1、第 6 讲 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1在ABC中，C60，AB 3，BC 2，那么A等于( ) A135 B105 C45 D75 解析 由正弦定理知 BC sin A AB sin C，即 2 sin A 3 sin 60，所以 sin A 2 2 ， 又由题知，BCAB，A45. 答案 C 2已知a，b，c是ABC三边之长，若满足等式(abc)(abc)ab，则角 C的大小为( ) A60 B90 C120 D150 解析 由(abc)(abc)ab，得(ab) 2c2ab， c 2a2b2aba2b22abcos C， cos C1 2，C120. 答案 C 3在ABC 中，角
2、A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若角 A，B，C 依次成 等差数列，且 a1，b 3，则 SABC ( ) A. 2 B. 3 C. 3 2 D2 解析 A，B，C 成等差数列，AC2B，B60 . 又 a1，b 3， a sin A b sin B， sin Aasin B b 3 2 1 3 1 2， A30 ，C90 .SABC1 21 3 3 2 . 答案 C 4在ABC 中，AC 7，BC2，B60 ，则 BC 边上的高等于 ( ) A. 3 2 B.3 3 2 C. 3 6 2 D. 3 39 4 解析 设 ABc，BC 边上的高为 h. 由余弦定理，得 AC2c2BC2
3、2BC ccos 60 ，即 7c24 4ccos 60 ，即 c22c30，c3(负值舍去) 又 hc sin 60 3 3 2 3 3 2 ，故选 B. 答案 B 5在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a，b3(0)， A45，则满足此条件的三角形个数是( ) A0 B1 C2 D无数个 解析 直接根据正弦定理可得 a sin A b sin B ，可得 sin B bsin A a 3sin 45 6 2 1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为 0. 答案 A 6已知ABC 的面积为 3 2 ，AC 3，ABC 3，则ABC 的周长等于 ( ) A3 3 B3 3 C2
4、3 D.3 3 2 解析 由余弦定理得 b2a2c22accos B， 即 a2c2ac3.又ABC 的面积 为1 2acsin 3 3 2 ，即 ac2，所以 a2c22ac9，所以 ac3，即 acb 3 3，故选 A. 答案 A 二、填空题 7如图，ABC中，ABAC2，BC2 3，点D在BC边上，ADC45，则 AD的长度等于_ 解析 在ABC中，ABAC2，BC2 3，cos C 3 2 ，sin C1 2；在 ADC中，由正弦定理得， AD sin C AC sinADC， AD 2 sin 45 1 2 2. 答案 2 8已知ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦
5、值为 _ 解析 依题意得，ABC 的三边长分别为 a， 2a,2a(a0)，则最大边 2a 所对 的角的余弦值为：a 2 2a22a2 2a 2a 2 4 . 答案 2 4 9在 RtABC 中，C90 ，且 A，B，C 所对的边 a，b，c 满足 abcx，则实 数 x 的取值范围是_ 解析 xab c sin Asin B sin C sin Acos A 2sin A 4 .又 A 0， 2 ， 4 A 4 3 4 ， 2 2 sin A 4 1，即 x(1， 2 答案 (1， 2 10若AB2，AC 2BC，则SABC的最大值_ 解析 (数形结合法)因为AB2(定长)，可以令AB所在的
6、直线为x轴，其中 垂线为y轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由AC 2 BC， 得 x 2y2 2 x 2y2，化简得(x3)2y28， 即C在以(3,0)为圆心，2 2为半径的圆上运动， 所以SABC1 2|AB|y C|yC|2 2，故答案为 2 2. 答案 2 2 三、解答题 11叙述并证明余弦定理 解 余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它 们夹角的余弦之积的两倍或：在ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有 a 2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C， 法一 如图(1)， 图(
7、1) a 2BCBC (AC AB)(ACAB) AC 22ACABAB2 AC 22|AC|AB|cos AAB2 b 22bccos Ac2，即 a 2b2c22bccos A. 同理可证b 2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C. 法二 图(2) 已知ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图(2)则C(bcos A，bsin A)，B(c,0)， a 2|BC|2(bcos Ac)2(bsin A)2 b 2cos2A2bccos Ac2b2sin2A b 2c22bccos A. 同理可证b 2c2a22cacos
8、 B， c 2a2b22abcos C. 12在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 cos A2 3，sin B 5 cos C. (1)求 tan C 的值； (2)若 a 2，求ABC 的面积 解 (1)因为 0A，cos A2 3， 得 sin A 1cos2A 5 3 . 又 5cos Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C 5 3 cos C2 3sin C. 所以 tan C 5. (2)由 tan C 5，得 sin C 5 6，cos C 1 6. 于是 sin B 5cos C 5 6. 由 a 2及正弦定理 a sin
9、A c sin C，得 c 3. 设ABC 的面积为 S，则 S1 2acsin B 5 2 . 13 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点(a，b)在直线 x(sin A sin B)ysin Bcsin C 上 (1)求角 C 的值； (2)若 a2b26(ab)18，求ABC 的面积 解 (1)由题意得 a(sin Asin B)bsin Bcsin C， 由正弦定理，得 a(ab)b2c2， 即 a2b2c2ab， 由余弦定理，得 cos Ca 2b2c2 2ab 1 2， 结合 0C，得 C 3. (2)由 a2b26(ab)18，得(a3)2(b3)20， 从
10、而得 ab3， 所以ABC 的面积 S1 23 2sin 3 9 3 4 . 14 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 A 4，bsin 4C csin 4B a. (1)求证：BC 2； (2)若 a 2，求ABC 的面积 (1)证明 由 bsin 4C csin 4B a 应用正弦定理，得 sin Bsin 4C sin Csin 4B sin A， sin B 2 2 sin C 2 2 cos C sin C 2 2 sin B 2 2 cos B 2 2 ， 整理得 sin Bcos Ccos Bsin C1，即 sin(BC)1. 由于 0B，C3 4，从而 BC 2. (2)解 BCA3 4 ，因此 B5 8 ，C 8. 由 a 2，A 4， 得 basin B sin A 2sin 5 8 ，casin C sin A 2sin 8， 所以ABC 的面积 S1 2bcsin A 2sin5 8 sin 8 2cos 8sin 8 1 2.
