直线与平面垂直的判定与性质.docx

1、 1直线与平面垂直 (1)定义 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面 垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的 两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直 a，b abO la lb l 性质定理 垂直于同一个平面的两条 直线平行 a b ab 2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一 条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成 的角是 0 的角 (2)范围：0， 2 3平面与平面垂直 (1)二面角的有

2、关概念 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直 于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直 l l 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内 垂直于交线的直线与另一个平 面垂直 l a la l 【知识拓展】 重要结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则

3、另一条也垂直于这个平面 (2)若一条直线垂直于一个平面， 则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个 重要方法) (3)垂直于同一条直线的两个平面平行 (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行( ) (3)直线 a，b，则 ab.( ) (4)若 ，aa.( ) (5)若直线 a平面 ，直线 b，则直线 a 与 b 垂直( ) 1(教材改编)下列命题中不正确的是( ) A如果平面 平面 ，且直线

4、 l平面 ，则直线 l平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么 l 答案 A 解析 根据面面垂直的性质，知 A 不正确，直线 l 可能平行平面 ，也可能在平面 内 2设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 bm，则 “”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若 ，因为 m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得 b， 又 a，所以 ab；反过来，当

5、 am 时，因为 bm，且 a，m 共面，一定有 ba，但不 能保证 b，所以不能推出 . 3(2017 宝鸡质检)对于四面体 ABCD，给出下列四个命题： 若 ABAC，BDCD，则 BCAD； 若 ABCD，ACBD，则 BCAD； 若 ABAC，BDCD，则 BCAD； 若 ABCD，ACBD，则 BCAD. 其中为真命题的是( ) A B C D 答案 D 解析 如图，取 BC 的中点 M，连接 AM，DM，由 ABACAMBC，同理 DMBCBC平 面 AMD，而 AD平面 AMD，故 BCAD.设 A 在平面 BCD 内的射影为 O，连接 BO，CO， DO， 由ABCDBOCD，

6、 由ACBDCOBDO为BCD的垂心DOBCADBC. 4(2016 济南模拟)如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD平面 ABCD，NB平面 ABCD，且 MDNB1，G 为 MC 的中点则下列结论中不正确的是( ) AMCAN BGB平面 AMN C平面 CMN平面 AMN D平面 DCM平面 ABN 答案 C 解析 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)， 取 AN 的中点 H，连接 HB，MH，GB，则 MCHB，又 HBAN，所以 MCAN，所以 A 正 确；由题意易得 GBMH，又 GB平面 AMN， MH平面 AMN，所以

7、 GB平面 AMN，所以 B 正确；因为 ABCD，DMBN，且 ABBN B，CDDMD，所以平面 DCM平面 ABN，所以 D 正确 5(教材改编)在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O. (1)若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的_心 (2)若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC 的_心 答案 (1)外 (2)垂 解析 (1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP， 在 RtPOA、RtPOB 和 RtPOC 中，PAPCPB， 所以 OAOBOC，即 O 为ABC 的外心 (2)如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于

8、H，D，G. PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面 PAB，AB平面 PAB，PCAB， 又 ABPO，POPCP， AB平面 PGC， 又 CG平面 PGC， ABCG，即 CG 为ABC 边 AB 的高 同理可证 BD，AH 为ABC 底边上的高， 即 O 为ABC 的垂心 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例 1 (2016 全国甲卷改编)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB5，AC6， 点 E，F 分别在 AD，CD 上，AECF5 4，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置OD 10. 证明：DH平面 ABCD. 证明 由

9、已知得 ACBD，ADCD. 又由 AECF 得AE AD CF CD，故 ACEF. 因此 EFHD，从而 EFDH. 由 AB5，AC6 得 DOBO AB2AO24. 由 EFAC 得OH DO AE AD 1 4. 所以 OH1，DHDH3. 于是 DH2OH2321210DO2，故 DHOH. 又 DHEF，而 OHEFH，且 OH，EF平面 ABCD， 所以 DH平面 ABCD. 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，a b)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质 (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，

10、而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判 定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 (2015 江苏)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ACBC，BCCC1.设 AB1 的中点为 D，B1CBC1E. 求证：(1)DE平面 AA1C1C； (2)BC1AB1. 证明 (1)由题意知，E 为 B1C 的中点， 又 D 为 AB1的中点，因此 DEAC. 又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C， 所以 DE平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以 CC1平面 ABC. 因为 AC平面 ABC， 所以 ACCC1. 又因为

11、ACBC，CC1平面 BCC1B1， BC平面 BCC1B1，BCCC1C， 所以 AC平面 BCC1B1. 又因为 BC1平面 BCC1B1， 所以 BC1AC. 因为 BCCC1，所以矩形 BCC1B1是正方形， 因此 BC1B1C. 因为 AC，B1C平面 B1AC，ACB1CC， 所以 BC1平面 B1AC. 又因为 AB1平面 B1AC， 所以 BC1AB1. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例 2 如图，四棱锥 PABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M， N 分别为 PB，AB，BC，PD，PC 的中点 (1)求证：CE平面 PAD； (2)求证

12、：平面 EFG平面 EMN. 证明 (1)方法一 取 PA 的中点 H，连接 EH，DH. 又 E 为 PB 的中点， 所以 EH 綊1 2AB. 又 CD 綊1 2AB， 所以 EH 綊 CD. 所以四边形 DCEH 是平行四边形，所以 CEDH. 又 DH平面 PAD，CE平面 PAD. 所以 CE平面 PAD. 方法二 连接 CF. 因为 F 为 AB 的中点， 所以 AF1 2AB. 又 CD1 2AB，所以 AFCD. 又 AFCD，所以四边形 AFCD 为平行四边形 因此 CFAD，又 CF平面 PAD，AD平面 PAD， 所以 CF平面 PAD. 因为 E，F 分别为 PB，AB

13、 的中点，所以 EFPA. 又 EF平面 PAD，PA平面 PAD， 所以 EF平面 PAD. 因为 CFEFF，故平面 CEF平面 PAD. 又 CE平面 CEF，所以 CE平面 PAD. (2)因为 E、F 分别为 PB、AB 的中点，所以 EFPA. 又因为 ABPA， 所以 EFAB，同理可证 ABFG. 又因为 EFFGF，EF平面 EFG，FG平面 EFG. 所以 AB平面 EFG. 又因为 M，N 分别为 PD，PC 的中点， 所以 MNCD，又 ABCD，所以 MNAB， 所以 MN平面 EFG. 又因为 MN平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN. 引申探究 1在本例条件

14、下，证明：平面 EMN平面 PAC. 证明 因为 ABPA，ABAC， 且 PAACA，所以 AB平面 PAC. 又 MNCD，CDAB，所以 MNAB， 所以 MN平面 PAC. 又 MN平面 EMN， 所以平面 EMN平面 PAC. 2在本例条件下，证明：平面 EFG平面 PAC. 证明 因为 E，F，G 分别为 PB，AB，BC 的中点， 所以 EFPA，FGAC， 又 EF平面 PAC，PA平面 PAC， 所以 EF平面 PAC. 同理，FG平面 PAC. 又 EFFGF， 所以平面 EFG平面 PAC. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a，a

15、) (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 (2016 江苏)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1. 求证：(1)直线 DE平面 A1C1F； (2)平面 B1DE平面 A1C1F. 证明 (1)由已知，DE 为ABC 的中位线， DEAC，又由三棱柱的性质可得 ACA1C1， DEA1C1， 又DE平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F， DE平面 A1C1F. (2)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平

16、面 A1B1C1， AA1A1C1， 又A1B1A1C1，且 A1B1AA1A1， A1C1平面 ABB1A1， B1D平面 ABB1A1， A1C1B1D， 又A1FB1D，且 A1FA1C1A1， B1D平面 A1C1F， 又B1D平面 B1DE， 平面 B1DE平面 A1C1F. 题型三 垂直关系中的探索性问题 例 3 如图，在三棱台 ABCDEF 中，CF平面 DEF，ABBC. (1)设平面 ACE平面 DEFa，求证：DFa； (2)若 EFCF2BC， 试问在线段 BE 上是否存在点 G， 使得平面 DFG平面 CDE？若存在， 请确定 G 点的位置；若不存在，请说明理由 (1)

17、证明 在三棱台 ABCDEF 中，ACDF，AC平面 ACE，DF平面 ACE，DF平面 ACE. 又DF平面 DEF，平面 ACE平面 DEFa， DFa. (2)解 线段 BE 上存在点 G，且 BG1 3BE，使得平面 DFG平面 CDE. 证明如下： 取 CE 的中点 O，连接 FO 并延长交 BE 于点 G， 连接 GD，GF， CFEF，GFCE. 在三棱台 ABCDEF 中，ABBCDEEF. 由 CF平面 DEFCFDE. 又 CFEFF，DE平面 CBEF，DEGF. GFCE GFDE CEDEE GF平面 CDE. 又 GF平面 DFG，平面 DFG平面 CDE. 此时，

18、如平面图所示，延长 CB，FG 交于点 H， O 为 CE 的中点，EFCF2BC， 由平面几何知识易证HOCFOE， HBBC1 2EF. 由HGBFGE 可知BG GE 1 2，即 BG 1 3BE. 思维升华 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为 线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明 (2016 北京东城区模拟)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC， M 为棱 AC 的中点ABBC，AC2，AA1 2. (1)求证：B1C平面 A1BM； (2)求证：AC1平面 A1BM； (3)在棱 BB1上是否存在点 N，使得平

19、面 AC1N平面 AA1C1C？如果存在，求此时 BN BB1的值； 如果不存在，请说明理由 (1)证明 连接 AB1与 A1B，两线交于点 O，连接 OM， 在B1AC 中，M，O 分别为 AC，AB1中点， OMB1C， 又OM平面 A1BM，B1C平面 A1BM， B1C平面 A1BM. (2)证明 侧棱 AA1底面 ABC，BM平面 ABC， AA1BM， 又M 为棱 AC 中点，ABBC，BMAC. AA1ACA，BM平面 ACC1A1， BMAC1. AC2，AM1. 又AA1 2，在 RtACC1和 RtA1AM 中， tanAC1CtanA1MA 2. AC1CA1MA， 即A

20、C1CC1ACA1MAC1AC90 ， A1MAC1. BMA1MM，AC1平面 A1BM. (3)解 当点 N 为 BB1中点，即 BN BB1 1 2时， 平面 AC1N平面 AA1C1C. 证明如下： 设 AC1中点为 D，连接 DM，DN. D，M 分别为 AC1，AC 中点， DMCC1，且 DM1 2CC1. 又N 为 BB1中点，DMBN，且 DMBN， 四边形 BNDM 为平行四边形， BMDN， BM平面 ACC1A1，DN平面 ACC1A1. 又DN平面 AC1N，平面 AC1N平面 AA1C1C. 17立体几何证明问题中的转化思想 典例 (12 分)如图所示，M，N，K

21、分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB，CD，C1D1的中 点 求证：(1)AN平面 A1MK； (2)平面 A1B1C平面 A1MK. 思想方法指导 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相 互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证 明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范 规范解答 证明 (1)如图所示，连接 NK. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 四

22、边形 AA1D1D，DD1C1C 都为正方形， AA1DD1，AA1DD1， C1D1CD，C1D1CD.2 分 N，K 分别为 CD，C1D1的中点， DND1K，DND1K， 四边形 DD1KN 为平行四边形，3 分 KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN， 四边形 AA1KN 为平行四边形，ANA1K.4 分 A1K平面 A1MK，AN平面 A1MK， AN平面 A1MK.6 分 (2)如图所示，连接 BC1.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1. M，K 分别为 AB，C1D1的中点， BMC1K，BMC1K， 四边形 BC1KM 为平行四边形，MK

23、BC1.8 分 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面 BB1C1C， BC1平面 BB1C1C，A1B1BC1. MKBC1，A1B1MK. 四边形 BB1C1C 为正方形，BC1B1C.10 分 MKB1C. A1B1平面 A1B1C，B1C平面 A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面 A1B1C. 又MK平面 A1MK， 平面 A1B1C平面 A1MK.12 分 1若平面 平面 ，平面 平面 直线 l，则( ) A垂直于平面 的平面一定平行于平面 B垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 C垂直于平面 的平面一定平行于直线 l D垂直于直线 l 的平面一定与平面 ， 都垂直

24、答案 D 解析 对于 A，垂直于平面 的平面与平面 平行或相交，故 A 错误； 对于 B，垂直于直线 l 的直线与平面 垂直、斜交、平行或在平面 内，故 B 错误； 对于 C，垂直于平面 的平面与直线 l 平行或相交，故 C 错误；易知 D 正确 2设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A若 ，m，n，则 mn B若 ，m，n， ，则 mn C若 mn，m，n，则 D若 m，mn，n，则 答案 D 解析 A 中， m 与 n 可垂直、可异面、 可平行； B 中，m 与 n 可平行、可异面； C 中， 若 ， 仍然满足 mn，m，n，故 C 错误；故选 D.

25、 3(2016 包头模拟)如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1垂直底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1是正三角形，E 是 BC 中点，则下列叙述正确的是( ) ACC1与 B1E 是异面直线 BAC平面 ABB1A1 CAE 与 B1C1是异面直线，且 AEB1C1 DA1C1平面 AB1E 答案 C 解析 A 不正确，因为 CC1与 B1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题意知， 上底面 ABC 是一个正三角形，故不可能存在 AC平面 ABB1A1；C 正确，因为 AE，B1C1为 在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D 不正确，因为 A

26、1C1所在的平 面与平面 AB1E 相交，且 A1C1与交线有公共点，故 A1C1平面 AB1E 不正确，故选 C. 4如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把ABD 和ACD 折成互 相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： BDAC； BAC 是等边三角形； 三棱锥 DABC 是正三棱锥； 平面 ADC平面 ABC. 其中正确的是( ) A B C D 答案 B 解析 由题意知，BD平面 ADC，故 BDAC，正确；AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上 的高，平面 ABD平面 ACD，所以 ABACBC，BAC 是等边三角形，正确；易知 DA DBDC，又

27、由知正确；由知错故选 B. 5.如图所示，直线 PA 垂直于O 所在的平面，ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径，点 M 为线段 PB 的中点现有结论：BCPC；OM平面 APC；点 B 到平面 PAC 的距离 等于线段 BC 的长其中正确的是( ) A B C D 答案 B 解析 对于，PA平面 ABC，PABC， AB 为O 的直径，BCAC，BC平面 PAC， 又 PC平面 PAC，BCPC； 对于，点 M 为线段 PB 的中点，OMPA， PA平面 PAC，OM平面 PAC，OM平面 PAC； 对于，由知 BC平面 PAC，线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离，故都

28、正确 6.如图，BAC90 ，PC平面 ABC，则在ABC 和PAC 的边所在的直线中，与 PC 垂直 的直线有_；与 AP 垂直的直线有_ 答案 AB、BC、AC AB 解析 PC平面 ABC，PC 垂直于直线 AB，BC，AC；ABAC，ABPC，ACPC C，AB平面 PAC，与 AP 垂直的直线是 AB. 7.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 2，ACBC1，ACB90 ，D 是 A1B1的中 点， F 是 BB1上的动点， AB1， DF 交于点 E.要使 AB1平面 C1DF， 则线段 B1F 的长为_ 答案 1 2 解析 设 B1Fx， 因为 AB1平面 C1DF，

29、DF平面 C1DF， 所以 AB1DF. 由已知可得 A1B1 2， 设 RtAA1B1斜边 AB1上的高为 h， 则 DE1 2h. 又 2 2h22 22， 所以 h2 3 3 ，DE 3 3 . 在 RtDB1E 中， B1E 2 2 2 3 3 2 6 6 . 由面积相等得 6 6 x2 2 2 2 2 2 x， 得 x1 2. 8.如图，PA圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上的一点，E，F 分别是点 A 在 PB，PC 上的射影，给出下列结论： AFPB；EFPB；AFBC；AE平面 PBC. 其中正确结论的序号是_ 答案 解析 由题意知 PA平面 ABC，

30、PABC. 又 ACBC，且 PAACA， BC平面 PAC，BCAF. AFPC，且 BCPCC， AF平面 PBC， AFPB，又 AEPB，AEAFA， PB平面 AEF，PBEF. 故正确 9(2016 保定模拟)如图，在直二面角 MN 中，等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC， 一直角边 AC，BC 与 所成角的正弦值为 6 4 ，则 AB 与 所成的角是_ 答案 3 解析 如图所示，作 BHMN 于点 H，连接 AH， 则 BH，BCH 为 BC 与 所成的角 sinBCH 6 4 BH BC， 设 BC1，则 BH 6 4 . ABC 为等腰直角三角形，ACAB 2 2 ， AB

31、 与 所成的角为BAH. sinBAHBH AB 6 4 2 2 3 2 ， BAH 3. 10(2016 全国乙卷)如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，平面 ABEF 为正方 形，AF2FD，AFD90 ，且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60 . (1)证明：平面 ABEFEFDC； (2)求二面角 EBCA 的余弦值 (1)证明 由已知可得 AFDF，AFFE，DFFEF， 所以 AF平面 EFDC， 又 AF平面 ABEF， 故平面 ABEF平面 EFDC. (2)解 过 D 作 DGEF，垂足为 G， 由(1)知 DG平面 ABEF.以 G 为坐标原点，

32、GF 的方向为 x 轴正方向，|GF |为单位长，建立如 图所示的空间直角坐标系 Gxyz.由(1)知DFE 为二面角 DAFE 的平面角，故DFE60 ，则 |DF|2，|DG| 3，可得 A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0， 3) 由已知，ABEF，AB平面 EFDC，EF平面 EFDC， 所以 AB平面 EFDC， 又平面 ABCD平面 EFDCCD， 故 ABCD，CDEF， 由 BEAF，可得 BE平面 EFDC， 所以CEF 为二面角 CBEF 的平面角，CEF60 ， 从而可得 C(2,0， 3) 所以EC (1,0， 3)，EB(0,4,0)，AC

33、(3，4， 3)，AB(4,0,0) 设 n(x，y，z)是平面 BCE 的法向量，则 n EC 0， n EB 0， 即 x 3z0， 4y0. 所以可取 n(3,0， 3) 设 m 是平面 ABCD 的法向量，则 m AC 0， m AB 0. 同理可取 m(0， 3， 4)， 则 cos n， m n m |n|m| 2 19 19 .故二面角 EBCA 的余弦值为2 19 19 . 11如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED平面 ABCD，EFAB，AB2，BC EF1，AE 6，DE3，BAD60 ，G 为 BC 的中点 (1)求证：FG平面 BED； (2)求证：平

34、面 BED平面 AED； (3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 (1)证明 如图，取 BD 的中点 O，连接 OE，OG. 在BCD 中，因为 G 是 BC 的中点， 所以 OGDC 且 OG1 2DC1. 又因为 EFAB，ABDC， 所以 EFOG 且 EFOG， 所以四边形 OGFE 是平行四边形，所以 FGOE. 又 FG平面 BED，OE平面 BED， 所以 FG平面 BED. (2)证明 在ABD 中，AD1，AB2，BAD60 ， 由余弦定理可得 BD 3，进而ADB90 ， 即 BDAD. 又因为平面 AED平面 ABCD，BD平面 ABCD， 平面 AED平面

35、ABCDAD， 所以 BD平面 AED. 又因为 BD平面 BED， 所以平面 BED平面 AED. (3)解 因为 EFAB， 所以直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所成的角 过点 A 作 AHDE 于点 H，连接 BH. 又平面 BED平面 AEDED， 由(2)知 AH平面 BED， 所以直线 AB 与平面 BED 所成的角即为ABH. 在ADE 中，AD1，DE3，AE 6， 由余弦定理得 cosADE2 3，所以 sinADE 5 3 ， 因此，AHAD sinADE 5 3 . 在 RtAHB 中，sinABHAH AB 5 6 . 所以直线 EF

36、 与平面 BED 所成角的正弦值为 5 6 . 12在直角梯形 SBCD 中，DC 2，BCCD2，SD4，A 为 SD 的中点，如图(1) 所示，将SAB 沿 AB 折起，使 SAAD，点 E 在 SD 上，且 SE1 3SD，如图(2)所示 (1)求证：SA平面 ABCD； (2)求二面角 EACD 的正切值 (1)证明 由题意，知 SAAB， 又 SAAD，ABADA， 所以 SA平面 ABCD. (2)解 在 AD 上取一点 O，使 AO1 3AD， 连接 EO，如图所示 又 SE1 3SD，所以 EOSA. 所以 EO平面 ABCD. 过 O 作 OHAC 交 AC 于 H，连接 EH，则 AC平面 EOH， 所以 ACEH， 所以EHO 为二面角 EACD 的平面角 已知 EO2 3SA 4 3. 在 RtAHO 中，HAO45 ，OHAO sin 45 2 3 2 2 2 3 . tanEHOEO OH2 2，即二面角 EACD 的正切值为 2 2.