1、第第 6 节节 数学归纳法数学归纳法 最新考纲 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命 题 知 识 梳 理 1数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设 nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当 nk1 时命题也成 立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立 2数学归纳法的框图表示 常用结论与微点提醒 1数学归纳法证题时初始值 n0不一定是 1. 2推证 nk1 时一定要用上 nk 时的假设，否则不是数学归纳法 诊 断
2、 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)用数学归纳法证明等式“12222n 22n31”，验证 n1 时，左 边式子应为 122223.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用( ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 nk 到 nk1 时，项数 都增加了一项( ) 解析 对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假 设；对于(4)，由 nk 到 nk1，有可能增加不止一项 答案 (1) (2) (3) (4) 2(选修 22P99B1 改编)在应用数学归纳法证明凸
3、 n 边形的对角线为1 2n(n3) 条时，第一步检验 n 等于( ) A1 B2 C3 D4 解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验 n3. 答案 C 3已知 f(n)1 n 1 n1 1 n2 1 n2，则( ) Af(n)中共有 n 项，当 n2 时，f(2)1 2 1 3 Bf(n)中共有 n1 项，当 n2 时，f(2)1 2 1 3 1 4 Cf(n)中共有 n2n 项，当 n2 时，f(2)1 2 1 3 Df(n)中共有 n2n1 项，当 n2 时，f(2)1 2 1 3 1 4 解析 f(n)共有 n2n1 项，当 n2 时，1 n 1 2， 1 n2 1 4，故
4、f(2) 1 2 1 3 1 4. 答案 D 4(2018 台州月考)用数学归纳法证明 11 2 1 3 1 2n11)， 第一步要证的不等式是_ 解析 当 n2 时，式子为 11 2 1 3 n1成立 (1)解 由题意，Snbnr， 当 n2 时，Sn1bn 1r， 所以 anSnSn1bn 1(b1)， 由于 b0，且 b1，所以 n2 时，an是以 b 为公比的等比数列，又 a1br， a2b(b1)，a2 a1b，即 b（b1） br b，解得 r1. (2) 证 明 由 (1) 知 an 2n 1 ， 因 此 bn 2n(nN*) ， 所 证 不 等 式 为 21 2 41 4 2n
5、1 2n n1. 当 n1 时，左式3 2，右式 2， 左式右式，所以结论成立 假设 nk 时结论成立，即21 2 41 4 2k1 2k k1， 则当 nk1 时，21 2 41 4 2k1 2k 2k3 2（k1） k1 2k3 2（k1） 2k3 2k1， 要证当 nk1 时结论成立， 只需证 2k3 2k1 k2， 即证2k3 2 （k1）（k2）， 由基本不等式可得 2k3 2 （k1）（k2） 2 （k1）（k2）成立， 故 2k3 2k1 k2成立，所以当 nk1 时，结论成立 由可知，nN*时， 不等式b 11 b1 b21 b2 bn1 bn n1成立 规律方法 应用数学归纳
6、法证明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑 应用数学归纳法 (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 nk 成立，推证 nk1 时也成立，证 明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构 造函数法等证明方法 【训练 2】 (2018 宁波十校适应性考试)已知数列an(nN*)，满足 a11，2an 11 2an 1 3an. (1)求证：2 32 3，结论成立， 假设 nk 时，结论成立，即 ak12 3， 则 nk1 时，2ak21 2ak1 1 3ak1 1 31 4 3， ak22 3，即 nk1 时，
7、结论成立， an12 3，an1an 3 4an 1 2 1 3an 3 4 1 3an 1 3 2 1 30) 当 n2 时，由已知得 a1a2a2 2 1 a21， 将 a1 31 代入并整理得 a222 3a220. a2 5 3(a20)同理可得 a3 7 5. 猜想 an 2n1 2n1(nN*) (2)证明 由(1)知，当 n1，2，3 时，通项公式成立 假设当 nk(k3，kN*)时，通项公式成立， 即 ak 2k1 2k1. 由于 ak1Sk1Ska k1 2 1 ak1 ak 2 1 ak， 将 ak 2k1 2k1代入上式，整理得 a2k12 2k1ak120， ak1 2
8、k3 2k1， 即 nk1 时通项公式成立 由可知对所有 nN*，an 2n1 2n1都成立 规律方法 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在性问 题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻 辑推理论证结论的正确性 (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明” 高中阶段 与数列结合的问题是最常见的问题 【训练 3】 设函数 f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中 f(x)是 f(x)的导函数 (1)令 g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求 gn(x)的表达式； (2)若 f(x)ag(x)恒成立，求实
9、数 a 的取值范围； (3)设 nN*，猜想 g(1)g(2)g(n)与 nf(n)的大小，并加以证明 解 由题设得，g(x) x 1x(x0) (1)由已知，g1(x) x 1x，g2(x)g(g1(x) x 1x 1 x 1x x 12x，g3(x) x 13x， 可猜想 gn(x) x 1nx. 下面用数学归纳法证明 当 n1 时，g1(x) x 1x，结论成立 假设 nk 时结论成立，即 gk(x) x 1kx. 那么，当 nk1 时，gk1(x)g(gk(x) gk（x） 1gk（x） x 1kx 1 x 1kx x 1（k1）x，即结论成立 由可知，结论对 nN*成立 (2)已知
10、f(x)ag(x)恒成立，即 ln(1x) ax 1x恒成立 设 (x)ln(1x) ax 1x(x0)， 则 (x) 1 1x a （1x）2 x1a （1x）2， 当 a1 时，(x)0(仅当 x0，a1 时等号成立)， (x)在0，)上单调递增 又 (0)0， (x)0 在0，)上恒成立， a1 时，ln(1x) ax 1x恒成立(仅当 x0 时等号成立) 当 a1 时，对 x(0，a1有 (x)0， (x)在(0，a1上单调递减， (a1)1 时，存在 x0，使 (x)nln(n1) 证明如下：上述不等式等价于1 2 1 3 1 n1 x 1x，x0. 令 x1 n，nN *，则 1 n1n27 2 54 . 证明 (1)因为 an0， 且 2a2n12a2nan12a2n(1an)(12an)， 故要证 an1an，只需要证明 an1 272 54 ； 当 n2 时，Sn i2 n 12 2 9 4i 1 2n 1 2 22 9 4 3 1 16 1 1 4n 1n27 2 54 . 综上所述，Snn27 2 54 .
