1、31.3 空间向量的数量积运算 第三章 空间向量与立体几何 第三章 空间向量与立体几何 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法 2.掌握空间向量数量积的计算方法及运算律 3能将立体几何问题转化为向量运算问题 1空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b， 在空间任取一点O， 作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b 的夹角 记法 _ 范围 通常规定，0a，b，当a，b2时，ab a，b 空间向量的夹角与向量位置关系空间向量的夹角与向量位置关系 (1)a，b0 时，向量 a，b 方向相同 (2)a，b 时，向量 a，b 方向相反 (3)a，b2时，向量 ab. 2空间向量的数量积空间向量的数量积
2、 (1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做 a，b 的数量积，记作 ab. 运算符“”：其中 ab 中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“”代替 (2)数量积的运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (a)b_ 交换律 ab_ 分配律 a(bc)_ (ab) ba abac (3)数量积的性质 向量数量积的性质 垂直 若 a，b 是非零向量，则 ab? ? _ 共线 同向：则 ab|a|b| 反向：则 ab|a|b| 模 aa_|a|2 |a| aa |ab|a|b| 夹角 为 a，b 的夹角，则 cos ab|a|b| ab0 |a|a|cosa，a 判断(
3、正确的打“” ，错误的打“” ) (1)向量AB与CD的夹角等于向量 AB与DC的夹角( ) (2)若 ab0，则 a0 或 b0.( ) (3)对于非零向量 a，b， a，b与a，b相等( ) (4)若 abbc，且 b0，则 ac.( ) (5)若 a，b 均为非零向量，则 ab|a|b|是 a 与 b 共线的充要条件( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 已知 i，j，k 是两两垂直的单位向量，a2ijk，bij3k，则 ab( ) A2 B1 C 1 D.2 答案：A 在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45 的是 ( ) A.AB与AC B.AB与CA C.AB与
4、AD D.AB与BA 答案：A 已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_ 答案：23 已知向量 a，b 满足：|b| 2， a，b45 ，且 a 与 2ba 互相垂直，则|a|_ 答案：2 探究点探究点 1 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1的中点 求下列向量的数量积 (1)BCED1；(2)BFAB1. 【解】【解】 如图所示，设如图所示，设ABa，ADb，AA1c， 则则|a|c|2，|b|4，abbcca0. (1)BCED1BC(EA1A1D1) b?12（ca）
5、b |b|24216. (2)BFAB1(BA1A1F)(ABAA1) ?ca12b (ac) |c|2|a|222220. 变问法若本例的条件不变，计算EFFC1. 解：EFFC1(EA1A1F)(FD1D1C1) ?12（AA1AB）12AD?12ADAB ?12（ca）12b ?12ba 12(abc)?12ba 12|a|214|b|22. 空间向量数量积的计算问题的解题思路 (1)在几何体中求空间向量数量积的步骤 将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； 利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； 代入 ab|a|b|cosa，b求解 (2)长方体、四面体等
6、是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直或特殊角等条件 1.已知向量 a 和 b 的夹角为 120 ，且|a|2，|b|5，则(2ab)a_ 解析： (2ab)a2a2ba2|a|2|a|b|cos 120 2425?1213. 答案：13 2如图，已知正四面体 OABC 的棱长为 1. 求：(1)OAOB； (2)(OAOB)(CACB) 解：在正四面体解：在正四面体 OABC 中，|OA|OB|OC|1， OA，OBOA，OCOB，OC60 . (1)OAOB|OA|OB|cosAOB 11cos 60 12. (2)(OAOB)(CACB) (OAOB)(OAOCO
7、BOC) (OAOB)(OAOB2OC) OA22OAOB2OAOCOB22OBOC 12212211cos 60 12211cos 60 111111. 探究点 2 利用向量的数量积判断或证明垂直问题 如图所示， 在四棱锥 P-ABCD中， 底面 ABCD为平行四边形，DAB60 ，AB2AD，PD底面 ABCD.求证：PABD. 【证明】 由底面 ABCD 为平行四边形， DAB60 ，AB2AD，知 DABD，则BDDA0. 由 PD底面 ABCD，知 PDBD，则BDPD0. 又PAPDDA， 所以 PABD(PDDA)BDPDBDDABD0，即PABD. 利用向量数量积判断或证明线线
8、、线面垂直的思路 (1)由数量积的性质 ab? ab0(a，b0)可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为 0 即可 (2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别是棱 CC1，BC，CD 的中点，求证： A1G平面 DEF . 证明：设正方体的棱长为证明：设正方体的棱长为 a， 因为因为A1GDF(A1AADDG)(DCCF) A1ADCADDCDGDCA1ACFADCFDGCF DGDCADCF 12a212a20， 所以
9、 A1GDF， 同理可证 A1GDE， 又 DFDED， 所以 A1G平面 DEF. 探究点 3 利用空间向量的数量积求夹角 已知空间四边形 OABC各边及对角线长都相等，E，F 分别为 AB，OC 的中点，求向量OE与向量BF所成角的余弦值 【解】 设设OAa，OBb，OCc， 且且|a|b|c|1， 易知AOBBOCAOC3， 则则 abbcca12. 因为OE12(OAOB)12(ab)， BFOFOB12OCOB12cb，|OE|BF|32， 所以OEBF12(ab)?12cb 14ac14bc12ab12b2 12，设OE与BF所成的角为 ， cos OEBF|OE|BF|12323
10、223. 所以向量OE与向量BF所成角的余弦值是23. 求两个向量的夹角的两种方法 (1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围 (2)先求 ab，再利用公式 cosa，bab|a|b|求 cosa，b ，最后确定a，b 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求向量BC1与AC的夹角的大小 解： 法一： 如图， 连接 AD1， CD1， 因为AD1BC1， 所以所以CAD1的大小就等于的大小就等于 BC1，AC 因为ACD1为等边三角形，所以为等边三角形，所以 CAD160 . 所以向量BC1与与AC的夹角的大小为的夹角的大小为 60 . 法二：设正方体的棱长
11、为法二：设正方体的棱长为 1，则|BC1| 2，|AC| 2. BC1AC(BCCC1)(ABBC)(ADAA1)(ABAD)ADAB|AD|2AA1ABAA1AD0|AD|200|AD|21. cosBC1，ACBC1AC|BC1|AC|12 212， 所以BC1，AC60 . 即向量BC1与与AC的夹角的大小为的夹角的大小为 60 . 探究点 4 利用数量积求两点间的距离 如图， 在三棱锥 A-BCD 中， 底面边长与侧棱长均为 a，M， N 分别是棱 AB， CD 上的点，且 MB2AM， CN12ND，求 MN 的长 【解】 因为因为MNMBBCCN 23AB(ACAB)13(ADAC
12、) 13AB13AD23AC， 所以MN2?13AB13AD23AC2 19AB229ADAB49ABAC49ACAD19AD249AC2 19a219a229a229a219a249a2 59a2， 所以|MN|53a. 则 MN 的长为53a. 求两点间的距离或线段的长度的方法求两点间的距离或线段的长度的方法 (1)将此线段用向量表示 (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量 (3)利用|a| a2，计算出|a|，即得所求距离 1.已知在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， AA1ABAD1， 且这三条棱彼此之间的夹角都是 60 ， 则 AC1的长为( ) A6 B. 6 C3 D.
13、 3 解析：选 B.设设ABa，ADb，AA1c， 则则|a|b|c|1， 且a，bb，cc，a60 ， 因此 abbcca12. 由由AC1abc 得得|AC1|2AC12a2b2c22ab2bc2ca6. 所以|AC1| 6，故选 B. 2如图，在 120 的二面角 -l- 中，Al，Bl，AC? ，BD? 且 ACAB，BDAB，垂足分别为 A，B，已知 ACABBD6，则线段 CD 的长应为_ 解析：因为 ACAB，BDAB， 所以CAAB0，BDAB0， 又因为二面角 -l- 的平面角为 120 ， 所以CA，BD60 ， 所以 CD2|CD|2(CAABBD)2 CA2AB2BD2
14、2(CAABCABDBDAB)362262cos 60 144， 所以 CD12. 答案：12 1已知|p|q|1，且p，q90 ，a3p2q，bpq，则 ab( ) A1 B2 C3 D.4 答案：A 2已知空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC3，则 cosOA，BC的值为( ) A.12 B.22 C12 D.0 解析：选 D.OABCOA(OCOB)OAOCOAOB |OA|OC|cosAOC|OA|OB|cosAOB12|OA|OC| 12|OA|OB|0， 所以OABC. 所以 cosOA，BC 0. 3若 a，b，c 为空间两两夹角都是 60 的三个单位向量，则|ab2
15、c|_ 答案： 5 4如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，设 ADAA11，AB2，P 是 C1D1的中点，则 B1C与A1P所成角的大小为_，B1CA1P_ 解析：法一：法一：连接 A1D，则则PA1D 就是B1C与与A1P所成角连连接接 PD，在，在PA1D 中，易得中，易得 PA1DA1PD 2，即，即PA1D为等边三角形，从而为等边三角形，从而 PA1D60 ，即，即B1C与与A1P所成角的大所成角的大小为 60.因此B1CA1P 2 2cos 60 1. 法二：根据向量的线性运算可得法二：根据向量的线性运算可得 B1CA1P(A1AAD)(AD12AB)AD21. 由题意可
16、得由题意可得 PA1B1C 2，则 2 2cosB1C，A1P1，从而B1C，A1P60. 答案：答案：60 1 知识结构知识结构 深化拓展 1.空间向量数量积性质的应用 (1)ab? ab0，此结论用于证明空间中的垂直关系 (2)|a|2a2，此结论用于求空间中线段的长度 (3)cosa，bab|a|b|，此结论用于求有关空间角的问题 (4)|b|cosa，bab|a|，此结论用于求空间中的距离问题 深化拓展 2空间向量的数量积的三点注意 (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定 (2)当 a0 时，由 ab0 可得 ab 或 b0. (3)空间向量没有除法运算：即若 abk，则没有 akb. 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
