1、(一一) 二面角二面角1.1.半平面的定义半平面的定义 一个平面内的一条直线将这个平面分成两部分,其中每一部分都叫半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角这条直线叫做二面角的棱的棱, 这两个半平面叫做二面角的面这两个半平面叫做二面角的面.一一、二面角的定义二面角的定义二面角二面角l2、二面角的表示方法、二面角的表示方法AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCDABCEFD二面角二面角CAB E1、定义、定义二面角二二、二面角的平面角二面角的平面角ABP l1、定义、定义二面
2、角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足： 3）角的两边都要垂直于二面角的棱角的两边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围二面角的平面角的范围: 0 ,180 二面角的大小用它的平面角的大小来度量二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端点以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个在两个面内分别作垂直于棱的两条射线面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条这两条射线所成的角叫做射线所成的角叫做二面角二面角的的平面角平面角A1B1 P1 注意注意: :(与顶点位置无关与顶点位置无关) APB= A
3、1P1B12、作二面角的平面角的常用方法、作二面角的平面角的常用方法、点、点P在棱上在棱上、点、点P在一个半平面上在一个半平面上、点、点P在二面角内在二面角内pABABpABOp定义法定义法三垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法二面角 ABP M N C DO解解：在在PB上取不同于上取不同于P 的一点的一点O，在在 内过内过O作作OC AB交交PM 于于C，在在 内作内作OD AB交交PN于于D，连结连结CD，可得：，可得：设设PO = = a ， BPM = =BPN = = 45CO=a，DO=a， PC a ， PD a22又又MPN=60 CD=PC a2 COD=90因此，二面角的度
4、数为因此，二面角的度数为90例例1. .如图如图, ,已知已知P是二面角是二面角 棱上一点，过棱上一点，过 P 分别在分别在 、 内引射线内引射线PM、PN，且，且MPN= =600， BPM =BPN = =450，求此二面角的度数。求此二面角的度数。 AB COD是二面角是二面角 的平面角的平面角 AB一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”3 3、讲解例题、讲解例题：已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角，求二面角A-PC-BA-PC-B的大小。的大小。 PABC1.定义法定义法：D过过A作作ADPC于于D，E过过D作
5、作DEPC于于D，交，交PB于于E，连结连结AE，则则ADE就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。二面角的求法1.定义法定义法：则则BDE就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。连结连结BE，已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角，求二面角A-PC-BA-PC-B的大小的大小。 PABC过过B作作BDPC于于D，D过过D作作DEPC于于D，交，交AC于于E，E二面角的求法已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角，求二面角A-PC-BA-PC-B的大小。
6、的大小。 PABC2.三垂线定理法三垂线定理法：D过过B作作BDPC于于D，则则BDE就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。连结连结DE，过过B作作BEAC于于E，E二面角的求法PA面面ABC， 面面PAC面面ABC，BE面面PAC， EDPC，ABC为正为正， BE=a23在在RtPAC中，中，E为为AC中点，中点，则则DE=a42tg BDE=DEBE6 BDE=arctg6已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角，求二面角A-PC-BA-PC-B的大小。的大小。 PABC2.三垂线定理法三垂线定理法：连结连结AD，则
7、则ADO就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。D过过O作作ODPC于于D，O过过A作作AO面面BPC于于O，F连结连结PO并延长交并延长交BC于于F，二面角的求法已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角，求二面角A-PC-BA-PC-B的大小的大小。3.射影面积法射影面积法：则则 POC就是就是PAC在面在面PBC上上的射影的射影。 PABCO过过A作作AO面面BPC于于O，二面角的求法F连结连结PO并延长交并延长交BC于于F，连结连结OC，已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=
8、aPA=AB=a，求二面角，求二面角A-PC-A-PC-B B的大小。的大小。 PABC3射影面积法射影面积法：则则PDC就是就是PBC在面在面PAC内的内的射影。射影。过过B作作BDAC于于D，D连结连结PD，二面角的求法几点说明几点说明：定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。三垂线法是从一个平面内选一点（一
9、般为这个面的一个顶点）向另三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用择，所以此法一般不用。以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。间接法是在不易作出平面角时用。
10、在解答题中要先证明射影面积公间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用了找平面角，但计算较繁，所以不常用。二面角的求法 ABC D 例例2. A为二面角为二面角 CD 的棱的棱CD上一点，上一点，AB在平在平面面 内且与棱内且与棱CD成成45角，又角，又AB与平面与平面 成成30，求二，求二面角面角 CD 的大小。的大小。CO解：作解：作BC于于C，连结，连结AC 过过C作作CO CD于于O，连结，连结OB由三垂线定理可得：由三
11、垂线定理可得： BO CD BOC是二面角是二面角 的平面角的平面角 CD则则222 所求二面角的大小为所求二面角的大小为45设设AO =a 在在Rt AOB中，中，BO=a, AB= a2 在在Rt ACB中，中， BAC= 30, AB= a, BC= a 在在Rt BCO中，中，sin BOC=22 OBBC解：解： ABP lO二面角例例3如图如图P 为二面角为二面角 内一点，内一点，PA , ,PB , , 且且PA= =5，PB=8，AB = =7，求这二面角的度数。，求这二面角的度数。 l 设过设过PA、PB 的平面的平面PAB 与棱与棱l 交于交于O 点点PA PA l PB
12、PB l l 平面平面PAB AOB为二面角为二面角 的平面角的平面角 l又又PA=5，PB=8，AB=7BPAPABBPAPP 2cos222由余弦定理得由余弦定理得 P = 60 AOB=120 所求二面角的度数为所求二面角的度数为12021 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，求二面角求二面角 的正切值。的正切值。 例：例：1111DCBAABCD aABCD1A1B1C1DCBDC1O 如图，正方体如图，正方体 中，棱长中，棱长为为 ，求面求面 和面和面 所成二面角的大小。所成二面角的大小。 1111DCBAABCD aABCD1A1B1C1D1ACDBC1变题变题1
13、：O 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD a投影ACE1ADABC1A1C1DED1B1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aABC1A1C1DED1BC1CA1AEB1DD1BACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所
14、成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aC1CAB1A1DED1BC1CA1A1DEBD1BACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aBC1CA1A1DED1BA1A1DECB1CD1BACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aABC1
15、A1C1DED1BCA1A1DEB1CD1BACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aA1ABC1C1DED1BCA1A1DEB1CD1BACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aC1CAB1A1DED1BCA1AEB1C1DD1BACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体
16、 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aC1CAB1A1DED1BA1AECB1C1DD1BACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aC1CAB1A1DED1BA1AECB1C1DD1BACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角
17、的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aBAC1A1C1DED1BBA1A1DEC1CD1BACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD a1CABC1A1DED1BB1CA1A1DECD1BACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aC1CAB1A1
18、DED1BBA1A1DEC1CD1BACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aC1CAB1A1DED1B1CA1A1DECBD1BACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aC1CAB1A1DED1BBA1A1DEC1CD1BACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其
19、棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD a1CABC1A1DED1BA1A1DECB1C1DDACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aC1C1DAB1AED1BAB1A1DEC1C1DDACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值
20、。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aABC1A1C1DED1BA1A1DECB1C1DDACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aA1ABC1C1DED1B1AA1DECB1C1DDACE1AD1AD 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD a投影A1ABC1C1DE
21、D1B1AA1DECB1C1DDACE1AD1ADF1D1ADFEAF 如图，正方体如图，正方体 中，其棱中，其棱长为长为 ，E为为 的中点，求平面的中点，求平面 与面与面 所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题2：1111DCBAABCD aA1ABC1C1DED1B1AA1DECB1C1DDACE1AD1AD1D1ADFEA三垂线三垂线PC练习练习1： 如图，在平面角为如图，在平面角为 的二面角的二面角 内有一内有一点点P，P到到 的距离分别为的距离分别为PC=2cm PD=3cm则垂足的连线则垂足的连线CD= ，P到棱到棱 的距离的距离为为l60,lFcm19cm5732Dl
22、xyoABxyoABx练习练习2： 在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设A 、B 沿沿 轴把直角坐标平面折成大小为轴把直角坐标平面折成大小为 的二面的二面角后，角后， 则则 的值为的值为) 3 , 2()2, 3( 24ABxyoABxyoAB练习练习2： 在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设A 、B 沿沿 轴把直角坐标平面折成大小为轴把直角坐标平面折成大小为 的二面的二面角后，角后， 则则 的值为的值为) 3 , 2()2, 3( 24ABxxyoABxoyAB练习练习2： 在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设A 、B 沿沿 轴把直角坐标平面折成大小为轴把直角坐标平面折成大小为 的二面的二面
23、角后，角后， 则则 的值为的值为) 3 , 2()2, 3( 24ABxxyoAByABxo练习练习2： 在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设A 、B 沿沿 轴把直角坐标平面折成大小为轴把直角坐标平面折成大小为 的二面的二面角后，角后， 则则 的值为的值为) 3 , 2()2, 3( 24ABxxyoABAByxo练习练习2： 在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设A 、B 沿沿 轴把直角坐标平面折成大小为轴把直角坐标平面折成大小为 的二面的二面角后，角后， 则则 的值为的值为) 3 , 2()2, 3( 24ABxxyoAByxoAB练习练习2： 在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设A 、B
24、沿沿 轴把直角坐标平面折成大小为轴把直角坐标平面折成大小为 的二面的二面角后，角后， 则则 的值为的值为) 3 , 2()2, 3( 24ABxCB60三、课堂练习三、课堂练习：1 1、已知正方形、已知正方形ABCDABCD中，中，E E为为ABAB中点，沿中点，沿DEDE、ECEC把正方形折成把正方形折成 四面体，此时四面体，此时A A、B B重合为点重合为点P P，求面，求面PCDPCD与面与面ECDECD所成的二所成的二 面角的大小。面角的大小。ECDP(A,B)EABCD二面角的求法1、如图，、如图，AB是圆的直径，是圆的直径，PA垂垂直圆所在的平面，直圆所在的平面，C是圆上任一是圆上
25、任一点，则二面角点，则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是都不是 练练 习习2、已知、已知P为二面角为二面角 内一内一点，且点，且P到两个半平面的距离都等到两个半平面的距离都等于于P到棱的距离的一半，则这个二到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？面角的度数是多少？pABOABCP60lABClABClAB课后小结课后小结1、先作出二面角的平面角，再求值、先作出二面角的平面角，再求值棱上一点棱上一点面上一点面上一点空间一点空间一点2、公式法、公式法斜面面积射影面积SScos（ 二面角的大小）二面角的大小）直接直接法法简接法简接法cos2222mnnmd
26、EF 如图，正方体如图，正方体 中，其边中，其边长为长为 ，E为为 的中点、的中点、F为为 的中点，求的中点，求平面平面EFB与面与面ABCD所成二面角的正切值。所成二面角的正切值。 变题变题3：1111DCBAABCD a11CB1AAABCD1A1B1C1DEF课后思题课后思题1：已知已知RtABC在平面在平面 内，斜边内，斜边AB在在30的二面角的二面角 - -AB- - 的棱的棱上上, ,若若AC=5，BC=12, ,求点求点C 到平面到平面 的距离的距离CO。 AC BOD2：在平面四边形：在平面四边形ABCD中，中，AB=BC=2, ,AD=CD= , , B=120；将三角形；将三角形ABC沿四边形沿四边形ABCD的对角线的对角线AC折起折起来，来， 使使DB= ，求，求ABC所在平面与所在平面与ADC所在平面所在平面所成二面角的平面角的度数。所成二面角的平面角的度数。157ABC BDO ODC BOB
