1、 1椭圆的概念 平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数： (1)若 ac，则集合 P 为椭圆； (2)若 ac，则集合 P 为线段； (3)若 ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 性质 范围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,
2、0) 轴 长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|2c 离心率 ec a(0,1) a，b，c 的关系 a2b2c2 【知识拓展】 点 P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内x 2 0 a2 y20 b21. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2构成PF1F2的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)( ) (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆( ) (4)方程
3、mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆( ) (5)y 2 a2 x2 b21(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆( ) (6)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相等( ) 1(教材改编)椭圆 x2 10m y2 m21 的焦距为 4，则 m 等于( ) A4 B8 C4 或 8 D12 答案 C 解析 由题意知 10mm20， 10mm24 或 m210m0， m210m4， 解得 m4 或 m8. 2(2015 广东)已知椭圆x 2 25 y2 m21(m0)的左焦点为 F1(4,0)，则 m 等于( ) A2 B3 C4 D9 答案
4、 B 解析 由题意知 25m216，解得 m29，又 m0，所以 m3. 3(2016 全国乙卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴 长的1 4，则该椭圆的离心率为( ) A.1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 答案 B 解析 如图，由题意得，|BF|a，|OF|c，|OB|b，|OD|1 42b 1 2b. 在 RtFOB 中，|OF|OB|BF|OD|，即 cba 1 2b，解得 a2c，故椭圆离心率 e c a 1 2， 故选 B. 4已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于1 2，则 C 的方程是( ) A.x
5、2 3 y2 41 B.x 2 4 y2 31 C.x 2 4 y2 21 D.x 2 4 y2 31 答案 D 解析 由题意知 c1，ec a 1 2，所以 a2，b 2a2c23.故所求椭圆方程为x 2 4 y2 31. 5(教材改编)已知点 P 是椭圆x 2 5 y2 41 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2为顶点 的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_ 答案 15 2 ，1 或 15 2 ，1 解析 设 P(x，y)，由题意知 c2a2b2541， 所以 c1，则 F1(1,0)，F2(1,0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y 1，把 y 1
6、 代入x 2 5 y2 41，得 x 15 2 ，又 x0，所以 x 15 2 ，所以 P 点坐标为 15 2 ，1 或 15 2 ，1 . 题型一 椭圆的定义及标准方程 命题点 1 利用定义求轨迹 例 1 (2016 济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一 动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则 点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 答案 A 解析 由条件知|PM|PF|. |PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|. P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆 命题点 2 利
7、用待定系数法求椭圆方程 例 2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的 3 倍，并且过点 P(3,0)，则椭圆 的方程为_ (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1( 6，1)，P2( 3， 2)， 则椭圆的方程为_ 答案 (1)x 2 9y 21 或y 2 81 x2 91 (2)x 2 9 y2 31 解析 (1)若焦点在 x 轴上，设方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，椭圆过 P(3,0)， 32 a2 02 b21，即 a 3， 又 2a32b，b1，方程为x 2 9y 21. 若焦点在 y 轴上，设方程为y 2 a2 x2 b21(ab0)
8、椭圆过点 P(3,0)0 2 a2 32 b21，即 b3. 又 2a32b，a9，方程为y 2 81 x2 91. 所求椭圆的方程为x 2 9y 21 或y 2 81 x2 91. (2)设椭圆方程为 mx2ny21(m0，n0 且 mn) 椭圆经过点 P1，P2，点 P1，P2的坐标适合椭圆方程 则 6mn1， 3m2n1， 两式联立，解得 m1 9， n1 3. 所求椭圆方程为x 2 9 y2 31. 命题点 3 利用定义解决“焦点三角形”问题 例 3 已知 F1， F2是椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点， 且PF1 PF2 . 若PF
9、1F2的面积为 9，则 b_. 答案 3 解析 设|PF1|r1，|PF2|r2， 则 r1r22a， r21r224c2， 2r1r2(r1r2)2(r21r22) 4a24c24b2， 又 1 2 PF F S 1 2r1r2 b29，b3. 引申探究 1在例 3 中增加条件“PF1F2的周长为 18”，其他条件不变，求该椭圆的方程 解 由原题得 b2a2c29， 又 2a2c18， 所以 ac1，解得 a5， 故椭圆方程为x 2 25 y2 91. 2 在例 3 中条件“PF1 PF2 ”、 “PF1F2的面积为 9”分别改为“F1PF260 ”“ 1 2 PF F S 3 3”，结果如
10、何？ 解 |PF1|PF2|2a，又F1PF260 ， 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60 |F1F2|2， 即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2， 所以 3|PF1|PF2|4a24c24b2， 所以|PF1|PF2|4 3b 2， 又因为 1 2 PF F S 1 2|PF1|PF2| sin 60 1 2 4 3b 2 3 2 3 3 b23 3， 所以 b3. 思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要 注意常数 2a|F1F2|这一条件 (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再
11、定量，即首先确定焦点 所在位置，然后再根据条件建立关于 a，b 的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两 解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx2ny21(m0，n0，mn)的形式 (3)当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用 定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1| |PF2|；通过整体代入可求其面积等 (1)已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1内部且和 圆 C1相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( ) A.x 2 64 y2 481 B.x 2 48 y2 641
12、C.x 2 48 y2 641 D.x 2 64 y2 481 (2)(2017 大庆质检)设 F1、 F2分别是椭圆x 2 4y 21 的左、 右焦点， 若椭圆上存在一点 P， 使(OP OF2 ) PF2 0(O 为坐标原点)，则F1PF2的面积是( ) A4 B3 C2 D1 答案 (1)D (2)D 解析 (1)设圆 M 的半径为 r， 则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|， 所以 M 的轨迹是以 C1，C2为焦点的椭圆， 且 2a16,2c8， 故所求的轨迹方程为x 2 64 y2 481. (2)(OP OF2 ) PF2 (OP F1O ) PF2 F1P P
13、F2 0， PF1PF2，F1PF290 . 设|PF1|m，|PF2|n， 则 mn4，m2n212,2mn4， 12 F PF S 1 2mn1. 题型二 椭圆的几何性质 例 4 (1)已知点 F1，F2是椭圆 x22y22 的左，右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么 |PF1 PF2 |的最小值是( ) A0 B1 C2 D2 2 (2)(2016 全国丙卷)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点，A，B 分 别为椭圆 C 的左，右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.
14、若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为( ) A.1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 答案 (1)C (2)A 解析 (1)设 P(x0，y0)，则PF1 (1x0，y0)， PF2 (1x0，y0)，PF1 PF2 (2x0，2y0)， |PF1 PF2 |4x204y20 2 22y20y20 2 y202. 点 P 在椭圆上，0y201， 当 y201 时，|PF1 PF2 |取最小值 2.故选 C. (2)设 M(c，m)，则 E 0， am ac ，OE 的中点为 D，则 D 0， am 2ac ，又 B，D，M 三点共 线，所以 m 2ac m ac，a
15、3c，e 1 3. 思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中 x，y 的范围，离心率的范围等不等关系 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴 等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系 (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于 a，b，c 的等式或不等式，利用 a2b2c2消去 b，即可求得离心率或离心率的范围 (2016 江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是
16、椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右 焦点，直线 yb 2与椭圆交于 B，C 两点，且BFC90 ，则该椭圆的离心率是_ 答案 6 3 解析 联立方程组 x2 a2 y2 b21， yb 2， 解得 B，C 两点坐标为 B 3 2 a，b 2 ，C 3 2 a，b 2 ，又 F(c,0)， 则FB 3 2 ac，b 2 ，FC 3a 2 c，b 2 ， 又由BFC90 ，可得FB FC0，代入坐标可得 c23 4a 2b 2 40， 又因为 b2a2c2. 代入式可化简为c 2 a2 2 3，则椭圆离心率为 e c a 2 3 6 3 . 题型三 直线与椭圆 例 5 (2016 天津)
17、设椭圆x 2 a2 y2 31(a 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知 1 |OF| 1 |OA| 3e |FA|， 其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率 (1)求椭圆的方程； (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴 交于点 H.若 BFHF，且MOAMAO，求直线 l 的斜率 解 (1)设 F(c,0)，由 1 |OF| 1 |OA| 3e |FA|， 即1 c 1 a 3c aac，可得 a 2c23c2. 又 a2c2b23，所以 c21，因此 a24. 所以椭圆的方程为x 2 4 y2 31. (2)设
18、直线 l 的斜率为 k(k0)， 则直线 l 的方程为 yk(x2) 设 B(xB，yB)，由方程组 x2 4 y2 31， ykx2 消去 y，整理得(4k23)x216k2x16k2120. 解得 x2 或 x8k 26 4k23. 由题意得 xB8k 26 4k23，从而 yB 12k 4k23. 由(1)知，F(1,0)，设 H(0，yH)， 有FH (1，yH)，BF 94k2 4k23， 12k 4k23 . 由 BFHF，得BF FH 0， 所以4k 29 4k23 12kyH 4k230， 解得 yH94k 2 12k . 因此直线 MH 的方程为 y1 kx 94k2 12k
19、 . 设 M(xM，yM)，由方程组 ykx2， y1 kx 94k2 12k 消去 y， 解得 xM 20k29 12k21. 在MAO 中，MOAMAO|MA|MO|， 即(xM2)2y2Mx2My2M， 化简得 xM1，即 20k29 12k211， 解得 k 6 4 或 k 6 4 . 所以直线 l 的斜率为 6 4 或 6 4 . 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问 题时用“点差法”解决，往往会更简单 (2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(
20、x2，y2)，则|AB| 1k2x1x224x1x2 1 1 k2y1y2 24y 1y2(k 为直线斜率) 提醒： 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的， 不要忽略判别式 (2016 唐山模拟)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点为 B(0,4)， 离心率 e 5 5 ， 直线 l 交椭圆于 M，N 两点 (1)若直线 l 的方程为 yx4，求弦|MN|的长； (2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式 解 (1)由已知得 b4，且c a 5 5 ， 即c 2 a2 1 5， a2b2 a2 1 5， 解得 a220，椭圆
21、方程为x 2 20 y2 161. 则 4x25y280 与 yx4 联立， 消去 y 得 9x240x0，x10，x240 9 ， 所求弦长|MN| 112|x2x1| 40 2 9 . (2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0)， 设线段 MN 的中点为 Q(x0，y0)， 由三角形重心的性质知 BF 2FQ ， 又 B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)， 故得 x03，y02， 即 Q 的坐标为(3，2) 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x26，y1y24， 且x 2 1 20 y21 161， x22 20 y22 161， 以上两式相减得x1x2x1x2 20
22、y1y2y1y2 16 0， kMNy1y2 x1x2 4 5 x1x2 y1y2 4 5 6 4 6 5， 故直线 MN 的方程为 y26 5(x3)， 即 6x5y280. 8高考中求椭圆的离心率问题 考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有 两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范 围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要 把其中的 b 用 a，c 表示，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难 点的根本方法 典例 1 (2015 福建)已
23、知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M， 直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于4 5， 则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) A. 0， 3 2 B. 0，3 4 C. 3 2 ，1 D. 3 4，1 解析 左焦点 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形 |AF|BF|4， |AF|AF0|4， a2. 设 M(0，b)，则4b 5 4 5，1b2. 离心率 ec a c2 a2 a2b2 a2 4b2 4 0， 3 2 ，故选 A. 答案 A 典例 2 (1
24、2 分)(2016 浙江)如图，设椭圆x 2 a2y 21(a1) (1)求直线 ykx1 被椭圆截得的线段长(用 a，k 表示)； (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围 规范解答 解 (1)设直线 ykx1 被椭圆截得的线段为 AM， 由 ykx1， x2 a2y 21， 得(1a2k2)x22a2kx0，2 分 故 x10，x2 2a2k 1a2k2， 因此|AM|1k2|x1x2| 2a2|k| 1a2k2 1k 2.4 分 (2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P，Q， 满足|AP|A
25、Q|. 记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2， 且 k10，k20，k1k2.5 分 由(1)知|AP|2a 2|k 1| 1k 2 1 1a2k21 ， |AQ|2a 2|k 2| 1k22 1a2k22 ， 故2a 2|k 1| 1k 2 1 1a2k21 2a 2|k 2| 1k 2 2 1a2k22 ， 所以(k21k22)1k21k22a2(2a2)k21k220.7 分 由 k1k2，k10，k20 得 1k21k22a2(2a2)k21k220， 因此 1 k211 1 k221 1a2(a22)， 因为式关于 k1，k2的方程有解的充要条件是 1a2(a22)1，所以
26、a 2. 因此， 任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1a 2， 10 分 由 ec a a21 a ，得 00， m26m， 20，即 4k5 时， a3，c29(4k)5k， 5k 3 4 5，解得 k 19 25. 当 9a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|PF|，即式正确；由 a1c1a2c20，c1c20，知a1c1 c1 c2 a2，即式正确， 式不正确故选 D. 5(2016 贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1，则椭 圆长轴长的最小值为( ) A1 B. 2 C2 D2 2 答案 D 解析 设 a，b，c
27、 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 依题意知，当三角形的高为 b 时面积最大， 所以1 22cb1，bc1， 而 2a2 b2c22 2bc2 2 (当且仅当 bc1 时取等号)，故选 D. *6.(2016 合肥模拟)已知两定点 A(2,0)和 B(2,0)，动点 P(x，y)在直线 l：yx3 上移动，椭 圆 C 以 A，B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为( ) A. 26 13 B.2 26 13 C.2 13 13 D.4 13 13 答案 B 解析 由题意知，椭圆 C 的离心率 e2 a， 求 e 的最大值，即求 a 的最小值， 由于 A，B 两点是椭圆的
28、焦点， 所以|PA|PB|2a，即在直线 l 上找一点 P， 使|PA|PB|的值最小， 设点 A(2,0)关于直线 l： yx3 的对称点为 Q(x0，y0)， 则 y0 x021， y0 2 x02 2 3， 解得 x03， y01， 即 Q(3,1)，则|PA|PB|QB| 322102 26， 即 2a 26，a 26 2 ， e2 a 4 26 2 26 13 ， 故选 B. 7若椭圆x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点在 x 轴上，过点(2,1)作圆 x 2y24 的切线，切点分别 为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为_ 答案 x2 20 y
29、2 161 解析 设切点坐标为(m，n)， 则n1 m2 n m1， 即 m2n2n2m0. m2n24，2mn40， 即直线 AB 的方程为 2xy40. 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， 2c40，b40，解得 c2，b4， a2b2c220， 椭圆方程为x 2 20 y2 161. 8已知 P 为椭圆x 2 25 y2 161 上的一点，M，N 分别为圆(x3) 2y21 和圆(x3)2y24 上 的点，则|PM|PN|的最小值为_ 答案 7 解析 由题意知椭圆的两个焦点 F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM| |PN|的最小值为|PF1|PF2|1
30、27. 9(2017 石家庄质检)椭圆x 2 4y 21 的左，右焦点分别为 F 1，F2，点 P 为椭圆上一动点，若 F1PF2为钝角，则点 P 的横坐标的取值范围是_ 答案 (2 6 3 ，2 6 3 ) 解析 设椭圆上一点 P 的坐标为(x，y)， 则F1P (x 3，y)，F2P (x 3，y) F1PF2为钝角，F1P F2P 0)的离心率等于 1 3，其焦点分别为 A，B，C 为椭圆上异于长轴端 点的任意一点，则在ABC 中，sin Asin B sin C 的值等于_ 答案 3 解析 在ABC 中，由正弦定理得sin Asin B sin C |CB|CA| |AB| ，因为点
31、C 在椭圆上，所以由椭 圆定义知|CA|CB|2a，而|AB|2c，所以sin Asin B sin C 2a 2c 1 e3. 11如图，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F，右顶点，上顶点分别为 A，B，且|AB| 5 2 |BF|. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)若斜率为 2 的直线 l 过点(0,2)，且 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，OPOQ，求直线 l 的方程及 椭圆 C 的方程 解 (1)由已知|AB| 5 2 |BF|， 即 a2b2 5 2 a， 4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2， ec a 3 2 . (2)由(1)知 a24
32、b2，椭圆 C： x2 4b2 y2 b21. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 直线 l 的方程为 y22(x0)，即 2xy20. 由 2xy20， x2 4b2 y2 b21 消去 y， 得 x24(2x2)24b20， 即 17x232x164b20. 3221617(b24)0，解得 b2 17 17 . x1x232 17，x1x2 164b2 17 . OPOQ，OP OQ 0， 即 x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0， 5x1x24(x1x2)40. 从而5164b 2 17 128 17 40， 解得 b1，满足 b2 17 17 . 椭圆 C 的
33、方程为x 2 4y 21. 12(2015 安徽)设椭圆 E 的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为(a,0)， 点 B 的坐标为(0，b)，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|2|MA|，直线 OM 的斜率为 5 10. (1)求 E 的离心率 e； (2)设点 C 的坐标为(0， b)，N 为线段 AC 的中点， 点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为7 2， 求 E 的方程 解 (1)由题设条件知，点 M 的坐标为 2 3a， 1 3b ， 又 kOM 5 10，从而 b 2a 5 10， 进而得 a 5b，c a2b22b，故 ec a
34、 2 5 5 . (2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线 AB 的方程为 x 5b y b1，点 N 的坐标为 5 2 b，1 2 b . 设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为 x1，7 2 ，则线段 NS 的中点 T 的坐标为 5 4 bx1 2， 1 4b 7 4 . 又点 T 在直线 AB 上，且 kNS kAB1， 从而有 5 4 bx1 2 5b 1 4b 7 4 b 1， 7 2 1 2b x1 5 2 b 5. 解得 b3. 所以 a3 5，故椭圆 E 的方程为x 2 45 y2 91. *13.如图，已知椭圆 M：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左，右焦
35、点分别为 F1(2,0)，F2(2,0)在椭圆 M 中有一内接三角形 ABC，其顶点 C 的坐标为( 3，1)，AB 所在直线的斜率为 3 3 . (1)求椭圆 M 的方程； (2)当ABC 的面积最大时，求直线 AB 的方程 解 (1)由椭圆的定义知 2a2 320122 32012， 所以 a26，所以 b2a2c22. 所以椭圆 M 的方程为x 2 6 y2 21. (2)由题意设直线 AB 的方程为 y 3 3 xm， 由 x2 6 y2 21， y 3 3 xm 消去 y， 得 2x22 3mx3m260， 因为直线 AB 与椭圆 M 交于不同的两点 A，B， 且点 C 不在直线 A
36、B 上， 所以 12m224m220， 1 3 3 3m， 解得2m2 且 m0. 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 x1x2 3m，x1x23m 26 2 ， y1 3 3 x1m，y2 3 3 x2m. 所以|AB| x2x12y2y12 4 3x1x2 24x 1x22 4m 2. 点 C( 3，1)到直线 y 3 3 xm 的距离 d 3|m| 2 . 于是ABC 的面积 S1 2|AB| d 3 2 |m| 4m2 3 2 m24m2 2 3， 当且仅当|m|4m2，即 m 2时“”成立 所以当 m 2时，ABC 的面积最大， 此时直线 AB 的方程为 y 3 3 x 2，即 x 3y 60.
