1、1 第三章第三章导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 专题 2 导数与函数的极 值 (2015甘肃省兰州一中三模,导数与函数的极值,选择题,理 11)函数 f(x)=(x-a)ex在区间(2,3)内没有极 值点,则实数 a的取值范围是( ) A.(-,34,+) B.3,4 C.(-,3 D.4,+) 解析:f(x)=(x-a)ex, f(x)=(x+1-a)ex, 函数 f(x)=(x-a)ex在区间(2,3)内没有极值点, x+1-a0或 x+1-a0在区间(2,3)内恒成立, 即 ax+1或 ax+1在区间(2,3)内恒成立, a3或 a4.
2、 故实数 a的取值范围是(-,34,+). 答案:A 专题 3 导数与函数的最 值 (2015甘肃省兰州一中三模,导数与函数的最值,解答题,理 21)已知函数 f(x)=aln x+x2(a 为实数). (1)求函数 f(x)在区间1,e上的最小值及相应的 x 值; (2)若存在 x1,e,使得 f(x)(a+2)x成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f(x)=alnx+x2的定义域为1,e, f(x)=+2x=, 当 x1,e时,2x22,2e2, 若 a-2,f(x)在1,e上非负(仅当 a=-2,x=1时,f(x)=0), 故 f(x)在1,e上单调递增,此时 f(x)min=f(
3、1)=1; 若-2e20, 从而 g(x)0(仅当 x=1时取等号), g(x)在1,e上是增函数, 2 故 g(x)min=g(1)=-1, 实数 a的取值范围是-1,+). 3.3 导数的综合应用导数的综合应用 专题 3 利用导数解决不等式的有关问题 (2015河南省洛阳市高考数学二模,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理 21)已知函数 f(x)=ax-xln a(a1),g(x)=b-x2,e 为自然对数的底数. (1)当 a=e,b=5 时,求整数 n的值,使得方程 f(x)=g(x)在区间(n,n+1)内有解; (2)若存在 x1,x2-1,1,使得 f(x1)+g(x2)+f
4、(x2)+g(x1)+e 成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)令 F(x)=f(x)-g(x)=ax-xlna+x2-b, 当 a=e,b=5 时,F(x)=ex-x+x2-5,F(x)=ex-1+3x; 当 x0时,F(x)0,则 F(x)在(0,+)上为增函数, 当 x0 时,由 a1,得 ax-10,lna0,故 F(x)0; 当 x=0 时,F(x)=0; 当 x1,得 ax-10,故 F(x)1); 设 h(a)=a-2lna(a0), 则 h(a)=1+0, (当且仅当 a=1 时,等号成立) h(a)在(0,+)上为增函数,而 h(1)=0; 故当 a1时,h(a)h(1)
5、=0; F(1)F(-1); 故 F(1)-F(0)e-; 化简可得,a-lnae-lne, 且易知 m(a)=a-lna在(1,+)上是增函数, 故 ae; 即实数 a的取值范围为e,+). (2015河南省六市高考数学二模,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理 21)已知函数 f(x)=(其 中 kR,e=2.718 28是自然数的底数),f(x)为 f(x)的导函数. (1)当 k=2时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)若 x(0,1时,f(x)=0 都有解,求 k的取值范围; (3)若 f(1)=0,试证明:对任意 x0,f(x)0), 3 f(1)=-
6、,f(1)=,在点(1,f(1)处的切线方程为 y-=-(x-1), 即为 y=-x+. (2)解:f(x)=0,即=0,即有 k=, 令 F(x)=,由 0e-2时,h(x)0 时,(x)0,(x)0, (x)(0)=0,则 x0 时,(x)=ex-(x+1)0,即1. 即 1-x-xlnxe-2+10,f(x)0.故 a0不符合题意; 当 2a1即 a时,因为 x0,故(x+1)21,所以 1-2a(x+1)20,故此时 h(x)0恒成立,所以 h(x) 在定义域内递减,所以 h(x)max=h(0)=0, 所以此时 h(x)0在定义域内恒成立,故此时 f(x)ax2恒成立,所以 a符合题
7、意; 当 00,故此时 h(x)递增;当 x时,h(x)0 时,f(x)1 恒成立,求 a 的取值范围; (3)求证:ln(x+1)+(nN*). (1)解:当 a=时,f(x)=(x-1), 令 f(x)(x+2)-(x+2)ln(x+1), 记 g(x)=(x+2)1-ln(x+1),则 g(x)=1-ln(x+1)-=-ln(x+1)-. 当 x0时 g(x)1(x0), ln(x+1). 4 取 x=得 ln,即 ln. ln+ln+ln+ln+. 专题 4 定积分在物理中的应 用 (2015甘肃省张掖市高考数学 4 月模拟,定积分在物理中的应用,填空题,理 14)设 x,y满足约束 条件则 M(x,y)所在平面区域的面积为 . 解析:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 x+2y=2 得 y=1-x,由 ex-y=0 得 y=ex,则由积分的意义可知, 所求的面积为 S=dx = =e2-2+1-1=e2-2,故答案为 e2-2. 答案:e2-2 (2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,定积分在物理中的应用,填空题,理 13)(1+cos x)dx= . 解析:(1+cos x)dx=(x+sin x)+1-=+2. 答案:+2
