1、第 6 讲 抛物线 一、选择题 1抛物线x 2(2a1)y 的准线方程是y1，则实数a( ) A.5 2 B. 3 2 C 1 2 D 3 2 解析 根据分析把抛物线方程化为x 22 1 2a y，则焦参数 p1 2a， 故抛物线的准线方程是yp 2 1 2a 2 ，则 1 2a 2 1，解得a3 2. 答案 D 2若抛物线y 22px(p0)的焦点在圆 x 2y22x30 上，则 p( ) A.1 2 B1 C2 D3 解析 抛物线y 22px(p0)的焦点为(p 2，0)在圆 x 2y22x30 上，p 2 4 p30，解得p2 或p6(舍去) 答案答案 C C 3已知抛物线 C：y24x
2、 的焦点为 F，直线 y2x4 与 C 交于 A，B 两点，则 cosAFB ( ) A.4 5 B.3 5 C3 5 D4 5 解析 由 y24x y2x4， 得 x25x40，x1 或 x4.不妨设 A(4,4)，B(1， 2)，则|FA |5，|FB|2，FA FB(3,4) (0，2)8，cosAFBFA FB |FA |FB| 8 52 4 5.故选 D. 答案 D 4已知双曲线 C1：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x 22py(p0) 的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为 ( ) Ax28 3 3 y Bx216
3、 3 3 y Cx28y Dx216y 解析 x 2 a2 y2 b21 的离心率为 2， c a2， 即 c2 a2 a2b2 a2 4， b a 3.x 22py 的焦点坐标为 0，p 2 ， x2 a2 y2 b21 的渐近线方程为 y b ax，即 y 3x.由题意， 得 p 2 1 322，p8.故 C 2：x216y，选 D. 答案 D 5已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点， |AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为( ) A18 B24 C36 D48 解析 如图，设抛物线方程为 y 22px(p0) 当xp 2时，|y|p， p|AB
4、| 2 12 2 6. 又P到AB的距离始终为p， SABP1 212636. 答案 C 6已知 P 是抛物线 y24x 上一动点，则点 P 到直线 l：2xy30 和 y 轴的距 离之和的最小值是 ( ) A. 3 B. 5 C2 D. 51 解析 由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)设点 P 到直线 l 的距离为 d，由抛 物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为|PF|1，所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d|PF|1.易知 d|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离， 故 d|PF|的最小值为 |23| 2212 5，所以 d|PF|1 的最小值为 51.
5、 答案 D 二、填空题 7已知动圆过点(1,0)，且与直线x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 _ 解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x 1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 24x. 答案 y 24x 8已知抛物线y 24x 的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点， 且满足|NF| 3 2 |MN|，则NMF_. 解析 过N作准线的垂线，垂足是P，则有PNNF，PN 3 2 MN，NMF MNP.又 cosMNP 3 2 ， MNP 6 ，即NMF 6 . 答案 6 9如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面
6、 2 米，水面宽 4 米水位下 降 1 米后，水面宽_米 解析 如图建立平面直角坐标系，设抛物线方 程为x22py.由题意A(2， 2)代入x22py， 得 p1，故 x22y.设 B(x，3)，代入 x2 2y 中，得 x 6，故水面宽为 2 6米 答案 2 6 10 过抛物线 y22x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A， B 两点， 若|AB|25 12， |AF|0)的离心率为 3 3 ，以原点为圆心、椭圆短半轴长为 半径的圆与直线 yx2 相切 (1)求 a 与 b； (2)设该椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l1过 F2且与 x 轴垂直，动直线 l2与 y 轴垂直， l2交
7、 l1于点 P.求线段 PF1的垂直平分线与 l2的交点 M 的轨迹方 程，并指明曲线类型 解 (1)由 ec a 1b 2 a2 3 3 ，得b a 6 3 . 又由原点到直线 yx2 的距离等于椭圆短半轴的长，得 b 2，则 a 3. (2)法一 由 ca2b21，得 F1(1,0)，F2(1,0) 设 M(x，y)，则 P(1，y) 由|MF1|MP|，得(x1)2y2(x1)2，即 y24x，所以所求的 M 的轨迹方 程为 y24x，该曲线为抛物线 法二 因为点 M 在线段 PF1的垂直平分线上，所以|MF1|MP|，即 M 到 F1 的距离等于 M 到 l1的距离此轨迹是以 F1(1
8、,0)为焦点，l1：x1 为准线的 抛物线，轨迹方程为 y24x. 12已知抛物线 C：y24x，过点 A(1,0)的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点，设AP AQ . (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； (2)若 1 3， 1 2 ，求|PQ|的最大值 思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线 MQ 过 F；(2)建立|PQ|和 的关系，然 后求最值 (1)证明 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，y1) AP AQ ，x11(x21)，y1y2， y212y22，y214x1，y224x2，x12x2， 2x21(x21
9、)，x2(1)1， 1，x21 ，x1，又 F(1,0)， MF (1x1，y1)(1，y2) 1 1，y2 FQ ， 直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F. (2)由(1)知 x21 ，x1， 得 x1x21，y21 y2216x1x216， y1y20，y1y24， 则|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2 x21x22y21y222(x1x2y1y2) 1 24 1 12 1 2 216， 1 3， 1 2 ，1 5 2， 10 3 ， 当 1 10 3 ，即 1 3时，|PQ| 2 有最大值112 9 ，|PQ|的最大值为4 7 3 . 13设抛物线 C：x22py(p0)的焦点为
10、F，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点 (1)若BFD90 ，ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及圆 F 的方程； (2)若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公 共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值 解 (1)由已知可得BFD 为等腰直角三角形，|BD|2p，圆 F 的半径|FA| 2 p. 由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d|FA| 2p. 因为ABD 的面积为 4 2，所以1 2|BD| d4 2， 即1 2 2p 2p4 2，解得 p2(舍去)或 p2. 所以
11、F(0,1)，圆 F 的方程为 x2(y1)28. (2)因为 A，B，F 三点在同一直线 m 上，所以 AB 为圆 F 的直径，ADB90 . 由抛物线定义知|AD|FA|1 2|AB|. 所以ABD30 ，m 的斜率为 3 3 或 3 3 . 当 m 的斜率为 3 3 时，由已知可设 n：y 3 3 xb，代入 x22py 得 x22 3 3 px 2pb0. 由于 n 与 C 只有一个公共点，故 4 3p 28pb0， 解得 bp 6. 因为 m 的纵截距 b1p 2， |b1| |b| 3， 所以坐标原点到 m，n 距离的比值为 3. 当 m 的斜率为 3 3 时，由图形对称性可知，坐
12、标原点到 m，n 距离的比值为 3. 综上，坐标原点到 m，n 距离的比值为 3. 14如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1， y1)，B(x2，y2)均在抛物线上 (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 22px(p0) 点P(1,2)在抛物线上，2 22p1，解得 p2. 故所求抛物线的方程是y 24x，准线方程是 x1. (2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB， 则kPAy 12 x11(x 11)，kPBy 22 x21(x 21)， PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB. 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得 y 2 14x1， y 2 24x2， y12 1 4y 2 11 y22 1 4y 2 21 ，y12(y22) y1y24. 由得，y 2 1y 2 24(x1x2)， kABy 1y2 x1x2 4 y1y21(x 1x2)
