1、第 6 讲 空间向量及其运算 一、选择题 1以下四个命题中正确的是 ( ) A空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B若a，b，c为空间向量的一组基底，则ab，bc，ca构成空间向 量的另一组基底 CABC 为直角三角形的充要条件是AB AC 0 D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析 若 ab、bc、ca 为共面向量，则 ab(bc)(ca)，(1)a (1)b()c， 不可能同时为 1，设 1，则 a1 1b 1c， 则 a、b、c 为共面向量，此与a，b，c为空间向量基底矛盾 答案 B 2若向量 a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)
2、(2b)2，则 x ( ) A4 B2 C4 D2 解析 a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)， ca(0,0,1x)，2b(2,4,2) (ca) (2b)2(1x)2，x2. 答案 D 3 若a， b， c为空间的一组基底， 则下列各项中， 能构成基底的一组向量是( ) Aa，ab，ab Bb，ab，ab Cc，ab，ab Dab，ab，a2b 解析 若 c、ab、ab 共面，则 c(ab)m(ab)(m)a(m)b， 则 a、b、c 为共面向量，此与a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故 c，a b，ab 可构成空间向量的一组基底 答案 C 4.如图所示，已知空间四边形
3、OABC，OBOC，且AOBAOC 3，则 cos OA ，BC 的值为 ( ) A0 B.1 2 C. 3 2 D. 2 2 解析 设OA a，OB b，OC c， 由已知条件a，ba，c 3，且|b|c|， OA BC a (cb)a ca b1 2|a|c| 1 2|a|b|0，cosOA ，BC 0. 答案 A 5如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点若AB a，AD b，AA1 c， 则下列向量中与BM 相等的向量是 ( ) A1 2a 1 2bc B.1 2a 1 2bc C1 2a 1 2bc D.1 2a 1 2bc 解析 BM BB
4、1 B 1M AA1 1 2(AD AB ) c1 2(ba) 1 2a 1 2bc. 答案 A 6如图，在大小为 45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为 1 的正方形，则B，D两点间的距离是( ) A. 3 B. 2 C1 D.3 2 解析 BD BF FEED， |BD|2|BF|2|FE|2|ED|22BFFE2FEED 2BF ED111 23 2，故|BD| 3 2. 答案 D 二、填空题 7. 设, x yR， 向量4, 2, 1,1 ,cybxa， 且cbca/,， 则_ _ _ _ _ _ _ba 解析 2402 , / /(3, 1)10 242 xx a
5、c bcab yy . 答案 10 8. 在空间四边形 ABCD 中， AB CD AC DB AD BC _. 解析 如图，设AB a，AC b，AD c， AB CD AC DB AD BC a (cb)b (ac)c (b a)0. 答案 0 9已知ABCDA1B1C1D1为正方体，( 11 A A 11 A D 11 A B) 23 11 A B 2； 1 AC( 11 A B 11 A A)0；向量 1 AD与向量 1 A B的夹角是 60；正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为|AB 1 AAAD|.其中正确命题的序号是 _ 解析 由 1 AA 11 A D， 1 AA 11 A
6、 B， 11 A D 11 A B 11 A B， 得( 1 A A 11 A D 11 A B) 23( 11 A B) 2，故正确；中 11 A B 1 A A 1 AB，由于AB1A1C，故 正确；中A1B与AD1两异面直线所成角为 60，但 1 AD与 1 A B的夹角为 120，故不正确；中|AB 1 AAAD|0.故也不正确 答案 10如图，空间四边形 OABC 中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC 45 ，OAB60 ，则 OA 与 BC 所成角的余弦值等于_ 解析 设OA a，OB b，OC c. OA 与 BC 所成的角为 ， OA BC a(cb)a ca ba (a
7、AC )a (aAB )a2a AC a2a AB 2416 2. cos |OA BC | |OA | |BC | 2416 2 85 32 2 5 . 答案 32 2 5 三、解答题 11已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足OM 1 3 (OA OB OC ) (1)判断MA 、MB 、MC 三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内 解 (1)由已知OA OB OC 3 OM ， OA OM (OM OB )(OM OC )， 即MA BM CM MB MC ， MA ，MB ，MC 共面 (2)由(1)知，MA ，MB ，MC
8、共面且基线过同一点 M， 四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内 12 把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角， 点E、F分别是AD、 BC的中点，点O是原正方形的中心，求： (1)EF的长； (2)折起后EOF的大小 解 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则A（0， 2 2 a,0） ， B（ 2 2 a,0,0） ，C（0， 2 2 a,0） ，D（0,0， 2 2 a），E（0， 2 4 a， 2 4 a）， F（ 2 4 a， 2 4 a,0）. (1)|EF |2 2 4 a0 2 2 4 a 2 4 a 2 0 2 4 a 23 4a
9、2，|EF| 3 2 a. (2)OE 0， 2 4 a， 2 4 a，OF 2 4 a， 2 4 a，0 ， OE OF0 2 4 a 2 4 a 2 4 a 2 4 a0a 2 8 ， |OE |a 2，|OF |a 2，cosOE ，OF OE OF |OE |OF| 1 2， EOF120. 13如图，已知 M、N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且 G 为 AM 上一点，且 GMGA13.求证：B、G、N 三点共线 证明 设AB a，AC b，AD c，则 BG BA AG BA 3 4AM a1 4(abc) 3 4a 1 4b 1 4c， BN BA
10、AN BA 1 3(AC AD ) a1 3b 1 3c 4 3BG . BN BG ，即 B、G、N 三点共线 14如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线 长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB、AD、CD 的中点， 计算： (1)EF BA；(2)EF DC ；(3)EG 的长； (4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值 解 设AB a，AC b，AD c. 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60 ， (1)EF 1 2BD 1 2c 1 2a，BA a，DC bc， EF BA 1 2c 1 2a (a) 1 2a 21 2a c 1 4， (2)EF DC 1 2(ca) (bc) 1 2(b ca bc 2a c)1 4； (3)EG EB BC CG 1 2aba 1 2c 1 2b 1 2a 1 2b 1 2c， |EG |21 4a 21 4b 21 4c 21 2a b 1 2b c 1 2c a 1 2，则|EG | 2 2 . (4)AG 1 2b 1 2c，CE CA AE b1 2a， cosAG ，CE AG CE |AG |CE | 2 3， 由于异面直线所成角的范围是(0 ，90 ， 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为2 3.
