1、 1 第五节第五节 两角和与差的正弦、两角和与差的正弦、 余弦和正切公式余弦和正切公式 【最新考纲】【最新考纲】 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2. 会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切公式会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切公式.3.会用两角差会用两角差 的余弦公式推的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、 余弦、正切公式余弦、正切公式，了解它们的内在联系，了解它们的内在联系.4.能利用两角和能利用两角和(差差)、二倍角、二倍角 公式进行简单的三角恒等变
2、换公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角包括导出积化和差、和差化积、半角 公式公式，但不要求记忆但不要求记忆) 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin()sin_cos_cos_sin_； (2)cos()cos_cos_ sin_sin_； (3)tan()tan tan 1 tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 22sin cos ； (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2； (3)tan 2 2tan 1tan2 3有关公式的变形和逆用有关公式的变形和逆用
3、 2 (1)公式公式 T( )的变形：的变形： tan tan tan()(1tan_tan_)； tan tan tan()(1tan_tan_) (2)公式公式 C2 的变形：的变形： sin21 2(1 cos_2)； cos21 2(1 cos_2) (3)公式的逆用公式的逆用 1sin 2(sin cos )2； sin cos 2sin 4 . 4辅助角公式辅助角公式 sin bcos 2b2sin()(其中其中 tan b a) 1(质疑夯基质疑夯基)判断下列结论的正误判断下列结论的正误(正确的打正确的打“”“”，错误的错误的 打打“”“”) (1)存在实数存在实数， ， ， 使
4、等式使等式sin()sin sin 成立成立 ( ) (2)在锐角在锐角ABC 中中， sin Asin B 和和 cos Acos B 大小不确定大小不确定 ( ) (3)公式公式 tan() tan tan 1tan tan 可以变形为 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角且对任意角 ，都成立，都成立( ) 3 (4)公式公式 sin xbcos x 2b2sin(x)中中 的取值与的取值与 a， b 的的 值无关值无关( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2(2015 课标全国课标全国卷卷)sin 20cos 10cos 160sin 1
5、0 ( ) A 3 2 B. 3 2 C1 2 D.1 2 解析：解析：sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10 cos 20sin 10sin(2010)sin 301 2. 答案：答案：D 3(经典再现经典再现)已知已知 sin 22 3， ，则则 cos2( 4 )( ) A.1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 解析：解析：sin 22 3， ，cos2 4 1cos 2 2 2 1 sin 2 2 12 3 2 1 6. 答案：答案：A 4 (2015 重庆卷重庆卷)若若 tan 1 3， ， tan()1 2， ， 则则 tan ( )
6、 A.1 7 B. 1 6 C. 5 7 D. 5 6 解析：解析：tan tan() tan（）tan 1tan（） tan 4 1 2 1 3 11 2 1 3 1 7. 答案：答案：A 5若锐角若锐角 、 满足满足(1 3tan )(1 3tan )4，则则 _ 解析：解析：由由(1 3tan )(1 3tan )4， 可得可得 tan tan 1tan tan 3，即即 tan() 3. 又又 (0，)，所以所以 3 . 答案：答案： 3 一点注意一点注意 三角函数是定义域到值域的多对一的映射三角函数是定义域到值域的多对一的映射， 时刻关注角的范围是时刻关注角的范围是 防止增解的有效措
7、施防止增解的有效措施 两个技巧两个技巧 1拆角、拼角技巧：拆角、拼角技巧：2()()，()， 2 2 ， 2 2 2 . 2化简技巧：切化弦化简技巧：切化弦， “， “1”的代换等的代换等 三种变化三种变化 5 1变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系 2变名：尽可能减少函数名称变名：尽可能减少函数名称，其方法是其方法是“弦切互化弦切互化”、“升升 幂与降幂幂与降幂”等等 3变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等 一、选择题一、选择题 1若若 sin 2 3 3 ，则则 cos ( ) A2 3
8、 B1 3 C.1 3 D.2 3 解析：解析：cos 12sin2 2 12 3 3 2 1 3. 答案：答案：C 2.3 sin 70 2cos210 ( ) A.1 2 B. 2 2 C2 D. 3 2 解析：解析：原式原式 3sin 70 1 2（ （3cos 20） 2（ （3sin 70） 3sin 70 2. 答案：答案：C 3已知已知 sin cos 1 3， ，则则 sin2 4 ( ) A. 1 18 B. 17 18 C. 8 9 D. 2 9 6 解析：解析：由由 sin cos 1 3 得得 1sin 21 9， ，解得解得 sin 28 9， ， 所以所以 sin2
9、 4 1cos 2 2 2 1 sin 2 2 17 18. 答案：答案：B 4 已知已知 ，3 2 ， 且且 cos 4 5， ， 则则 tan 4 等于等于( ) A7 B.1 7 C 1 7 D 7 解析：解析：因因 ，3 2 ，且且 cos 4 5， ， 所以所以 sin 0，即即 sin 3 5， ，所以所以 tan 3 4. 所以所以 tan 4 1 tan 1tan 13 4 13 4 1 7. 答案：答案：B 5已知已知 sin 5 5 ，sin() 10 10 ，均为锐角均为锐角，则则 角角 等于等于( ) A.5 12 B. 3 C. 4 D. 6 解析：解析：，均为锐角均
10、为锐角， 2 2 . 又又 sin() 10 10 ，cos()3 10 10 . 7 又又 sin 5 5 ，cos 2 5 5 ， sin sin()sin cos()cos sin() 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 . 4 . 答案：答案：C 二、填空题二、填空题 6若若 sin 2 3 5， ，则则 cos 2_ 解析：解析：sin 2 cos 3 5， ， cos 22cos212 3 5 2 1 7 25. 答案答案： 7 25 7(2014 山东卷山东卷)函数函数 y 3 2 sin 2xcos2x 的最小正周期为的最小正周期为 _ 解析：解析：原式原式
11、 3 2 sin 2x1 cos 2x 2 sin 2x 6 1 2， ， 周期周期 T2 2 . 答案：答案： 8 (2014 课标全国课标全国卷卷)函数函数f(x)sin(x2)2sin cos(x) 的最大值为的最大值为_ 8 解析：解析：f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x) 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x )sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x， f(x)的最大值为的最大值为 1. 答案：答案：1 9 设函数设函数 f(x)sin xcos x， f(x)是是 f(x)的导数的导数， 若若
12、 f(x)2f(x)， 则则sin 2x sin 2x cos2x _ 解析：解析：f(x)cos xsin x，由由 f(x)2f(x)得得 sin xcos x2cos x2sin x，cos x3sin x， 于是于是sin 2x sin 2x cos2x sin 2x 2sin xcos x cos2x sin 2x 6sin2x 9sin2x 5 9. 答案：答案：5 9 三、解答题三、解答题 10已知已知 2 ， ，且且 sin 2 cos 2 6 2 . (1)求求 cos 的值；的值； (2)若若 sin()3 5， ， 2 ， ，求求 cos 的值的值 解：解：(1)因为因为
13、 sin 2 cos 2 6 2 ，两边同时平方两边同时平方，得得 9 sin 1 2.又 又 2 ，所以所以 cos 3 2 . (2)因为因为 2 ， 2 ， 所以所以 2 ，故故 2 2 . 又又 sin()3 5，得 ，得 cos()4 5. cos cos()cos cos()sin sin() 3 2 4 5 1 2 3 5 4 3 3 10 . 11(郑州质检郑州质检)已知函数已知函数 f(x) 1 2sin 2x 4 cos x . (1)求函数求函数 f(x)的定义域；的定义域； (2)设设 是第四象限的角是第四象限的角，且且 tan 4 3， ，求求 f()的值的值 解析：解析：(1)要使要使 f(x)有意义有意义，则需则需 cos x0， f(x)的定义域是的定义域是 x|xk 2 ，kZ . (2)f(x) 1 2 2 2 sin 2x 2 2 cos 2x cos x 1 cos 2xsin 2x cos x 2cos 2x 2sin xcos x cos x 2(cos xsin x) 由由 tan 4 3， ，得得 sin 4 3cos . 又又 sin2cos21，且且 是第四象限角是第四象限角， 10 cos2 9 25， ，则则 cos 3 5， ，sin 4 5. 故故 f()2(cos sin )2 3 5 4 5 14 5 .
