) 存在可逆矩阵 C，使得BACCT= (C) 存在可逆矩阵 P，使得BAPP=1 (D) 存在可逆矩阵 P 和 Q，使得BPAQ
3、 = 注：注：. 质量为m的非相对论性粒子在平面中运动，它的运动由极坐标r，以及对时间的导数r &，&共同描述。其势能为2krU =，其中k为常数。请解答 6,7 题 6. 下列选项中为描述此粒子拉格朗日量的是？( ) (A) ()222221 krrrmL+=& (B) ()22221 krrmL+=& (C) ()2222221 krrrmL+=& (D) ()222221 krrr rrmL+=& 7. 下列的选项中哪一项一直为常数？( ) (A) ()222&rrm+ (B) 22&mr (C) &mr (D) &2mr 共 5 页 第 3 页 注：注：自由空间中火箭的运动方程可写为
4、0=+dtdmudtdvm 其中m为火箭的质量，v为其速度，t为时间，u是一个常数。请解答 8,9 题 8 其中常数u代表了( ) (A) 火箭在0=t时的速度 (B) 火箭在其静止参考系中的瞬时速度 (C) 火箭排出燃料相对于火箭的速度 (D) 火箭排出燃料在静止参考系的速度 9. 当速度v为m的函数时，此运动方程可以求解。假设火箭在出发时0=v，0mm =，则方程的解v为( ) (A) ()mmu/exp0 (B) ()mmu/sin0 (C) ( )tmmu0ln (D) 以上答案都不是正确的解 10. 设Cz且1z，a为复数，则函数|)(azzfn+=的最大值为( ) (A) |1a+
5、 (B) 1 (C) 2 (D) |1 |a+ 二填空题（二填空题（10 个空，每空个空，每空 3 分，共分，共 30 分）分） 11. 计算积分Czdz =( ),其中 C 为从原点到点34i+的直线段。 12. 计算积分2211zdzz=+ = ( )， （注：其中积分路径是绕原点为圆心，2 为半径的圆，积分方向为逆时针正方向） 。 共 5 页 第 4 页 13. 在下列场中运动时动量P和角动量M的哪些分量守恒? (a) 无限大均匀平面场(无限大平面为xy平面) ( ) (b) 无限长均匀圆柱场(圆柱轴为z轴) ( ) (c) 无限长均匀棱柱场(棱边平行于z轴) ( ) (d) 两个点场(
6、两个点位于z轴上) （ ） (e) 无限大均匀半平面场(无限大半平面是xy平面上以y轴为界的) ( ) (f) 均匀圆锥场(圆锥轴为z轴) ( ) (g) 均匀圆环场(圆环轴为z轴) ( ) (h) 无限长均匀圆柱形螺旋场(绕螺旋轴z轴旋转,h为螺距) ( ) 三简答题（三简答题（2 小题，每小题小题，每小题 15 分，共分，共 30 分）分） 14. 有一个孤立的容器，被分成左右两半。起初左半部装有温度为0T的理想气体，右半部是空的。如果在隔板上开一个小孔，求达到平衡时的温度。并说明原因。 15. 一理想气体起初被限制在体积为21VV +的绝热容器1V部分，容器的剩余部分是空的。当隔板抽调后
7、，气体膨胀而充满真个容器。如果气体的初始温度为T，求它的最终温度。并说明原因。 1V 2V 绝热 共 5 页 第 5 页 四计算题（四计算题（4 小题，每小题小题，每小题 15 分，共分，共 60 分）分） 16. 利用复数方法进行证明： 1sin()sin22coscos2cos3.cos2sin2nn+= 。 17. 将函数( )1zf zz=+，在12z 内展开成幂级数,其中 z 为复数。 18. 黑体辐射。(a) 推导麦克斯韦关系 VTTpVS=， (b) 麦克斯韦从他的电磁场理论发现，各向同性的辐射场的压强p等于能量密度( )Tu的31，即： ( )( )VTUTup3131=（V为空腔体积） ， 用热力学第一定律及第二定律及(a)中结果证明： udTduTu3131= (c) 解此方程得到u对T的斯特番(Stefan)定律。 19. 考虑下面的厄米矩阵 =21212iiiiT (a) 计算( )( )TTrT ,det。 (b) 根据( )( )nnTTrT+=LL2121,det，求T的本征值；验证它们的和与积同(a)中结果相同。写出T的对角形式。 (c) 求T的本征矢，并在简并区，构造两个线性无关的本征矢。使它们正交，并验证它们都和第三个本征矢正交。 （三个本征矢都需要归一化）
