1、第 7 讲 直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题 1直线 4kx4yk0 与抛物线 y2x 交于 A，B 两点，若|AB|4，则弦 AB 的 中点到直线 x1 20 的距离等于 ( ) A.7 4 B2 C.9 4 D4 解析 直线 4kx4yk0，即 yk x1 4 ，即直线 4kx4yk0 过抛物线 y2x 的焦点 1 4，0 .设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2 1 24，故 x1x2 7 2， 则弦 AB 的中点的横坐标是 7 4， 弦 AB 的中点到直线 x 1 20 的距离是 7 4 1 2 9 4. 答案 C 2设斜率为 2 2 的直线 l 与椭圆x 2
2、a2 y2 b21(ab0)交于不同的两点，且这两个交点 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ( ) A. 3 3 B.1 2 C. 2 2 D.1 3 解析 由于直线与椭圆的两交点 A，B 在 x 轴上的射影分别为左、右焦点 F1， F2，故|AF1|BF2|b 2 a ，设直线与 x 轴交于 C 点，又直线倾斜角 的正切值为 2 2 ，结合图形易得 tan 2 2 |AF1| |CF1| |BF2| |CF2|，故|CF1|CF2| 2 2b2 a |F1F2| 2c，整理并化简得 2b2 2(a2c2)ac，即 2(1e2)e，解得 e 2 2 . 答案 C 3
3、抛物线 y22px 与直线 2xya0 交于 A， B 两点， 其中点 A 的坐标为(1,2)， 设抛物线的焦点为 F，则|FA|FB|的值等于 ( ) A7 B3 5 C6 D5 解析 点 A(1,2)在抛物线 y22px 和直线 2xya0 上，则 p2，a4， F(1,0)，则 B(4，4)，故|FA|FB|7. 答案 A 4设双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e，过 F2的直线与双曲线的右支交于 A，B 两点，若F1AB 是以 A 为直角顶点的等 腰直角三角形，则 e2 ( ) A12 2 B42 2 C52 2 D32 2 解析
4、如图，设|AF1|m，则|BF1| 2m，|AF2| m2a，|BF2| 2m2a，|AB|AF2| |BF2|m2a 2m2am，得 m2 2a， 又由|AF1|2|AF2|2|F1F2|2， 可得 m2(m2a)2 4c2，即得(208 2)a24c2，e2c 2 a25 2 2，故应选 C. 答案 C 5已知直线 l：yk(x2)(k0)与抛物线 C：y28x 交于 A，B 两点，F 为抛物 线 C 的焦点，若|AF|2|BF|，则 k 的值是 ( ) A.1 3 B.2 2 3 C2 2 D. 2 4 解析 法一 据题意画图，作 AA1l，BB1 l，BDAA1. 设直线 l 的倾斜角
5、为 ，|AF|2|BF|2r， 则|AA1|2|BB1|2|AD|2r， 所以有|AB|3r，|AD|r， 则|BD|2 2r，ktan tanBAD|BD| |AD| 2 2. 法二 直线 yk(x2)恰好经过抛物线 y28x 的焦点 F(2,0)，由 y28x， ykx2， 可得 ky28y16k0，因为|FA|2|FB|，所以 yA2yB.则 yA yB2yByB8 k，所以 yB 8 k，yA yB16，所以2y 2 B16，即 yB 2 2.又 k0，故 k2 2. 答案 C 6过双曲线x 2 a2 y2 5a21(a0)的右焦点 F 作一条直线，当直线斜率为 2 时，直 线与双曲线
6、左、右两支各有一个交点；当直线斜率为 3 时，直线与双曲线右 支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A( 2，5) B( 5， 10) C(1， 2) D(5,5 2) 解析 令 b 5a2，ca2b2，则双曲线的离心率为 ec a，双曲线的渐 近线的斜率为 b a. 据题意，20)，F( 2，0)为其右焦点，过 F 垂直于 x 轴的直 线与椭圆相交所得的弦长为 2，则椭圆 C 的方程为_ 解析 由题意，得 c 2， b2 a 1， a2b2c2， 解得 a2， b 2， 椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 21. 答案 x2 4 y2 21 9 过椭圆x 2 a2 y2 b2
7、1(ab0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点 为 M，与 y 轴的交点为 B，若|AM|MB|，则该椭圆的离心率为_ 解析 由题意知 A 点的坐标为(a,0)，l 的方程为 yxa，B 点的坐标为 (0，a)，故 M 点的坐标为 a 2， a 2 ，代入椭圆方程得 a23b2，c22b2，e 6 3 . 答案 6 3 10已知曲线x 2 a y2 b1(a b0，且 ab)与直线 xy10 相交于 P，Q 两点， 且OP OQ 0(O 为原点)，则1 a 1 b的值为_ 解析 将 y1x 代入x 2 a y2 b1，得(ba)x 22ax(aab)0.设 P(x1，y1)，
8、 Q(x2， y2)， 则 x1x2 2a ab， x1x2 aab ab .OP OQ x1x2y1y2x1x2(1x1) (1 x2)2x1x2(x1x2)1.所以2a2ab ab 2a ab10，即 2a2ab2aab 0，即 ba2ab，所以1 a 1 b2. 答案 2 三、解答题 11 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l 与抛物线 y24x 相交于不同的 A， B 两点 (1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求OA OB 的值； (2)如果OA OB 4，证明：直线 l 必过一定点，并求出该定点 (1)解 由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设 l：xty1，代入抛物线 y24x，
9、 消去 x 得 y24ty40，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1y24t，y1y24， OA OB x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2 t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143. (2)证明 设 l：xtyb，代入抛物线 y24x， 消去 x 得 y24ty4b0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1y24t，y1y24b， OA OB x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2 t2y1y2bt(y1y2)b2y1y2 4bt24bt2b24bb24b. 令 b24b4，b24b40，b2， 直线 l 过定点(2,0) 若O
10、A OB 4，则直线 l 必过一定点 12给出双曲线 x2y 2 21. (1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程； (2)若过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于 P1，P2两点，求线段 P1P2的中点 P 的轨迹方程； (3)过点 B(1,1)能否作直线 m， 使得 m 与双曲线交于两点 Q1， Q2， 且 B 是 Q1Q2 的中点？这样的直线 m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由 解 (1)设弦的两端点为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 2x21y212， 2x22y222， 两式相减得 到 2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又 x1
11、x24，y1y22， 所以直线斜率 ky 1y2 x1x24. 故求得直线方程为 4xy70. (2)设 P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 按照(1)的解法可得y 1y2 x1x2 2x y ， 由于 P1，P2，P，A 四点共线， 得y 1y2 x1x2 y1 x2， 由可得2x y y1 x2，整理得 2x 2y24xy0，检验当 x1x2 时，x2，y 0 也满足方程，故 P1P2的中点 P 的轨迹方程是 2x2y24xy0. (3)假设满足题设条件的直线 m 存在，按照(1)的解法可得直线 m 的方程为 y 2x1. 考虑到方程组 y2x1， x2y 2 21 无
12、解， 因此满足题设条件的直线 m 是不存在的 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：2x2y21. (1)过 C1的左顶点引 C1的一条渐近线的平行线， 求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积 (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1于 P、Q 两点若 l 与圆 x2y21 相切，求证： OPOQ. (3)设椭圆 C2：4x2y21.若 M、N 分别是 C1、C2上的动点，且 OMON， 求证：O 到直线 MN 的距离是定值 (1)解 双曲线 C1：x 2 1 2 y21，左顶点 A 2 2 ，0 ，渐近线方程：y 2x. 不妨取过点 A 与渐近线 y 2x 平行的直
13、线方程为 y 2 x 2 2 ，即 y 2x1. 解方程组 y 2x， y 2x1 得 x 2 4 ， y1 2. 所以所求三角形的面积为 S1 2|OA|y| 2 8 . (2)证明 设直线 PQ 的方程是 yxb. 因为直线 PQ 与已知圆相切，故 |b| 21，即 b 22. 由 yxb， 2x2y21 得 x22bxb210. 设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则 x1x22b， x1x21b2. 又 y1y2(x1b)(x2b)，所以 OP OQ x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b2 2(1b2)2b2b2b220. 故 OPOQ. (3)证明 当直线 ON 垂直于 x
14、 轴时， |ON|1，|OM| 2 2 ，则 O 到直线 MN 的距离为 3 3 . 当直线 ON 不垂直于 x 轴时，设直线 ON 的方程为 ykx 显然|k| 2 2 ， 则直线 OM 的方程为 y1 kx. 由 ykx， 4x2y21 得 x2 1 4k2， y2 k2 4k2， 所以|ON|21k 2 4k2. 同理|OM|2 1k2 2k21. 设 O 到直线 MN 的距离为 d， 因为(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2， 所以 1 d2 1 |OM|2 1 |ON|2 3k23 k21 3，即 d 3 3 . 综上，O 到直线 MN 的距离是定值 14在圆 x2y24
15、 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段，D 为垂足，点 M 在 线段 PD 上，且|DP| 2|DM|，点 P 在圆上运动 (1)求点 M 的轨迹方程； (2)过定点 C(1,0)的直线与点 M 的轨迹交于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在 点 N，使NA NB为常数，若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 解 (1)设 P(x0，y0)，M(x，y)，则 x0x，y0 2y. P(x0，y0)在 x2y24 上，x20y204. x22y24，即x 2 4 y2 21. 点 M 的轨迹方程为x 2 4 y2 21(x 2) (2)假设存在当直线 AB 与 x 轴不垂直时，
16、 设直线 AB 的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)， 联立方程组 ykx1， x2 4 y2 21， 整理得(12k2)x24k2x2k240， x1x2 4k2 12k2，x1x2 2k24 12k2. NA NB(x 1n，y1) (x2n，y2) (1k2)x1 x2(x1x2)(k2n)n2k2 (1k2)2k 24 12k2(k 2n)4k 2 12k2k 2n2 k 24n14 12k2 n2 1 22k 214n11 24n14 12k2 n2 1 2(2n 24n1) 2n7 2 12k2. NA NB是与 k 无关的常数，2n7 20. n7 4，即 N 7 4，0 ，此时NA NB15 16. 当直线 AB 与 x 轴垂直时，若 n7 4，则NA NB15 16. 综上所述，在 x 轴上存在定点 N 7 4，0 ，使NA NB为常数
