1、 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0 . (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是0 ，180 ) 2斜率公式 (1)若直线 l 的倾斜角 90 ，则斜率 ktan_. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1x2，则 l 的斜率 ky2y1 x2x1. 3直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 yy0k(xx0) 不含直线 xx0 斜截式 ykxb 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 yy1 y2y
2、1 xx1 x2x1 不含直线 xx1 (x1x2)和直线 yy1 (y1y2) 截距式 x a y b1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 AxByC0(A2B20) 平面直角坐标系内的直线都适用 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大( ) (4)直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 .( ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等( ) (6)经过任意两个不同的点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线
3、都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2 y1)表示( ) 1(2016 天津模拟)过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( ) A1 B4 C1 或 3 D1 或 4 答案 A 解析 依题意得 m4 2m1，解得 m1. 2直线 3xya0 的倾斜角为( ) A30 B60 C150 D120 答案 B 解析 化直线方程为 y 3xa，ktan 3. 0 0，故直线 经过第一、二、四象限，不经过第三象限 4(教材改编)直线 l：axy2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则实数 a_. 答案 1 或2 解析 令 x0，得直线 l 在 y 轴上的截距
4、为 2a； 令 y0，得直线 l 在 x 轴上的截距为 12 a， 依题意 2a12 a，解得 a1 或 a2. 5过点 A(2，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_ 答案 3x2y0 或 xy50 解析 当直线过原点时，直线方程为 y3 2x，即 3x2y0；当直线不过原点时，设直 线方程为x a y a1，即 xya，将点 A(2，3)代入，得 a5，即直线方程为 xy50. 故所求直线的方程为 3x2y0 或 xy50. 题型一 直线的倾斜角与斜率 例 1 (1)(2016 北京东城区期末)已知直线 l 的倾斜角为 ， 斜率为 k， 那么“ 3”是“k 3” 的( ) A充分
5、不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值 范围为_ 答案 (1)B (2)(， 31，) 解析 (1)当 2 3”的必要不充分条件，故选 B. (2)如图， kAP10 211， kBP 30 01 3， k(， 3 1，) 引申探究 1若将本例(2)中 P(1,0)改为 P(1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围 解 P(1,0)，A(2,1)，B(0， 3)， kAP 10 21 1 3， kBP 30 01 3. 如图可知，直线 l 斜
6、率的取值范围为 1 3， 3 . 2若将本例(2)中的 B 点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线 l 倾斜角的范围 解 如图，直线 PA 的倾斜角为 45 ， 直线 PB 的倾斜角为 135 ， 由图象知 l 的倾斜角的范围为0，45135 ，180 ) 思维升华 直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜 率求倾斜角的范围时，要分 0， 2 与 2， 两种情况讨论由正切函数图象可以看出，当 0， 2 时，斜率 k0，)；当 2时，斜率不存在；当 2， 时，斜率 k(， 0) (2017 开封月考)若直线l： ykx 3与直线2x3y60的交点位于第一象限，
7、则直线的倾斜角的取值范围是_ 答案 ( 6， 2) 解析 直线 l 恒过定点(0， 3) 作出两直线的图象，如图所示， 从图中看出，直线 l 的倾斜角的取值范围应为( 6， 2) 题型二 求直线的方程 例 2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为 10 10 ； (2)经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5,10)，到原点的距离为 5. 解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为 ，则 sin 10 10 (00)， 把点 P(3,2)代入得3 a 2 b12 6 ab，得 ab24， 从而 SAOB1 2a
8、b12，当且仅当 3 a 2 b时等号成立，这时 k b a 2 3，从而所求直线方程为 2x3y120. 方法二 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k0 Cab0 Dab0，bc0，a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在 mxny1 0(mn0)上，则1 m 1 n的最小值为_ 答案 4 解析 函数 ya1 x(a0，a1)的图象恒过定点 A(1,1) 把 A(1,1)代入直线方程得 mn1(mn0) 1 m 1 n( 1 m 1 n) (mn)2 n m m n4 (当且仅当 mn1 2时取等号)， 1 m 1 n的最小值为 4. 11(2016 太原模拟)已知两点 A(1,2)，B
9、(m,3) (1)求直线 AB 的方程； (2)已知实数 m 3 3 1， 31，求直线 AB 的倾斜角 的取值范围 解 (1)当 m1 时，直线 AB 的方程为 x1， 当 m1 时，直线 AB 的方程为 y2 1 m1(x1) 即 x(m1)y2m30. (2)当 m1 时， 2； 当 m1 时，m1 3 3 ，0)(0， 3， k 1 m1(， 3 3 3 ，)， 6， 2)( 2， 2 3 综合知，直线 AB 的倾斜角 6， 2 3 12已知点 P(2，1) (1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程； (2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是
10、多少？ (3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在， 求出方程； 若不存在， 请说明理由 解 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，1)，显然，过点 P(2，1) 且垂直于 x 轴的直线满足条件， 此时直线 l 的斜率不存在，其方程为 x2. 若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)， 即 kxy2k10. 由已知得|2k1| k21 2， 解得 k3 4. 此时 l 的方程为 3x4y100. 综上可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100. (2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，
11、如图所示 由 lOP，得 klkOP1， 所以 kl 1 kOP2. 由直线方程的点斜式， 得 y12(x2)， 即 2xy50. 所以直线 2xy50 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线，最大距离为|5| 5 5. (3)由(2)可知，过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线，因此不存在过点 P 且到原点的距 离为 6 的直线 *13.如图， 射线 OA、 OB 分别与 x 轴正半轴成 45 和 30 角， 过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、 OB 于 A、B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y1 2x 上时，求直线 AB 的方程 解 由题意可得 kOAtan 45 1， kOBtan(180 30 ) 3 3 ， 所以直线 lOA：yx，lOB：y 3 3 x. 设 A(m，m)，B( 3n，n)， 所以 AB 的中点 C m 3n 2 ，mn 2 ， 由点 C 在直线 y1 2x 上，且 A、P、B 三点共线得 mn 2 1 2 m 3n 2 ， m0 m1 n0 3n1， 解得 m 3，所以 A( 3， 3) 又 P(1,0)，所以 kABkAP 3 31 3 3 2 ， 所以 lAB：y3 3 2 (x1)， 即直线 AB 的方程为(3 3)x2y3 30.
