1、三三角角、向向量量、直直线线与与圆圆、函函数数 江江苏苏省省高高考考填填空空题题加加强强训训练练解解析析 - 1 - 目目录录 第 1 篇：三角函数性质 2 第 2 篇：三角换元，配角，齐次，化简3 第 3 篇：余弦定理边角 4 第 4 篇：余弦定理数量积边5 第 5 篇：余弦定理面积公式角6 第 6 篇：化边处理.7 第 7 篇：化角处理切、弦 8 第 8 篇：高.9 第 9 篇：面积问题 10 第 10 篇：中线，角平分线，三角平方差11 第 11 篇：建系定角，定长12 第 12 篇：建系三角建系，多变量建系13 第 13 篇：数量积 14 第 14 篇：基底，圆基底 15 第 15 篇
2、：点乘，三化二，移项平方16 第 16 篇：三点共线辅助线17 第 17 篇：三点共线系数和为118 第 18 篇：极化恒等式 19 第 19 篇：四边形中线，矩形大法，四边形对边，对角线，等和线20 第 20 篇：垂直，投影，几何21 第 21 篇：弦直角三角形 22 第 22 篇：切线直角三角形23 第 23 篇：切线直角三角形从角出发，定点，定线24 第 24 篇：隐圆定长，直角25 第 25 篇：隐圆PBPA ， 22 PBPA 是定值. 26 第 26 篇：隐圆阿斯圆 27 第 27 篇：隐圆圆周角（正弦定理）28 第 28 篇：相关点法确定圆的轨迹29 第 29 篇：几何法解决圆的
3、相关问题30 第 30 篇：函数，方程转化为圆31 第 31 篇：函数奇偶，单调，周期32 第 32 篇：函数对称性 33 第 33 篇：绝对值函数去绝对值34 第 34 篇：绝对值函数折线图像35 第 35 篇：分段函数，纵参，横参，双参，分别处理36 第 36 篇：复合函数 37 第 37 篇：分离，半分离，取对数分离38 第 38 篇：结构变形，换元，构造函数39 第 39 篇：减元.40 第 40 篇：双变量，范围，放缩，指对数，同构41 - 2 - 第第 1 篇篇三角函数性质三角函数性质 1.（训练 27）已知函数( )2cos()0,0 2 f xx 的图像过点 0,2，且在区间0
4、, 2 上 单调递减，则的最大值为_ 由题意得：由题意得： 02cos2f， 2 cos 2 ，又，又0 2 ， 4 ； 当当0, 2 x 时，时，, 44 24 x ， fx在在0, 2 上单调递减，上单调递减， 24 ，解得：，解得： 3 2 ， 的最大值为的最大值为 3 2 . 2.（第 24 局）设函数 sin 3 f xx ，其中0.若函数 f x在0,2上恰有2个零点，则的 取值范围是_ 由题意得：由题意得： f x取零点时x满足条件 3 k xkZ ，当0x 时的零点从小到大依次为 123 258 , 333 xxx ，所以满足 5 2 3 8 2 3 ，解得： 5 4 , 6
5、3 3. （第 48 局） 已知函数 sincos0 6 f xxx 若函数 f x的图象关于直线2x 对称， 且在区间, 4 4 上是单调函数，则的取值集合为_ 由题意得：由题意得： 31 sincossincossin 6226 f xxxxxx 2x是一条对称轴， 2=+ 62 k ，得 1 =+ 32 k kZ， - 3 - 又 fx在区间 4 4 ， 上单调， 2 T ，得2，且 462 462 ，得 4 0 3 ， 1 5 4 = 3 6 3 ，集合表示为 1 5 4 3 6 3 ，。 4.（训练 39）已知函数 13 3sin 20 66 f xxx ，若函数2)()(xfxF的
6、所有零点依次记为 12n xxx， ， ，且 12n xxx，则 nn xxxx 121 22_ 由题意得：由题意得：令2 62 xk 得, 62 k x k Z，即( )f x的对称轴方程为 k , 62 x k Z. ( )f x的最小正周期为,T 13 0, 6 x ，( )f x在 13 0, 6 x 上有 5 条对称轴， 第一条是 6 ，最后一条是： 13 6 ； 1, x 2 x关于 6 对称， 2, x 3 x关于 4 6 对称 4, x 5 x关于 10 6 对称 12 2, 6 xx 23 4 2, 6 xx 34 7 2, 6 xx , 45 10 2 6 xx ， 将以上
7、各式相加得： 1231 471022 2222 66663 nn xxxxx . - 4 - 5.（第 72 局）若方程 3 cos 2 65 x 在0,的解为 12 ,x x，则 12 cos_xx 解：由方程 3 cos 2 65 x 在(0, )的解为 1 x， 2 x，得 12 3 cos 2cos 2 665 xx ， (0,),x 11 2, 666 x ，而当 33 2,0cos 2 66625 xx ， 12 22 66 2 xx ， 12 7 6 xx ， 122 7 coscos2 6 xxx ， 又 2 3 cos 2 65 x ， 1222 73 coscos2cos
8、2 665 xxxx ， 6.（训练 11）已知函数 355 cos, 266 yxxtt 既有最小值也有最大值，则实数t的取值范 围是_ 解: 3 cossin 2 yxx 令mx.则由 55 , 66 xtt 可得 5 , 6 mt 则 5 sin, 6 ym mt .要使其既有最小值又有最大值 若最大值为 1 2 则 313 26 t ,解得 313 26 t 若最大值为1,则 5 2 t ,解得 5 2 t .综上所述: 313 26 t 或 5 2 t . 故答案为: 313 26 t 或 5 2 t . - 5 - 第第 2 篇篇三角换元，配角，齐次，化简三角换元，配角，齐次，化简
9、 1.（第 46 局）已知sin222cos2，则 2 sinsin2_ 答案： 5 8 2.（第 66 局）若5cos26sin()0,(, ) 42 ，则sin2 _ 答案：1- 3.（第 8 局）设为锐角，若 5 4 ) 6 cos( ，则) 12 2sin( 的值为_ 试题分析： 2 47 cos(2)21 3525 ， 24 sin(2) 325 ，所以sin(2)sin(2) 1234 224717 2 2252550 . 4.（第 53 局）已知sin3sin 6 ，则tan_ 12 解析： sin3sinsin+-=3sin+tan=-2tan=2 3-4. 612121212
10、1212 5.（第 38 局）已知, 为锐角，且tan6tan ，则sin的最大值为_ 解析：sin与tan在0 2 ， 单调性一致，则 tan-tan555 tantan-sin. 1 1tantan72 6 6tan tan - 6 - 6.（第 1 局）已知 3 2 4 tan( tan ） ，则) 4 2sin( 的值是_ 解析:依题意 tan1tantan2 1tan3 tantan 4 1tantan 4 ， 2 3tan3tan22tan ， 2 3tan5tan20 ，3tan1 tan20，解得tan的值为 2 或 1 3 . 代入有：. 10 2 ) 4 2sin( 7.（
11、第 77 局）若当x 时，函数 xxxfcossin2取得最小值，则 3 sin _ 解析：由函数( )2cos5sin()f xsinxxx，其中 21 cos,sin 55 ，且为锐角， 当x时，函数取得最小值，所以5sin()5 ，即sin()1 ， 所以cos()0， 令 3 2 ，即 3 2 ， 故 313 sin()sin()cos()cossin 323322 12312 515 221055 . 第第 3 篇篇余弦定理余弦定理边角边角 1. （训练 12） 在ABC中， 角CBA,满足CBACBAsinsinsin32sin3sin5sin9 222 ， 则Csin 的值是_
12、解析：CabCab-ba-baCabc-basin32cos2359sin32359 2222222 - 7 - . 6 5 23 34 26 3 sin34cos6sin3226 22 CC a b b a CCabC-abba 2.（第 91 局）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别是 12 ,F F，PQ是椭圆C过焦点 2 F的一 条弦， 1 PFQ的三边 11 ,PQ PF FQ的长之比为2:3:4，则椭圆C的离心率为_ 解：解：椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、右焦点 12 ,F F,PQ是椭圆C的焦点 2 F的一条弦, 1 PFQ的
13、三边 11 ,PQ PF FQ的长之比为2:3:4,如图： 可得： 2PQt , 1 3PFt, 1 4FQt；94ta, 1 4 3 a PF =, 21 2 2 3 a PFaPF =, 1 16 9 FQa=, 2 2 9 F Qa=,所以： 222 21 422 ()4()22 333 a cacacosPF F=+-, 222 21 1622 ()4()22 999 a cacacos QF F=+-,可得： 2222 41228360acac-+-=,即 22 23ac, 所以 6 3 c e a 3.（第32局）在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知3s
14、in2sinCB，点,M N分别是边AC， AB的中点，则 BM CN 的取值范围为_ - 8 - 试题分析：试题分析：设,ABc ACb BCaE F分别是,AC AB的中点， 2 222 2 2 b caBM 2 222 coscos0 ,2,3sin2sin 2 c ANBCNBbaCNCB, 所 以 由 正 弦 定 理 得 2 22222 7 32 ,2,2 189 b cbBMaCNab， 2 2 2 2 22 22 18 18 7 18 14 9 b b a BMa CN b ab a 2 1351 14 12698 b a ，设 b t a ，结合 2 3 cb，由, abc a
15、cb bca 可得 2 39 3,9 525 bb aa . 2 22 13511 491 7 , 1261416 644 8 BMBM CNtCN ,故答案为 1 7 , 4 8 . 4.（第 37 局）在ABC中，角CBA,的对边分别是,cba若cba,成等差数列，则CAcos2cos的最 大值为_ 解析： 有条件可知 ab -cab bc -acb CAcab 2 2 2 cos2cos2 222222 ， 换掉b， 构造齐次式求最值。 答案： . 2 23 - 4 15 5.（第 68 局）在ABC中，角CBA,的对边分别是,cba已知)(sinsinsinRmAmCB，且 04 2
16、bca，且角A为锐角，则m取值范围是_ 依题意，依题意，由正弦定理得bcma，由余弦定理得 222 cos 2 bca A bc 2 2 2 2 bcbca bc 2 222 22 2 a m aa a 2 23m ，由于A为锐角，所以 0cos1A，所以 2 0231m ，即 2 3 2 2 m，由于m为正数，故 6 2 2 m. - 9 - 6.（训练 35）在平面四边形ABCD中，1AB,2BC，CDAD ， 0 120ADC，则BCD面积 的最大值为_ 解析：解析：设ABC，BCA，依题意得30ACD， 3ACCD 则 1 2 BCD SCB CD sin 6 3sincos 2 3
17、ACAC ABC中由余弦定理得： 2 4 1 2 2 1 cos54cosAC ABC中正弦定理得： sinsin ACAB ，即sinsinAC 则 222 cosACAC 22 sin54cosAC 22 sin(2cos)， 即cos2cosAC，所以 3sincos 2 3 BCD ACAC S 2sin2 3sincos26 2 32 3 2 3 ， 当且仅当 2 3 取等号. 第第 4 篇篇余弦定理余弦定理数量积数量积边边 1.（第 141 局）如图，在ABC 中，2, 1ACAB，若点M为线段BC的三等分点(靠近B点)，则 - 10 - 22 12 AMBC 的最小值为_ 解析：
18、 222222 12129425 . 182218 12 33 aa AMBCBC ACAB 2.（训练 31）如图，在锐角ABC中，已知AH是BC边上的高，且满足 12 33 AHABAC ，则 AC AB 的 取值范围是_ 解 析 ：解 析 ： 设3BC， 结 合 条 件ACABAH 3 2 3 1 ， 则 有 ： 2, 1BHCH。 设 2222 341yx-y-x yAB xAC ， 且 3932 222 xxyx， 1 2 2 3 1 1 3 2 2 , x x x AB AC 3. （训练 30） 如图， 在ABC中， 3 2 ACBC， 点,M N分别在,AC BC上， 且 1
19、3 AMAC， 1 2 BNBC. 若BM与AN相交于点P，则 CP AB 的取值范围是_ 解析：作AMNG，于是有： - 11 - CBCACBCACNCACPPNAPAMMCNG 3 1 3 2 4 3 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 不 妨 设 COCPCOCBCA 4 3 3 1 3 2 由条件BCAC 2 3 C在如图所示圆周上运动，O位于线段AB三等分点处，于是有： ABCQ CQ BQ BQAB CQ AC BC 5 6 3 2 且ABOB 3 2 C分 别 位 于 1 C和 2 C时 ， 取 得 最 值 ABCPAB ABABABABOCCO ABABABABOCCO
20、2 5 1 3 8 5 6 5 4 3 2 15 4 5 6 5 4 3 2 2max 1min 2 , 5 1 AB CP 4.（训练 29）如图，已知圆4: 22 yxO，点)2 , 2(A，直线l与圆O交于QP,两点，点E在直线l上且 满足QEPQ2若482 22 APAE，则弦PQ中点M的横坐标的取值范围为_ - 12 - 解析：由三角形中线长定理有： 22222222 2222 2222 -222222 22 22 AQQMAMAMQMAQAPAE APAQQMAM AMAEQMAQ 82 22 OMAM，代入点M坐标有： 22 4()0xyxy ，联立 22 22 4 171717
21、 (,) 222 4()0 xy xx xyxy 第第 5 篇篇余弦定理余弦定理面积公式面积公式角角 1.（训练 35）锐角ABC面积为1，内角, ,A B C所对的边分别为cba,，且cba，则 )(cbacba的取值范围是_ 解析：解析：由题意知， 1 sin1 2 ABC SbcA ,所以 2 sin bc A ， 由余弦定理可得， 222 cos 2 bca A bc ，所以 222 2cosabcbcA ， 因为()()abc abc 222 2abcbc，所以( )()abc abc2cos2bcAbc 2 2sin 4 2 1 cos4 sin 2sincos 22 A A AA
22、 A 4tan 2 A ， 因为ABC为锐角三角形，abc，所以 32 A ，即 624 A ， 所以 3 tan1 32 A ，所以 4 3 4tan4 32 A ，所以()()abc abc的取值范围为 4 3 ,4 3 . P x Q E A y O M - 13 - 2.（第 36 局）在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为cba,，S为ABC的面积若不等式 222 33acbkS恒成立，则实数k的最大值为_ 解析：解析：在ABC中，面积公式 1 sin 2 SbcA，余弦定理 222 2cosbcabcA ，代入 222 33kSbca ，有 22 1 sin222cos 2
23、kbcAbcbcA，即 22 444cos sin bcbcA k bcA 恒成立， 求出 22 444cos sin bcbcA bcA 的最小值即可，而 22 444cos8bc4cos84cos sinsinsin bcbcAbcAA bcAbcAA ，当 且仅当bc取等号， 令 84cos sin A y A ，得：sin84cosyAA，即sin4cos8yAA， 即 2 22 4 16(sincos)8 1616 y yAA yy ，令 22 4 cos,sin 1616 y yy ， 得： 2 16sin()8yA ，即 2 8 sin() 16 A y ， 所以 0 2 8 1
24、 16y ，两边平方，得： 2 6416y， 解得：484 3y ，即 22 444cos sin bcbcA bcA 的最小值为4 3，所以， 4 3k 3.（第 212 局）已知ABC的面积为1，则 A a sin 1 2 的最小值为_ 解析： A A A Abc A Abc-cb A a A bcAbcSABC sin cos4-5 sin 1 cos-12 sin 1 cos2 sin 1 sin 2 sin 2 1 222 . 3 sin cos4-5 A A 4.（第 148 局）在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为cba,，若ABC的面积2S ，且2ab，则c 的最小值为
25、_ 解 析 ： 设C， 则 由 余 弦 定 理 可 知 ：cos45cos2 2222 babbac， 且 . 6 sin cos452 sin 2 2sinsin 2 1 222 - c bbabSABC - 14 - 5.（第 117 局）已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，3, 2 ABC SAB，则 b a 取值范围是 _ 解析：建系，设点 3 3 3 3 3 2 4 4 -1 31 31- 3 0 , 1 0 , 1 2 2 b a a b x x x x b a xC B A c c c c c， . 3 3 3 b a 6.（第 110 局）已知在ABC
26、中，G为ABC重心，2AGBG,4BC则ABC面积的最大值 _ 解析：设 D 为 BC 的中点，DGx，由重心性质得，AG2x， BG 1 2 AG 2x；设BGD，则由余弦定理得，42x2+x222x2cos， cos 2 2 34 2 2 x x ；又 SBDG 1 2 2xxsin 2 2 x2sin； 2 ABC S 2 2 4 4 1 4 1 3 8 8 x x x 9 4 （x424x2+16） ， 当 x212 时， 2 ABC S取得最大值为 288；则ABC 面积的最大值为 12 2 7.（训练 16）如图，在ABC中，4,ABD是AB的中点，E在边AC上，2,AEEC CD
27、与BE交于 点O，若2,OBOC则ABC面积的最大值为_ 解析：设 3 2222 COCDCACBCECB B，O，E 共线，则 3 1 22 ，解得 1 2 ，从而 O 为 CD 中点，故 22OBOCOD . 在BOD 中，BD2， 2OBOD ，易知 O 的轨迹为阿氏圆，其半径 2 2r ， - 15 - 故428 2 ABCBOD SSBD r 第第 6 篇篇化边处理化边处理 1. （ 第 10 局 ） 在 锐 角ABC中 ， 角, ,A B C所 对 的 边 分 别 为cba,，C b a a b cos6， 则 tantan _ tantan CC AB 解析：解析： 22 6co
28、s6cos ba CabCab ab ， 2222 2222 3 6, 22 abcc abab ab ab 2 tantansincossinsincossinsin()1sin tantancossinsincossinsincossinsin CCCBABACABC ABCABCABCAB 由正弦定理，得：上式由正弦定理，得：上式 222 2 22 1 4 1 1 3cos () 6 62 ccc cC ab ab . 2. （第 142 局） 在ABC中， 内角CBA,所对的边分别是cba,， 若3b， 22 2sinsin2sinsinABAB 2 3sin C，则sinC的最大值是
29、_ 解析：解析： 22 2sinsin2sinsinABAB 22 2222222 3sin223 3 abab Cababcc 22222 max 34222 222 cossin. 26666 abababababc CC ababab 6.（第 202 局）在ABC中，内角CBA,所对的边分别是cba,，且cba,成等比数列，则 11 sin tantan C BC 的取值范围_ 解析：根据题意，设等比数列, ,a b c的公比为(0)q q ，则 2 ,baq caq 由题意得 11coscoscossincos sin sinsinsin tantansinsinsin sin AB
30、ABBA AAA ABABAB sin sin Cc q Bb - 16 - 当01q时，则abc， 由三角形三边关系得bca，即 2 aqaqa， 整理得 2 10qq ， 解得 15 1 2 q 当1q 时，则abc，满足题意故1q 当1q 时，则abc， 由三角形三边关系得abc，即 2 aaqaq， 整理得 2 10qq ， 解得 15 1 2 q 综上可得 1515 22 q 故公比q的取值范围是 15 15 (,) 22 ，即 11 sin tantan A AB 的取值范围是 15 15 (,) 22 第第 7 篇篇化角处理化角处理切，弦切，弦 1.（第 161 局）在直角三角形
31、ABC中，C为直角，45BAC，点D在线段BC上，且 1 3 CDCB， 若 1 tan 2 DAB，则BAC的正切值为_ 解析：设3BC ，3ACx， 则 31 tan,tanBACDAC xx 2 2 2 21 tantan()1 3 32 1 x x DABBACDACx x x ， - 17 - 故tan3BAC. 3.（第 167 局）在ABC中，若sincos2BB，则 sin2 tantan A BC 的最大值为_ 解析：因为sin cos2BB ，所以sin()1 4 B ， 又 5 (0, ),(,) 444 BB ，所以 42 B ， 4 B ，则() 4 CA ， sin
32、22sincos2sincoscossin 2sincos 1tan tantan2sin 1tan()1 41tan AAAAAAA AA A BCA A A 2 111121 sin2cossin2cos2sin(2) 2222242 AAAAA ， 由 3 (0,) 4 A 知 5 2(,) 444 A ， 当2 42 A 时，sin(2) 4 A 取得最大值 1， 此时 sin22121 sin(2) tantan2422 A A BC . 4.（第 4 局）在锐角三角形 ABC 中，若Asin2sinBsinC，则CBAtantantan的最小值是_ sinsin()2sinsint
33、antan2tantanABCBCBCBC，又 tan B+ tan C tan A= tan B tan C1 ，因此 tantantantantantantan2tantan2 2tantantantantantan8,ABCABCABCABCABC 5.（第 14 局）在ABC中，若sin2cos cosCAB，则 22 coscosAB的最大值_ 解析：在ABC 中，有 222 coscoscos2coscoscos1ABCABC , 所以 22 coscosAB = 1+cos211 1sincos(sin2cos2 ) 222 C CCCC = 1212 sin(2) 2242 C
34、 ,当sin(2)=-1 4 C 即 5 8 C时取等. - 18 - 6. （第 213 局） 在锐角ABC， 已知CBA 222 cos2coscos4,那么BA tantan的最小值_ 变式：变式：在锐角在锐角ABC中，已知中，已知sin4coscosCAB，则，则tantanAB的最大值为的最大值为_ 解析：在锐角ABC中，已知sin4coscosCAB，则tan0A，tan0B ， sinsinsincoscossin4coscosCABABABAB，所以，tantan4AB， 由基本不等式可得4 tantan2 tantanABAB ，可得tantan4AB . 当且仅当tanta
35、n2AB时，等号成立，因此，tantanAB的最大值为4. 7.（第 17 局）在ABC 中，已知)sin(sinsinCBAsin2C，其中tan1 2 ) 2 0 （， 若 CBAtan 2 tan 1 tan 1 为定值，则实数_ 解析：由 1 tan(0) 22 ，得： 52 5 sin,cos 55 ， 由 2 sinsinsin()sinABCC，得： 2 2 55 sinsin(sincos)sin 55 ABCCC ， 即 2 sin1 2 55 (sincos) sinsin55 C CC AB ， 112coscos2cos tantantansinsinsin ABC A
36、BCABC 2 sin2cossin2cos sinsinsinsinsinsinsin CCCC ABCABCC 11 2 552cos (sincos) sin55sin C CC CC 12 515cos2cos 55sinsin CC k CC （k 为定值） ， 即2 5sin 5cos10 cos5sinCCCkC ， 即5(2sincos)10 (sincos) 2 k CCCC恒成立， 所以4,105k， 5 10 . - 19 - 8.（第 175 局）在ABC中，已知 1128 3 cos tantantan3 C ABC ，则角C的最大值为_ 解析： 1128 31111
37、8 3 coscos tantantan3tantantantan3 CC ABCACBC min sinsin8323 3sincos2sin22tan=. sinsin32333 BA CCCCC AB 10.（第 150 局）已知ABC的面积为21,2 3AC，且 43 1 tantanAB ，则tan A的值为_ 解析：设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则 2 3b ， 434cos3cos4cossin3sincos 1 tantansinsinsinsin ABABAB ABABAB ， 4cossin3sincossinsinABABAB， sinsincossin
38、3 sincoscossin3sin3sinABABABABABC， 由边角互化思想得sincos3bAAc， sincos 3 bAA c ， ABC的面积为 112 3 sin2 3sincossin 223 ABC SbcAAAA 2 2 sinsincos21AAA， 2 21 sinsincos 2 AAA ， 即 2 22 22 22222 22 sinsincos 21sinsincostantan coscos sincos2sincostan1 coscos AAA AAAAA AA AAAAA AA ， 整理得 2 21 tan2tan210AA，解得 tan21A . - 20 - 第第 8 篇篇高高 1.（第 135 局）在锐角ABC，AD是边BC上的中线，且ABAD ，则 111 tantantanABC 的最小值 为_ 解析：作高，得到BAtan3tan，代入处理即可！ 2.（第 61 局）在锐角ABC，AD是边BC上的中线，且ABAD ，则tantantanABC的最小值_ 解析：不妨设2BDCD, ADAB,1BHHD, tanBh,tan 3 h C, 2 tantan4 tantan tantan13
