1、1一、到圆心距离的最值问题一、到圆心距离的最值问题;二、到圆上一点距离的最值问题二、到圆上一点距离的最值问题;三、与圆上一点的坐标有关的最值问题三、与圆上一点的坐标有关的最值问题;四、与圆半径有关的最值问题四、与圆半径有关的最值问题.2一、到圆心距离的最值问题:一、到圆心距离的最值问题:2213480,221 0,PxyPA PBxyxyA BCPACB 例:已知 是直线上的动点,是圆的两条切线,是切点,是圆心,求四边形面积的最小值。221111,1 ,1xyCr解:已知圆可化为:圆心半径22221PACBPACSSPAACPCrrPC3PACBSPCPC求的最小值就是求的最小值,而的最小值就
2、是圆心到直线的距离.223483349 12 2dS 所求面积的最小值为点评:求切线长时总是转化为到圆心的距离和半径来求解。4二、到圆上一点距离的最值问题:二、到圆上一点距离的最值问题:2221:250PxyQl xyPQ 例 :已知 是圆上一点, 是直线上一点,求的最小值。0,01,CrCHlH解:圆心,半径作与.PQCQCQCQCH求圆上一点 到 的距离可以转化为圆心 到 的距离,而的最小值就是圆心到直线的距离5点评:到圆上一点距离的最值问题总是转化为到圆心距离的最值问题。221100515112PQCQCH PQ的最小值为 5-16222231,0 ,1,0344ABxyPPAPBP例:
3、已知定点和圆上的动点 ,求使最值时点 的坐标。22222222,1121P x yPAPBxyxyxy解:设三、与圆上一点的坐标有关的最值问题:三、与圆上一点的坐标有关的最值问题:2222344xyxyPO上式中相当于在上的点 到原点 的距离的平方。7 220,0 , 3,4OP x yxy作图不难知道,当共线时,有最值。22229 12,5521 28,55PxyPxy易求得时,最小为20求得时,最大为10082222,(1)1,21 34 2 31x yxyyxyxyx练习1:求实数满足求下列各式的最值:()( )( )cos1,1sin343cos44sin5sin()43491xyxy
4、xy 解:()法一:令则的最大值为 ,最小值为34,3 04 11,45,9153491xyttttxy 法二:设直线与圆相切时取最值于是或的最大值为 ,最小值为922222221:cos(1sin)22sin40 xyxy解:( )法一:由()知的最大值为 ,最小值为2222,(1)1,21 34 2 31x yxyyxyxyx练习1:求实数满足求下列各式的最值:()( )( )2222222()(1)1xyxyxy法二:可看作圆上的点到坐标原点距离的平方的最值,亦可求解yxo110231:3sin,sincos31cos1sin()3kkkkk解:( )法一:由()知得即2222,(1)1
5、,21 34 2 31x yxyyxyxyx练习1:求实数满足求下列各式的最值:()( )( )22334sin(),1,3112413kkkkkyx 则有最小值为 ,无最大值11222( 2)1( 1)(1)1( 1, 2)yyxxxyP 法二:可看作圆上的点与两点的连线的斜率最值,结合图形可求解yxo),(P21 112四、与圆半径有关的最值问题:四、与圆半径有关的最值问题:2204134312xx yy xxyxy例: 设,满 足求的 最 小 值 。222131,3.xyrCr解:设则圆心,半径为243120 xyrr由图观察知,当圆与直线相切是,半径 最小,即 最小。OXYY=X4x+
6、3y=121322249 121543125drr由圆心到直线的距离等于半径,得:2213xy 1的 最 小 值2522222xaybxaybr点评:在线性规划中,求形如的最值问题,总是转化为求圆半径平方的最值问题。14 2224301 .2 .,CxyxyCxyCP x yPMMOPMPOPMP练习2:已知圆 :若圆 的切线在 轴和 轴上截距相等,求切线的方程;从圆 外一点向圆引切线,为切点, 为坐标原点,且,求使最小的点 的坐标。15222226126kkkyx 由点到直线的距离公式得:切线方程为 221221,2 ,2CxyCr解: 1 .圆 可化为:圆心半径Cxyab设圆 的切线在 轴
7、和 轴上的截距分别为 、00abykxkxy当时,切线方程可设为即162212211131030aaaxyxy 由点到直线的距离公式得:或切线方程为或010 xyababxya当时,切线方程可设为即26,1030yxxyxy 总之,所求切线方程为或17222223229564PMPOxyyyyy 222222,MCPMPCMCPMPOPCMCPO2 .连结则2222122322k xyxyxy即631053333 32,521010 5yPMxP 当时,最小,18 222210,2,2 .1 .2222 .CxyxylxyA BOOAa OBb abClabABAOB 例5:已知与曲线 :相切
8、的直线 交 轴, 轴于两点, 为原点,求证曲线 与直线 相切的条件是;求线段中点的轨迹方程;3 求的面积的最小值。19221,11222abababab圆心到直线的距离等于1的充要条件是 221.10111xyla bbx ay abCxy证明:直线的方程为即曲线 的方程为20 2 .,ABM x y设中点为则由中点坐标公式得2222axaxbbyy 222221112xyxyM代入 1 的结论:这便是中点 的轨迹方程。21 113 .2 222AOBSaba b 1223abab 322232 232 2AOBabS的最小值为220,0 ,4,0 ,0,3,ABCABCPPA PB PC练习
9、3:已知三个顶点坐标,点 是它的内切圆上一点,求以为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。YXCPAB23ABCABCARt解:的三边长分别为3,4,5是以 为直角顶点的22221,111112210rxyxyxy 内切圆的圆心,半径内切圆的方程为即,Px y设 点坐标为2222222224434112SPAPBPCxyxyxyxmaxmin021190222xxSxS当时,;当时,244(1)2(2)3:1(1)(2):20yxl xy练习 :设圆满足: 截 轴所得弦长为 ;被 轴分成两圆弧,其弧长比为。在满足条件的所有圆中,求圆心到直线的距离最小的圆的方程。( , ),|,|.C a br
10、Cxyba解法一:设圆心,半径 则 到 轴, 轴距离分别为2Cx由已知应有圆 截 轴所得劣弧的圆心角为2y截 轴所得弦长为|2 |:205abCl xyd圆心 到直线的距离222|22brbr故即221ar 得2212ab 得252222112(1)(1)2xyxy所求圆方程:或22222222225|2 |4442()21dabaabbababbamin55abd“”当且仅当时成立,此时2212abab 1111aabb 或2r4(1)2(2)3:1(1)(2):20yxl xy练习 :设圆满足: 截 轴所得弦长为 ;被 轴分成两圆弧,其弧长比为。在满足条件的所有圆中,求圆心到直线的距离最小的圆的方程。262222112(1)(1)2xyxy所求圆方程:或由解法二同样可得sin2cos0k令3|44PQk或时,与单位圆相切,取到最小1111aabb 此时或2r 而5 sin25cosd221(cos ,sin )(0, 2)kxyPQ可看成单位圆上动点与定点连线的斜率min55d,2728