1、第第 2 讲讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用基本初等函数、函数与方程及函数的应用 高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性 质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理； 3.能利用函数解决简单的实际问题. 真 题 感 悟 1.(2017 全国卷)设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则( ) A.2x0， 2x3y. 又2x5z2lg t lg 2 5lg t lg 5 lg t（2lg 55lg 2） lg 2lg 5 lg t（lg 25lg 32） lg 2lg 5 0，N0). 2.指数函数与对数函数的图象和性质
2、指数函数 yax(a0，a1)与对数函数 ylogax(a0，a1)的图象和性质，分 01 时，两函数在定义域内都为增函数，当 01，则 ylogax 在(0，)上是增函数， 又函数 yloga|x|的图象关于 y 轴对称. 因此 yloga|x|的图象应大致为选项 B. (2)若 f(x)具有性质 M，则exf(x)exf(x)f(x)0 在 f(x)的定义域上恒成立，即 f(x)f(x)0 在 f(x)的定义域上恒成立. 对于选项 A，f(x)f(x)2 x2xln 22x(1ln 2)0，符合题意. 经验证，选项 B，C，D 均不符合题意. 答案 (1)B (2)A 探究提高 1.指数函
3、数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响，解决与指数、 对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数 a 的范围. 2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求 f(x)ln(x23x2) 的单调区间， 只考虑 tx23x2 与函数 yln t 的单调性， 忽视 t0 的限制条件. 【训练 1】 (1)(2017 淄博诊断)已知函数 f(x) sin 2 e x x (e 为自然对数的底数)， 当 x，时，yf(x)的图象大致是( ) (2)(2017 成都冲刺)设函数 f(x) 3 4x 5 4，x0， g（1）0， 解得1 40)的交点个数为 2 即可. 当直线 ykx1
4、 与 yln x 的图象相切时，设切点为(m，ln m)， 又 yln x 的导数为 y1 x， 则 km1ln m，k 1 m，解得 m1，k1， 可得函数 yln x(x0)的图象过(0，1)点的切线的斜率为 1， 结合图象可知 k(0，1)时两函数图象有两个交点. 答案 (1)B (2)B 探究提高 1.第(1)题主要是利用函数的奇偶性、单调性转化为二次方程根的分 布，结合二次函数的图象求解.第(2)小题求解的关键是利用新定义，根据函数图 象的对称性，转化为方程 ln xkx1(x0)有解，进而转化为图象的交点问题. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题， 关键是利用函数
5、方程 思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解. 【训练 2】 (2017 石家庄调研)已知函数 f(x)sin 2 x(x20 13. 两边取对数，得 n lg1.12lg 2lg 1.3， nlg 2lg 1.3 lg 1.12 0.300.11 0.05 19 5 ，n4， 从 2019 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元. 答案 B (2)解 当 x0 时，C8，k40， C(x) 40 3x5(0x10)， f(x)6x2040 3x5 6x 800 3x5(0x10). 由得 f(x)2(3x5) 800 3x510. 令 3x5t，t5，35， 则 y2
6、t800 t 10，y2800 t2 ， 当 5t0，且 a1)的取值影响，解题时 一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约. 2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与 x 轴交点的横 坐标. (2)零点存在性定理注意两点： 满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点. 3.利用函数的零点求参数范围的主要方法： (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法： (1)构建二次
7、函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解. (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法. (3)构建 f(x)xa x(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解. 一、选择题 1.(2017 北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观 测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与M N最接近的是( ) (参考数据：lg 30.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 解析 M3361，N1080，M N 3361 1080， 则 lgM Nlg 3361 1080lg 3 361lg1080361lg 3
8、8093.M N10 93. 答案 D 2.(2017 长郡中学二模)函数 f(x)ln xex(e 为自然对数的底数)的零点所在的区 间是( ) A. 0，1 e B. 1 e，1 C.(1，e) D.(e，) 解析 函数 f(x)ln xex在(0，)上单调递增，因此函数 f(x)最多只有一个零 点. 当 x0 时，f(x)；又 f 1 e ln1 ee 1 ee 1 e10， 函数 f(x)ln xex(e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是 0，1 e . 答案 A 3.(2017 西安调研)若函数 f(x)a|2x 4|(a0，且 a1)，满足 f(1)1 9，则 f(x)的单调
9、递减区间是( ) A.(，2 B.2，) C.2，) D.(，2 解析 由 f(1)1 9，得 a 21 9，解得 a 1 3或 a 1 3(舍去)，即 f(x) 1 3 |2x4| .由于 y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以 f(x)在(，2上递增， 在2，)上递减. 答案 B 4.(2017 合肥二模)已知函数 f(x) x 24x，x2， log2xa，x2， 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( ) A.1，0) B.(1，2 C.(1，) D.(2，) 解析 当 x2 时，由x24x0，得 x0. 当 x2 时，令 f(x)log2xa0，得 x2a， 又函数
10、f(x)有两个不同零点， 2a0 且 2a2，解得 a1. 答案 C 5.(2017 德阳一诊)将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中， t min 后甲桶中剩余的水 量符合指数衰减曲线 yaent.假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中的水只有a 4 L，则 m 的值为( ) A.5 B.8 C.9 D.10 解析 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， 函数 yf(t)aent满足 f(5)ae5n1 2a， 可得 n1 5ln 1 2，f(t)a 1 2 t 5， 因此，当 k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时， f(k)a 1 2 k 51 4a，即
11、 1 2 k 51 4， k10，由题可知 mk55. 答案 A 二、填空题 6.(2016 浙江卷)已知 ab1，若 logablogba5 2，a bba，则 a_，b _. 解析 设 logbat， 则 t1， 因为 t1 t 5 2， 解得 t2， 所以 ab 2， 因此 ab(b2)b b2bba，a2b，b22b，又 b1，解得 b2，a4. 答案 4 2 7.(2017 湖北七校联考)已知 f(x)是奇函数且是 R 上的单调函数，若函数 yf(2x2 1)f(x)只有一个零点，则实数 的值是_. 解析 令 yf(2x21)f(x)0，则 f(2x21)f(x)f(x)，因为 f(
12、x) 是 R 上的单调函数，所以 2x21x，只有一个实根，即 2x2x10 只 有一个实根，则 18(1)0，解得 7 8. 答案 7 8 8.(2017 北京燕博园研究中心)函数 f(x) ln（x1），xt1)且 t1 1，t21，当 t10 对任意 xR 都成立， f(x)在 R 上是增函数. 又f(x)的定义域为 R，且 f(x)e xexf(x)， f(x)是奇函数. (2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数， 则f(xt)f(x2t2)0对一切xR 都成立， f(x2t2)f(tx)对一切 xR 都成立， x2t2tx 对一切 xR 都成立， t2tx2x x1 2
13、2 1 4对一切 xR 都成立， t2t(x2x)min1 4t 2t1 4 t1 2 2 0， 又 t1 2 2 0， t1 2 2 0，t1 2. 存在 t1 2，使不等式 f(xt)f(x 2t2)0 对一切 xR 都成立. 10.(2017 山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙， 研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度 v(单位： m/s)与其耗氧量 Q 之间 的关系为 vablog3 Q 10(其中 a，b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量 为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s. (1)求出 a，b 的值；
14、(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个 单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，故有 ablog330 100， 即 ab0； 当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s，故有 ablog390 101，整理得 a2b1. 解方程组 ab0， a2b1，得 a1， b1. (2)由(1)知，v1log3 Q 10. 所以要使飞行速度不低于 2 m/s，则有 v2，即1log3 Q 102，即 log3 Q 103， 解得 Q270. 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，
15、则其耗氧量至少要 270 个单位. 11.(2017 山东卷改编)已知当 x0，1时，函数 y(mx1)2的图象与 y xm 的图象有且只有一个交点，求正实数 m 的取值范围. 解 y(mx1)2m2 x 1 m 2 ，相当于 yx2向右平移 1 m个单位，再将函数值放大 m2倍得到的； y xm 相当于 y x向上平移 m 个单位. 若 0m1，两函数的图象如图 1 所示，可知两函数在 x0，1上有且只有 1 个交点，符合题意. 若 m1，两函数的大致图象如图 2 所示. 为使两函数在 x0，1上有且只有 1 个交点，只需(m1)21m，得 m3 或 m0(舍去). 综上，正实数 m 的取值范围是(0，13，).
