1、 2018 年湖北省襄阳市中考数学试卷年湖北省襄阳市中考数学试卷(解析版解析版) 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2 的相反数为（ ） A2 B C2 D 【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，2 的相反 数为 2 【解答】解：与2 符号相反的数是 2， 所以，数2 的相反数为 2 故选：A 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“” 号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0 2 （3 分）
2、近几年，襄阳市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2017 年 GDP 突破 4000 亿元大关，4000 亿这个数用科学记数法表示为（ ） A4 1012 B4 1011 C0.4 1012 D40 1011 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：4000 亿=4 1011， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形 式，其中 1|a
3、|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分）如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若1=50 ， 则2 的度数为（ ） A55 B50 C45 D40 【分析】利用平行线的性质求出3 即可解决问题； 【解答】解： 1=3=50 ，2+3=90 ， 2=90 3=40 ， 故选：D 【点评】本题考查平行线的性质，三角板的性质等知识，解题的关键是灵活运用 所学知识解决问题 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2=2a4 Ba6 a2=a3 C （a3）2=a6 D （ab）2=ab2 【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果
4、作为系数，字母 和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一 个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、a2+a2=2a2，故 A 错误； B、a6 a2=a4，故 B 错误； C、 （a3）2=a6，故 C 正确； D、 （ab）2=a2b2，故 D 错误 故选：C 【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握运算性质 和法则是解题的关键 5 （3 分）不等式组的解集为（ ） Ax Bx1 Cx1 D空集 【分析】 首先解每个不等式， 两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2x
5、1x，得：x， 解不等式 x+24x1，得：x1， 则不等式组的解集为 x1， 故选：B 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小 小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 6 （3 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A B C D 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形 状 【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可 判断出这个几何体应该是三棱柱 故选：C 【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体主视图和左视图的大致轮廓为长 方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱 7
6、 （3 分）如图，在 ABC 中，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于AC 长为半径 画弧， 两弧相交于点 M， N， 作直线 MN 分别交 BC， AC 于点 D， E 若 AE=3cm， ABD 的周长为 13cm，则 ABC 的周长为（ ） A16cm B19cm C22cm D25cm 【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题 【解答】解：DE 垂直平分线段 AC， DA=DC，AE=EC=6cm， AB+AD+BD=13cm， AB+BD+DC=13cm， ABC 的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm， 故选：B 【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性
7、质等知识，解题的关 键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型 8 （3 分）下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ） A任意画一个四边形，其内角和为 180 B经过任意点画一条直线 C任意画一个菱形，是屮心对称图形 D过平面内任意三点画一个圆 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可 【解答】解：A、任意画一个四边形，其内角和为 180 是不可能事件； B、经过任意点画一条直线是必然事件； C、任意画一个菱形，是屮心对称图形是必然事件； D、过平面内任意三点画一个圆是随机事件； 故选：D 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在 一定条件下
8、，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事 件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 9 （3 分）已知二次函数 y=x2x+m1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范 围是（ ） Am5 Bm2 Cm5 Dm2 【分析】根据已知抛物线与 x 轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可 【解答】解：二次函数 y=x2x+ m1 的图象与 x 轴有交点， =（1）24 1 （m1）0， 解得：m5， 故选：A 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，能根据题意得出关于 m 的不等式是 解此题的关键 10（3 分） 如图， 点 A， B， C， D
9、都在半径为 2 的O 上， 若 OABC， CDA=30 ， 则弦 BC 的长为（ ） A4 B2 C D2 【分析】根据垂径定理得到 CH=BH，=，根据圆周角定理求出AOB，根 据正弦的定义求出 BH，计算即可 【解答】解：OABC， CH=BH，=， AOB=2CDA=60 ， BH=OBsinAOB=， BC=2BH=2， 故选：D 【点评】 本题考查的是垂径定理、 圆周角定理， 掌握垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧是解题的关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）计算：|1|= 1 【分析
10、】根据负数的绝对值等于它的相反数解答 【解答】解：|=1 故答案为：1 【点评】本题考查了实数的性质，是基础题，主要利用了绝对值的性质 12 （3 分）计算的结果是 【分析】根据同分母分式加减运算法则计算即可，最后要注意将结果化为最简分 式 【解答】解：原式= = =， 故答案为： 【点评】本题考查了分式的加减，归纳提炼：分式的加减运算中，如果是同分母 分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通 分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减 13 （3 分）我国古代数学著作九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题， 译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出 8 元
11、，则多 3 元；每人出 7 元， 则差 4 元问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是 53 元 【分析】设该商品的价格是 x 元，共同购买该物品的有 y 人，根据“每人出 8 元， 则多 3 元；每人出 7 元，则差 4 元”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解 之即可得出结论 【解答】解：设该商品的价格是 x 元，共同购买该物品的有 y 人， 根据题意得：， 解得： 故答案为：53 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次 方程组是解题的关键 14 （3 分）一组数据 3，2，3，4，x 的平均数是 3，则它的方差是 0.4 【分析】由于数据 2、3
12、、3、4、x 的平均数是 3，由此利用平均数的计算公式可 以求出 x，然后利用方差的计算公式即可求解 【解答】解：数据 2、3、3、4、x 的平均数是 3， 2+3+3+4+x=3 5， x=3， S2= （33）2+（23）2+（33）2+（43）2+（33）2=0.4 故答案为：0.4 【点评】此题主要考查了平均数和方差的计算，解题的关键是熟练掌握平均数和 方差的计算公式 15 （3 分）已知 CD 是 ABC 的边 AB 上的高，若 CD=，AD=1，AB=2AC， 则 BC 的长为 2或 2 【分析】分两种情况： 当 ABC 是锐角三角形，如图 1， 当 ABC 是钝角三角形，如图 2
13、， 分别根据勾股定理计算 AC 和 BC 即可 【解答】解：分两种情况： 当 ABC 是锐角三角形，如图 1， CDAB， CDA=90 ， CD=，AD=1， AC=2， AB=2AC， AB=4， BD=41=3， BC=2； 当 ABC 是钝角三角形，如图 2， 同理得：AC=2，AB=4， BC=2； 综上所述，BC 的长为 2或 2 故答案为：2或 2 【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股 定理计算线段的长，要熟练掌握 16 （3 分）如图，将面积为 32的矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 A 的对 应点为点 P，连接 AP 交 BC 于点
14、E若 BE=，则 AP 的长为 【分析】设 AB=a，AD=b，则 ab=32，构建方程组求出 a、b 即可解决问题； 【解答】解：设 AB=a，AD=b，则 ab=32， 由 ABEDAB 可得：=， b=a2， a3=64， a=4，b=8， 设 PA 交 BD 于 O 在 Rt ABD 中，BD=12， OP=OA=， AP= 故答案为 【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 9 题，题，72 分）分） 17 （6 分） 先化简， 再求值： （x+y） （xy） +y （x+2y） （x
15、y） 2， 其中 x=2+ ， y=2 【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式 子，再将 x、y 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （x+y） （xy）+y（x+2y）（xy）2 =x2y2+xy+2y2x2+2xyy2 =3xy， 当 x=2+，y=2时，原式=3 （2+） （2）=3 【点评】本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式的化 简求值的计算方法 18 （6 分）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘 快艇到汉江水域考察水情，以每秒 10 米的速度沿平行于岸边的赛道 AB 由西向 东行驶在 A 处测得
16、岸边一建筑物 P 在北偏东 30 方向上，继续行驶 40 秒到达 B 处时，测得建筑物 P 在北偏西 60 方向上，如图所示，求建筑物 P 到赛道 AB 的距离（结果保留根号） 【分析】作 PCAB 于 C，构造出 Rt PAC 与 Rt PBC，求出 AB 的长度，利 用特殊角的三角函数值求解 【解答】解：过 P 点作 PCAB 于 C，由题意可知：PAC=60 ，PBC=30 ， 在 Rt PAC 中，AC=PC， 在 Rt PBC 中，BC=PC， AB=AC+BC=， PC=100， 答：建筑物 P 到赛道 AB 的距离为 100米 【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键
17、是构造出两个特殊角 度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答 19 （6 分）“品中华诗词，寻文化基因”某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将 该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后， 绘制了如下不完整的频数分布统计表与 频数分布直方图 频数分布统计表 组别 成绩 x（分） 人数 百分比 A 60x70 8 20% B 70x80 16 m% C 80x90 a 30% D 90x100 4 10% 请观察图表，解答下列问题： （1）表中 a= 12 ，m= 40 ； （2）补全频数分布直方图； （3）D 组的 4 名学生中，有 1 名男生和 3 名女生现从中随机抽取 2 名学生参 加市级竞赛，
18、则抽取的 2 名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 【分析】 （1）先由 A 组人数及其百分比求得总人数，总人数乘以 C 的百分比可 得 a 的值，用 B 组人数除以总人数可得 m 的值； （2）根据（1）中所求结果可补全图形； （3）列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得 【解答】解： （1）被调查的总人数为 8 20%=40 人， a=40 30%=12，m%= 100%=40%，即 m=40， 故答案为：12、40； （2）补全图形如下： （3）列表如下： 男 女 1 女 2 女 3 男 （女，男） （女，男） （女，男） 女 1 （男，女） （女，女） （女，女） 女 2 （男，
19、女） （女，女） （女，女） 女 3 （男，女） （女，女） （女，女） 共有 12 种等可能的结果，选中 1 名男生和 1 名女生结果的有 6 种 抽取的 2 名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为=， 故答案为： 【点评】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找 出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统 计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率 20 （6 分）正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动 车行驶的路程相等，约为 325 千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的 2.5 倍，则从
20、襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少 1.5 小时求高铁的速度 【分析】设高铁的速度为 x 千米/小时，则动车速度为 0.4x 千米/小时，根据题意 列出方程，求出方程的解即可 【解答】解：设高铁的速度为 x 千米/小时，则动车速度为 0.4x 千米/小时， 根据题意得：=1.5， 解得：x=325， 经检验 x=325 是分式方程的解，且符合题意， 则高铁的速度是 325 千米/小时 【点评】此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键 21 （7 分）如图，已知双曲线 y1=与直线 y2=ax+b 交于点 A（4，1）和点 B （m，4） （1）求双曲线和直线的解析式； （2）
21、直接写出线段 AB 的长和 y1y2时 x 的取值范围 【分析】 （1）先把 A 点坐标代入 y1=中求出 k 得到反比例函数的解析式为 y1= ，再把 B（m，4）代入 y1=中求出 m 得到 B（1，4） ，然后利用待 定系数法求直线解析式； （2）利用两点间的距离公式计算 AB 的长；利用函数图象，写出反比例函数图 象在直线上方所对应的自变量的范围得到 y1y2时 x 的取值范围 【解答】解： （1）把 A（4，1）代入 y1=得 k=4 1=4， 反比例函数的解析式为 y1=， 把 B（m，4）代入 y1=得4m=4，解得 m=1，则 B（1，4） ， 把 A（4，1） ，B（1，4）
22、代入 y2=ax+b 得，解得， 直线解析式为 y2=x3； （2）AB=5， 当4x0 或 x1 时，y1y2 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函 数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交 点，方程组无解，则两者无交点 22 （8 分）如图，AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线，E 为O 上一点，过点 E 作直线 DC 分别交 AM，BN 于点 D，C，且 CB=CE （1）求证：DA=DE； （2）若 AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积 【分析】 （1）连接 OE推知 CD 为O 的切线，即可证明 DA
23、=DE； （2）利用分割法求得阴影部分的面积 【解答】解： （1）证明：连接 OE、OC OB=OE， OBE=OEB BC=EC， CBE=CEB， OBC=OEC BC 为O 的切线， OEC=OBC=90 ； OE 为半径， CD 为O 的切线， AD 切O 于点 A， DA=DE； （2）如图，过点 D 作 DFBC 于点 F，则四边形 ABFD 是矩形， AD=BF，DF=AB=6， DC=BC+AD=4 BC=2， BCAD=2， BC=3 在直角 OBC 中，tanBOE=， BOC=60 在 OEC 与 OBC 中， ， OECOBC（SSS） ， BOE=2BOC=120 S
24、阴影部分=S四边形BCEOS扇形OBE=2 BCOB=93 【点评】本题考查了切线的判定与性质：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，运用全等三角形的判定与性质进行计算 23 （10 分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段贫困户张大爷在某单位的帮 扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售在销售的 30 天中，第一天卖出 20 千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前 一天多卖出 4 千克第 x 天的售价为 y 元/千克，y 关于 x 的函数解析式为 且第 12 天的售价为 32 元/千克， 第 26 天的售价 为 25 元/千克已知种植销售蓝莓的成木是 18 元
25、/千克，每天的利润是 W 元（利 润=销售收入成本） （1）m= ，n= 25 ； （2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ （3）在销售蓝莓的 30 天中，当大利润不低于 870 元的共有多少天？ 【分析】 （1）根据题意将相关数值代入即可； （2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值； （3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于 870 的天数，注意天 数为正整数 【解答】解： （1）当第 12 天的售价为 32 元/件，代入 y=mx76m 得 32=12m76m 解得 m= 当第 26 天的售价为 25 元/千克时，代入 y=n 则 n=25 故答案为：
26、m=，n=25 （2）由（1）第 x 天的销售量为 20+4（x1）=4x+16 当 1x20 时 W=（4x+16） （x+3818）=2x2+72x+320=2（x18）2+968 当 x=18 时，W最大=968 当 20x30 时，W=（4x+16） （2518）=28x+112 280 W 随 x 的增大而增大 当 x=30 时，W最大=952 968952 当 x=18 时，W最大=968 （3）当 1x20 时，令2x2+72x+320=870 解得 x1=25，x2=11 抛物线 W=2x2+72x+320 的开口向下 11x25 时，W870 11x20 x 为正整数 有 9
27、 天利润不低于 870 元 当 20x30 时，令 28x+112870 解得 x27 27x30 x 为正整数 有 3 天利润不低于 870 元 综上所述，当天利润不低于 870 元的天数共有 12 天 【点评】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，应用了分类讨论的数学思 想 24 （10 分）如图（1） ，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC， 垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F （1）证明与推断： 求证：四边形 CEGF 是正方形； 推断：的值为 ： （2）探究与证明： 将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（0 45 ） ，如图（2）所示，试 探究
28、线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用： 正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示， 延长 CG 交 AD 于点 H若 AG=6，GH=2，则 BC= 3 【分析】 （1） 由 GEBC、 GFCD 结合BCD=90 可得四边形 CEGF 是矩形， 再由ECG=45 即可得证；由正方形性质知CEG=B=90 、ECG=45 ， 据此可得=、GEAB，利用平行线分线段成比例定理可得； （2）连接 CG，只需证 ACGBCE 即可得； （3） 证 AHGCHA 得=， 设BC=CD=AD=a， 知AC=a， 由= 得 AH=a
29、、DH=a、CH=a，由=可得 a 的值 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， BCD=90 ，BCA=45 ， GEBC、GFCD， CEG=CFG=ECF=90 ， 四边形 CEGF 是矩形，CGE=ECG=45 ， EG=EC， 四边形 CEGF 是正方形； 由知四边形 CEGF 是正方形， CEG=B=90 ，ECG=45 ， =，GEAB， =， 故答案为：； （2）连接 CG， 由旋转性质知BCE=ACG=， 在 Rt CEG 和 Rt CBA 中， =cos45 =、=cos45 =， =， ACGBCE， =， 线段 AG 与 BE 之间的数量关系为 AG=BE；
30、（3）CEF=45 ，点 B、E、F 三点共线， BEC=135 ， ACGBCE， AGC=BEC=135 ， AGH=CAH=45 ， CHA=AHG， AHGCHA， =， 设 BC=CD=AD=a，则 AC=a， 则由=得=， AH=a， 则 DH=ADAH=a，CH=a， =得=， 解得：a=3，即 BC=3， 故答案为：3 【点评】 本题主要考查相似形的综合题， 解题的关键是掌握正方形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质等知识点 25 （13 分）直线 y=x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，顶点为 D 的抛物线 y=x2+2mx3m 经过点 A，交 x 轴于另一点
31、C，连接 BD，AD，CD，如图所 示 （1）直接写出抛物线的解析式和点 A，C，D 的坐标； （2）动点 P 在 BD 上以每秒 2 个单位长的速度由点 B 向点 D 运动，同时动点 Q 在 CA 上以每秒 3 个单位长的速度由点 C 向点 A 运动，当其中一个点到达终点 停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒PQ 交线段 AD 于 点 E 当DPE=CAD 时，求 t 的值； 过点 E 作 EMBD，垂足为点 M，过点 P 作 PNBD 交线段 AB 或 AD 于点 N，当 PN=EM 时，求 t 的值 【分析】 （1）先由直线解析式求得点 A、B 坐标，将点 A 坐标代
32、入抛物线解析 式求得 m 的值，从而得出答案； （2）由（1）知 BD=AC、BDOC，根据 AB=AD=证四边形 ABPQ 是平 行四边形得 AQ=BP，即 2t=43t，解之即可；分点 N 在 AB 上和点 N 在 AD 上两种情况分别求解 【解答】解： （1）在 y=x+3 中，令 x=0 得 y=3，令 y=0 得 x=2， 点 A（2，0） 、点 B（0，3） ， 将点 A（2，0）代入抛物线解析式，得： 4+4m3m=0， 解得：m=3， 所以抛物线解析式为 y=x2+6x9， y=x2+6x9=（x4）2+3， 点 D（4，3） ，对称轴为 x=4， 点 C 坐标为（6，0） ；
33、 （2）如图 1， 由（1）知 BD=AC=4， 根据 03t4，得：0t， B（0，3） 、D（4，3） ， BDOC， CAD=ADB， DPE=CAD， DPE=ADB， AB=、AD=， AB=AD， ABD=ADB， DPE=ABD， PQAB， 四边形 ABPQ 是平行四边形， AQ=BP，即 2t=43t， 解得：t=， 即当DPE=CAD 时，t=秒； （）当点 N 在 AB 上时，02t2，即 0t1， 连接 NE，延长 PN 交 x 轴于点 F，延长 ME 交 x 轴于点 H， PNBD、EMBD，BDOC，PN=EM， OF=BP=2t，PF=OB=3，NE=FH、NF=
34、EH，NEFQ， FQ=OCOFQC=65t， 点 N 在直线 y=x+3 上， 点 N 的坐标为（2t，3t+3） ， PN=PFNF=3（3t+3）=3t， NEFQ， PNEPFQ， =， FH=NE=FQ= （65t）=6t5t2， A（2，0） 、D（4，3） ， 直线 AD 解析式为 y=x3， 点 E 在直线 y=x3 上， 点 E 的坐标为（42t，3t+3） ， OH=OF+FH， 42t=2t+6t5t2， 解得：t=1+1（舍）或 t=1； （）当点 N 在 AD 上时，22t4，即 1t， PN=EM， 点 E、N 重合，此时 PQBD， BP=OQ， 2t=63t， 解得：t=， 综上所述，当 PN=EM 时，t=（1）秒或 t=秒 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二 次函数的解析式、 平行四边形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质等知识点
