1、 第八章第八章 玻色统计与费米统计玻色统计与费米统计8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体8.3 玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚8.4 光子气体光子气体8-6 声声 子子 系系 统统 对于简并气体，需要分别用玻色分布或费米分布处理。微观粒子对于简并气体，需要分别用玻色分布或费米分布处理。微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质将产生决定性全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质将产生决定性的影响，使玻色气体和费米气体的性质迥然不同。的影响，使玻色气体和费米气体的性质迥然不同。8.1 8.1 热
2、力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统的平衡性质。条件）的近独立粒子系统的平衡性质。12232 hmkTNVe非简并条件：非简并条件：或：或：122323 mkThVNn一、非简并气体和简并气体一、非简并气体和简并气体二、玻色子系统的热力学量的统计表达式二、玻色子系统的热力学量的统计表达式llllleaN1引入巨配分函数：引入巨配分函数： llle)1ln(lnllelll1 系统的总粒子数：系统的总粒子数：取对数得：取对数得：llllealn1lllllalnlnN
3、lnlnN在宏观体积内，粒子能量是准连续的 dDll; 01lnlndeDlnlnlnlnNlllllllla所以，巨配分函数反映了所以，巨配分函数反映了粒子在各能级上的分布规粒子在各能级上的分布规律（分布几率）律（分布几率）lnlnln1llllllllllleaUyyyeayYlllllllllln1ln11 lnU1、内能、内能的统计表达式的统计表达式：2、广义力（物态方程）、广义力（物态方程）的统计表达式的统计表达式： ln1yY特例：特例：ln1VP)ln(ln)ln()(ddyydNdYdydU因为：ddddyydyydddlnlnlnlnlnlnlnln3、熵、熵lnlnlnln
4、)ln(ln)ln(lnlnlnln)ln()ln()(dddddddddddNdYdydU比比较较可可得得：与与热热力力学学公公式式dSNdYdydUT )(1)lnln(lnkddS所以：)lnln(lnkS、熵的统计表达式、熵的统计表达式 lnkS证明：证明：玻色系统的微观状态数：玻色系统的微观状态数： lllllllllaaaalnlnlnln lllllaa)!1( !)!1( lllllaa !ln)!1ln()!1ln(ln取对数得：取对数得：1, 1 lla设：设： 1ln!ln mmm则则llllllllllaaaalnln、熵的玻耳兹曼关系、熵的玻耳兹曼关系可得：可得：由由
5、1 lllea;1 -11llael llla1ln lllllaekSl)1ln(可得：可得：代入代入)(lnUNkS lnlnlnkaaaakllllllllll二、费米系统二、费米系统热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式费米系统，巨配分函数为：费米系统，巨配分函数为：前面得到的热力学量的表达式完全适用：前面得到的热力学量的表达式完全适用：其对数为：其对数为：llllle1 llle)1ln(lnlnN lnU ln1yY lnkS在宏观体积内，粒子能量是准连续的 dDll; 01lnlndeDlnln)lnln(lnlnkTkTNTSUJ的的函函数数、即即的的函函数数、是是VTy,l
6、n 三、巨热力学势三、巨热力学势lnkTJPVPVTSUTSUGTSUNTSUJlnkTJPV（3）代入热力学统计公式求热力学量）代入热力学统计公式求热力学量量子力学的理论计算获得量子力学的理论计算获得分析光谱数据获得分析光谱数据获得小结：求玻色子、费米子量子体系热力学函数的一般步骤小结：求玻色子、费米子量子体系热力学函数的一般步骤l（1）写出）写出 及相应简并度及相应简并度 l（2）求粒子的巨配分函数）求粒子的巨配分函数llelll1 在宏观体积内，粒子能量是准连续的 dDll; 01ln1lnlnlndeDellllllBose气体取“-”，Fermi气体取“+”lnkTPV推论：推论：或
7、满足或满足 的条件时，气体称为非简并气体。的条件时，气体称为非简并气体。1、非简并性气体：满足、非简并性气体：满足 的气体。的气体。称称 为非简并性条件，或经典极限条件（宏观体积中的量子系统满足此条为非简并性条件，或经典极限条件（宏观体积中的量子系统满足此条件）。件）。1e02322321212TmkhVNTmkThVNZNe定义为系统的退化温度或简并温度定义为系统的退化温度或简并温度mkThmkThVNn2, 112331称为粒子的德布罗意波长称为粒子的德布罗意波长即粒子间平均距离远大于德布罗意波波长，可过渡到玻耳兹曼统计即粒子间平均距离远大于德布罗意波波长，可过渡到玻耳兹曼统计一、关于气体
8、简并性的概念一、关于气体简并性的概念 8.2 8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体1e0TT 实质；温度远高于简并温度时，系统的量子效应不显著。非定域的量子分布实质；温度远高于简并温度时，系统的量子效应不显著。非定域的量子分布可以过度到玻耳兹曼分布。这时气体性质和经典气体相差不大，称为非简并可以过度到玻耳兹曼分布。这时气体性质和经典气体相差不大，称为非简并气体。气体。KTTTa0)、能级可视为连续，量子效应不显著。可过渡到经典能级可视为连续，量子效应不显著。可过渡到经典大小，较低很小时，、若rTnbn)0（粒子间距离）与粒子相联系的德布罗意波（粒子间距离）与粒子相联
9、系的德布罗意波并不重叠，粒子可以分辨，这时相当于定域系，可过渡到玻耳兹曼统计。并不重叠，粒子可以分辨，这时相当于定域系，可过渡到玻耳兹曼统计。较低，量子效应不显著大，则、若0)cTm3131212NVmkThVNmmkTh小，大时，即粒子间平均距离远大于德布罗意波波长，可以过渡到玻耳兹曼统计。即粒子间平均距离远大于德布罗意波波长，可以过渡到玻耳兹曼统计。2、强简并气体、强简并气体若若 时，气体的量子效应显著，则其与经低昂情况有显著区别。称时，气体的量子效应显著，则其与经低昂情况有显著区别。称为强简并气体或退化气体。此时，必须用非定域的量子分布进行研究讨论。为强简并气体或退化气体。此时，必须用非
10、定域的量子分布进行研究讨论。0TT 则量子效应不显著）很低时，（,KTT统计处理。要用气体，任何情况下都是强简并质量光子气体：光子的静止理。须用量子的费米统计处所以为强简并气体，必常温下，气体例：金属中的自由电子EBTmTTKTcmngm00040322027, 0100 . 26 . 1,/10,10:4 4、弱简并气体：、弱简并气体：为简单起见，只考虑分子的质心平动，不考虑其内部运动形式：为简单起见，只考虑分子的质心平动，不考虑其内部运动形式：)(21222zyxpppm dmhVgdD21233)2(2)( 02123301)2(2edmhVgdDfNs在体积在体积V V内，在内，在到到
11、+d+d范围内可能的微观状态数：范围内可能的微观状态数：系统的总分子数：系统的总分子数： 02323301)2(2edmhVgdDfUs3、完全简并性气体：、完全简并性气体：T=0K时的气体称为完全简并气体或完全退化气体。时的气体称为完全简并气体或完全退化气体。满足满足 ，但处理问题的过程中，分布，但处理问题的过程中，分布 中分母的中分母的1不忽略，做不忽略，做近似展开时，一共保留两项，即考虑量子效应的微弱影响，这就是弱简并的本质。近似展开时，一共保留两项，即考虑量子效应的微弱影响，这就是弱简并的本质。1e1leall二、弱简并玻色气体和费米气体的热力学性质：二、弱简并玻色气体和费米气体的热力
12、学性质：系统的内能：系统的内能：xxxxxeeeeee11111只取头两项：展开，是一个小量，可将小的情形下，在 0212331)2(2xedxxkTmkThVgN 0232331)2(2xedxxkTmkThVgU被积函数的分母可表为：被积函数的分母可表为：）（xxxeee1111引入变量：引入变量：x 则上述两式可写为：则上述两式可写为：211)2(23232eVehmkTgN 代代入入上上式式可可得得：211 )2(2325232eVkTehmkTgU 241123eNkTU 两式相除可得：两式相除可得：利用零级近似结果，即玻耳兹曼统计分布的结果：利用零级近似结果，即玻耳兹曼统计分布的结
13、果：2411 231)2(2411 233232ngNkTgmkThVNNkTU 可可得得：zyxpppmdpdpdxdydzdpehgZzyx 2222311gmkThVNZNe1)2(2312232222321222hmVgdpedpedpedxdydzhgzpmypmxpmzyx讨论：讨论：1、第一项由玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是量子效应对内能的贡献。、第一项由玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是量子效应对内能的贡献。 2、弱简并条件下，第二项很小，即由于全同性原理引起的统计关联对内能、弱简并条件下，第二项很小，即由于全同性原理引起的统计关联对内能 的贡献很小，第二项并非运动性质引起而是
14、全同性引起。的贡献很小，第二项并非运动性质引起而是全同性引起。 3、对费米系：附加内能为正、对费米系：附加内能为正-等效排斥作用等效排斥作用-泡利原理；泡利原理； 对玻色系：附加内能为负对玻色系：附加内能为负-等效吸引作用。等效吸引作用。 8.3 8.3 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚一、理想玻色气体的性质一、理想玻色气体的性质11 kTllllleea二、化学势二、化学势 与基态粒子数与基态粒子数000 al，则则都都不不能能取取负负值值，若若取取因因为为任任一一能能级级的的粒粒子子数数化学势由下式决定：化学势由下式决定：nVNeVlkTll 11 nT, 的的函函数数：化化学学势势
15、为为温温度度和和数数密密度度值值越越高高。低低则则给给定定的的情情形形下下，温温度度愈愈在在nnedmhVkTl 0212331)2(2将求和改为积分：将求和改为积分： 。将趋于时，度当温度降到某一临界温随温度的降低而升高当粒子数一定时，0;CTnedmhVclkT 0212331)2(2nedxxmkThkTxxCc 0212331)2(2,可得：可得：令：令：612.221021edxxx积积分分： 32223)612. 2(2nmkhTc 为为给给定定的的条条件件矛矛盾盾。，与与，左左边边小小于于仍仍趋趋于于时时，当当VNnnTTC 0讨论：讨论： )(1 230CTTnTn 关键在用积
16、分代替求和时，关键在用积分代替求和时， 的项被弃掉了。的项被弃掉了。0 当当 时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略。时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略。CTT nedmhTnkT 02/12/330122230212330)(1)2(2CkTTTnedmhn 三、矛盾的原因分析三、矛盾的原因分析 的的粒粒子子数数密密度度，时时处处在在能能级级是是温温度度为为第第一一项项00 TTn。的的粒粒子子数数密密度度第第二二项项是是00 nnn0CTT1.01.00:00随随温温度度的的变变化化如如图图所所示示有有相相同同的的数数量量级级，与与以以下下在在nnnTC ，作作图图：根根据据)
17、(1230CTTnTn 四、玻色四、玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚凝凝聚聚。能能级级时时有有宏宏观观量量级级的的粒粒子子在在在在0 TTC23)(770.01)2(2023233CkTTTNkTedmhVU 聚聚体体。的的粒粒子子集集合合称称为为玻玻色色凝凝为为凝凝聚聚温温度度，凝凝聚聚在在0TC熵熵均均为为零零。凝凝聚聚体体的的能能量量、动动量量和和的的粒粒子子能能量量是是处处在在能能级级时时理理想想玻玻色色气气体体的的内内能能在在0 TTC定容热容量为：定容热容量为：23)(925.125CVVTTNkTTUTUC 的的统统计计平平均均值值：实验室测得在 附近 的热容量随温度的变化 H
18、e4KT17. 2 气体凝聚成液体需要依靠分子之间的相互作用力。对于理想气体，粒气体凝聚成液体需要依靠分子之间的相互作用力。对于理想气体，粒子之间的相互作用已被忽略，如何发生凝聚？爱因斯坦自己已意识到这子之间的相互作用已被忽略，如何发生凝聚？爱因斯坦自己已意识到这一点，他写到一点，他写到“这个公式间接地表达了一个确定的假设，即认为分子以这个公式间接地表达了一个确定的假设，即认为分子以暂时还完全难以捉摸的方式相互影响着，暂时还完全难以捉摸的方式相互影响着，” 由于历史条件，当时还不知道全同多粒子系存在（量子起源的）统由于历史条件，当时还不知道全同多粒子系存在（量子起源的）统计关联：对玻色子是有效
19、吸引；而费米子是有效排斥。因此，即使没有计关联：对玻色子是有效吸引；而费米子是有效排斥。因此，即使没有动力学相互作用，仍可在一定条件下由于有效相互作用而发生凝聚现象。动力学相互作用，仍可在一定条件下由于有效相互作用而发生凝聚现象。这是一种纯粹量子起源的相变。这是一种纯粹量子起源的相变。 爱因斯坦的理论为什么当年受批评？爱因斯坦的理论为什么当年受批评？一、紫外灾难一、紫外灾难 根据能量均分定理来讨论平衡辐射问题，从经典的电磁理论，空腔根据能量均分定理来讨论平衡辐射问题，从经典的电磁理论，空腔辐射场可分解为无穷多个单色平面波的叠加，单色波的表达式：辐射场可分解为无穷多个单色平面波的叠加，单色波的表
20、达式：)(0trkieEE zzyyxxekekekk , 2, 1, 0,2, 2, 1, 0,2, 2, 1, 0,2 zzzyyyxxxnnLknnLknnLkzzyyxxdkLdndkLdndkLdn222 8.4 8.4 光子气体光子气体 因此，具有一定波矢因此，具有一定波矢k k和一定偏振的单色平面波可以看作是和一定偏振的单色平面波可以看作是辐射场的一个以辐射场的一个以 为圆频率的振动自由度。计算体系该自为圆频率的振动自由度。计算体系该自由度的数目就可以利用能量均分定理。由度的数目就可以利用能量均分定理。代入波动方程，得：代入波动方程，得：将将)(0trkieEE 012222 E
21、tcEck zyxzyxzyxdkdkdkVdkdkdkVdndndn334)2(2 ，可可得得：，代代替替采采用用球球极极坐坐标标，用用zyxkkkk,kkkkkkzyxcossinsincossin ddkdkdkdkdkzyxsin2积分：积分：令令20:,0:dDdcVdkkVdndndnzyx)(23222 dd4sin020 kTdcVkTdDdU232)( 此即为瑞利金斯公式此即为瑞利金斯公式瑞利金斯曲线瑞利金斯曲线实验曲线实验曲线vv0、光子自旋为1，光子气体是Bose子系统。自旋在动量方向的投影有两个可能的取值 对应于波动观点中，电场有两个偏振，所以光子的简并度g=2.、将黑
22、体空腔中的辐射电磁场看成光子气体,即： 的单色平面波 的光子。kp,、光子的静止质量m=0,只能以场能形式出现111slefeasll2k在相空间中,体积为V ,光子动量在光子动量在 区间的相体积内区间的相体积内光子的量子态数是dPPhVdppddhgVhgd232020338sindppp二、黑体辐射的普朗克公式1、模型、模型cpmpccm0;22422、光子气体的光子数不守恒，即：02、普朗克公式,k,pmkhVNTm202320任何情况下都是强简并，要用任何情况下都是强简并，要用B-E统计处理统计处理由 可得在频率 范围内范围内的量子态数chpcdphdd,黑体空腔体积V中， 在频率 范
23、围内的平均光子数是范围内的平均光子数是 dcVdD238d decVdDfdNkThs1823所以, 在频率 范围内的空腔辐射场的能量是范围内的空腔辐射场的能量是 d dechVdNhTdUkTh18),(33空腔辐射场的单色能量密度1181),(33kthechddUVT-黑体辐射的普郎克公式 d空腔单位体积内辐射场的单色能量密度 8.4 8.4 光子气体光子气体将关系式 和 代入上式,可将普郎克公式写成 cdcd218),(5kThcechT 也是辐射场单色能量密度，它只与波长和温度有关，与空腔的材料和形状无关。),(T实验数据黑体辐射公式与实验曲线（1 1）在）在 的长波（低频）范围内，
24、的长波（低频）范围内，kThcekThc1此即为瑞利金斯公式此即为瑞利金斯公式（2 2）在）在 的短波（高频）范围内，的短波（高频）范围内，此即为维恩公式此即为维恩公式普郎克公式可近似为：普郎克公式可近似为：1kThckTT48),(1kThc普郎克公式可近似为：普郎克公式可近似为：kThcehcT58),(ddTTdTdT),(),(),(),(令 ，上式变为 kThcx18),(55xexhckThcT在温度确定时,令 得 0),(Tdxdxex)1 (5用数值法解出此方程,得 即得： 965114. 4xmKkxhcTm310899996. 2-维恩（Wien displacement
25、law）位移定律. 3、维恩（Wien displacement law）位移定律设单位时间从黑体表面单位面积辐射出的波长在 范围内的能量为 ， 叫做黑体表面单色能流密度ddjj4、斯特潘玻尔兹曼定律 n如图 是黑体表面(即空腔上的一个小孔)上O点处面积元单位法线矢量. 由于辐射场能量向各方向均匀流出，单位时间流入与矢量 夹角为 的方向的立体角元 内的单色能量是ndddsinndcstdstc44c是真空中的光速, 是球面角 4因此， 与 的关系是j4sin42020cddcj将 代入上式，得 ，而辐射场(复色)能流密度c4cjdechdjJkTh032012令 得得,kThxdxexhkTc
26、hJx034212利用公式 有011nnxx011nnxxee10111nnxxnnxxxeeeee44cddcddjjdjdj4234514423410342152622TchknTchkdxexhkTchJnnnx上式最后一步利用了 . 将各常数代入上式,得 156414nn2481066. 5mWTJ此即斯特潘玻尔兹曼定律. 由上式可知, 测出物体辐射(复色)能流密度就可以知道它的温度.这就是光测温度计的基本原理 5、空腔中的辐射场内能 433420331518),(VTchkdechVTUkTh辐射场的等容热容量是33342154VTchkTUCVV1111u66. 3引言：引言：k2
27、3kNkNCCCeaeVaVV2333ATTCV1、金属中的自由电子模型与经典理论的困难、金属中的自由电子模型与经典理论的困难1106343:sdCu32803105 . 8639 . 8,9 . 8mNncmg13400,15,1,22,30033ndndmkThmhphKT经典理论与经典理论与实验结果不符合实验结果不符合U, 1111,1kTlleefeal kTeeffffkTkT0111lim00100且，此相体积内的量子态数是 dmhVdD233)2(4考虑到电子自旋在动量方向上的投影有两个值,在体积为动量大小 范围内的相体积是 ，利用关系式 将此相体积改写为 dmV23)2(4dp
28、Vp28dpppmp22能量 范围内的电子数 d dfDdN 所以,自由电子数是 TnnVNdemhdemhVdfmhVdfDNkTkT,1)2(41)2(4)2(40233023302330 demhVUdemhVdfmhVdfDUkTkT0232330233023301)2(41)2(4)2(4二、二、T=0KT=0K时时自由电子按能量的分布自由电子按能量的分布 .00时电子气体的化学势表示以K 0, 1f 0, 0f(1)、费米动量PF 3/222002/12/33032024nmNdmhVdDfs3/12232nPmPFFF可得：令kTFF11kTeff01 0 表示。称为费米能级，以
29、F0FpxpypzpKTeVFF4102 . 8,0 . 7kTFPdVTdSdUdFUTSUF（2 2）、）、0k0k时电子气的内能为：时电子气的内能为： FsNNdmhVdDfU53053240002/32/330（3 3）、）、0k0k时电子气体的压强为：时电子气体的压强为：FFnVNVUVFP5253 与玻色气体在与玻色气体在0K0K时能量、动量和压强完全不同，费米气体在时能量、动量和压强完全不同，费米气体在0K0K时有很高时有很高的能量、动量，并产生很大的压强。的能量、动量，并产生很大的压强。PaP10108 . 30ln1kSf三、三、 但但 时的分布时的分布KT0FTT ,21,
30、21,2111kTef由于由于 随随 按指数规律变化。因此，只在按指数规律变化。因此，只在 范围内有明显变化，范围内有明显变化，若若 时，时， 随随 的增加或减小迅速趋于零或者的增加或减小迅速趋于零或者1，所以分布如上图所示。，所以分布如上图所示。fkTkTkTf产生这一分布的物理机制：产生这一分布的物理机制： 时微热激发态。但热运动所能提供的能量量级时微热激发态。但热运动所能提供的能量量级为为 ，所以热激发只能将费米能量曲面，所以热激发只能将费米能量曲面 附近的电子激发到距它附近的电子激发到距它 为附近为附近的能级。的能级。KT0kT 0kTkT2四、自由四、自由气体的热容量气体的热容量kT
31、 0kTkTSSNNeff11221矩NkTNeff若按经典理论：若按经典理论：kNkTkNCeffeV23232601FTTkTaVeVCNkNkkTNkC2326012323KT0 demhVdfDNkT02123301)2(4 demhVdfDUkT02323301)2(4 dxekTxkTdxekTxkTdxekTxkTdeIxkTxkTxkTxkT0001111kTkTeexx,11111 22002000000612111kTddxexkTddxekTxkTxkTddxekTxkTdxekTxkTdxkTxkTIxxxkTxkT 220061kTddeIkT222321220210
32、21233813261)2(4kTCkTdCdemhVNkT222523220230238515261kTCkTdCdeCUkT 32322232230, 0,8123CNTkTCN 223222012100810kTkT 22222522250125105308510121052kTNkTkTCU 所以，电子气体的定容热容量为所以，电子气体的定容热容量为 TkTNkTUCVeV02023ATTCV2、爱因斯坦固体理论：固体中原子的热运动可以看成3N个独立振子的振动。爱因斯坦假设这3N个振子的频率都相同。 表示振子的圆频率。振子的能级为 hnn21,2, 1 ,0n 由于每一个振子都定域在其平
33、衡位置附近作振动，振子是可以分辨的，遵从玻耳兹曼分布。8-6 声声 子子 系系 统统引言：关于固体的热容量的理论1、经典理论：应用能量均分定理可得固体的热容量-杜隆-珀定律在低温范围与实验严重背离。RCVm3,室温和高温范围与实验符合配分函数为:21exp001nheZnnnnxxxxn1112hheeZ121固体的内能为: 1323ln3hehNhNZNU第一项是3N个振子的零点能量，与温度无关；第二项是温度为T时3N个振子的热激发能量。 定容热容量2213kThkThVVeekThNkTUC引入受因斯坦特征温度EhkE2213TTEVEEeeTNkCNkCTVE3高温：TEVEeTNkC2
34、E3T低温：热容量随温度趋于零的原因可以这样解释，当温度趋于零时，振子能级间距 将远大于kT。由于能量的量子化，振子必须取得 能量才能跃迁到激发态。但在低温下，取得这样大的能量的几率是极小的。因此，平均而言，几乎全部振子都冻结在基态。当固体温度升高时，它们也都几乎不吸收能量，因此对热容量没有贡献。hh当温度很低时，绝缘体的热容以T趋于零，爱因斯坦热容比T更快地趋于零，这与实验偏差较大 一、波动观点一、波动观点1、固体模型固体模型、原子在结点位置作空间微振动，原子间存在着强烈的耦合作用。、原子在结点位置作空间微振动，原子间存在着强烈的耦合作用。、N个原子，个原子，3N个自由度，存在相互关联（作用
35、），不能视为近独立粒子系。个自由度，存在相互关联（作用），不能视为近独立粒子系。原子在结点位置作空间微振动原子在结点位置作空间微振动,整体而言形成固体中的格波。、3N个相互关联的自由度，经线性变换，个相互关联的自由度，经线性变换，可变为可变为3N个个近独立的简正振动。近独立的简正振动。jiijiiii02002100iif设固体有设固体有N个原子，每个原子有个原子，每个原子有3个自由度，则整个固体个自由度，则整个固体的自由度为的自由度为3N. 以以 表示第表示第 个自由度偏离其平衡位置个自由度偏离其平衡位置的位移，相应的动能为的位移，相应的动能为 ，势能可以展为位移，势能可以展为位移的幂级数，
36、准确到二级。的幂级数，准确到二级。iiNiimp3122因在平衡位置处因在平衡位置处00221jiijikkEEE经线性变换后，可将上述二次型变为平方和的如下形式：经线性变换后，可将上述二次型变为平方和的如下形式：2223121iiiNiqpmE式中式中 是是 的线性组合，称为简正坐标的线性组合，称为简正坐标iqNii3, 1、3N个间正振动的能量是量子化的个间正振动的能量是量子化的, 1 , 0,21031iiNiinnhE2、系统配分函数、系统配分函数 ihhinnhninhnnhSEiiiiiiiiiiiiSeeeeeeeeeeZ1221212100003、系统的内能、系统的内能Nihi
37、iehUZU3101ln热运动能热运动能固体结合能固体结合能简正振动的频率分布？简正振动的频率分布？爱因斯坦固体理论：3N个振子的频率都相同，过于简单。且4、德拜模型：将固体看作连续弹性媒质，、德拜模型：将固体看作连续弹性媒质，3N个简正振动是弹性媒质的基本个简正振动是弹性媒质的基本波动。固体中任意的弹性波都可以分解为波动。固体中任意的弹性波都可以分解为3N个简正振动的叠加。对于一定个简正振动的叠加。对于一定的波矢的波矢K,有有一支纵波，两支横波其中vL为纵波声速，vT是横波声速各向同性介质两横波是简并的，即两横波速度相等kckcTL, dBdccVdDTL22332212由于固体只有由于固体
38、只有3N个简正振动，必须假设存在一个最大的圆频率个简正振动，必须假设存在一个最大的圆频率DBNNdBDD93302 dehBUdDehUehUUDDihhNihi03000310111TkThxkThyDD,令：在 到 范围内的简正振动模数d dyeyxxDxy03313 xNkTDUdehBUUDh310030、高温下、高温下yexTyD1,1 1313023033dyyxdyeyxxDxxyNkCNkTUUV330与经典统计结果相同。与经典统计结果相同。、低温下、低温下1xTD 3403303351313xdyeyxdyeyxxDyxy34344054353DVDTNkCTNkUU在甚低温
39、，热容与T成正比的规律称为德拜定律德拜理论在对于非金属固体与实验是相符的；金属在温度3K以上也符合T定律，在3K以下不能忽略自由电子对热容量的贡献德拜定律只描述固体热容量的原子部分。铜热容的实验数据与德拜理论值的比较 在德拜模型中，德拜温度是个重要参量都是间接由实验来确定，方法有二：一是实验确定声速vp；二是测出材料的热容量。 几种晶体的德拜温度 (K) D 二、粒子观点二、粒子观点-声声 子子 系系 统统可变为3N个近独立的简正振动。按照量子力学, 一维谐振子的能量是 , 2 , 1 , 0,)21(nhnh210是零点能 德拜(Debye,Peter,1884-1966)把能量子 叫做声子
40、 h这样,能量为 的一维谐振子就是一个可被若干个声子填充的以频率 表征的量子态。整个固体就是一个大量声子按频率分布的系统 根据德布罗意波公式, 声子的动量和能量 TLpcpchkhp;其中 分别是纵波和横波的波速。所以,在频率 范围内声子量子态数是 设系统设系统(固体固体)体积为体积为V ,在在 范围内范围内, 纵波声子三维量子态数是纵波声子三维量子态数是 dcVdpphVL3222324dppp横波声子三维量子态数是 dcVdpphVT322238TLcc ,ddBdccVdgTL22332212)(BNNdBDD93302对于体积和温度确定的系统,所有声子三维量子态数就是系统的谐振子数3N
41、,而且有一个频率的上限 D频率的取值范围 做德拜频谱 D0频率表征的量子态,每一量子态都有一零点能，具体能量由声子数确定。总量子态数为3N 3,)213(nh0D 5,)215(nhD11kThea 一个声子量子态中的声子数可取任意自然数一个声子量子态中的声子数可取任意自然数,因此因此, 声子是玻色子声子是玻色子,服从玻服从玻色分布色分布.随着能量在各个振子之间的交换随着能量在各个振子之间的交换,各种频率不同的声子在产生和湮灭各种频率不同的声子在产生和湮灭,系统中的总声子数不守恒系统中的总声子数不守恒,系统化学势为零系统化学势为零.所以所以, 频率为频率为 的一维声子量子的一维声子量子态中的平均声子数是态中的平均声子数是 dehBUdghaUUDDh030001TkThxkThyDD,令：dyeyxNkTUUxy033019、低温下、低温下xxTD视为, 1、高温下、高温下yexTyD1,1NkCNkTUUV330与经典统计结果相同。与经典统计结果相同。34344054353DVDTNkCTNkUU
