1、1 第五章第五章平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 专题 1 平面向量的线性运算及几何意义 (2015东北三省四市教研联合体高三模拟一,平面向量的线性运算及几何意义,选择题,理 11)若 G是 ABC 的重心,a,b,c 分别是角 A,B,C的对边,且 a+b=0,则角 A=( ) A.90 B.60 C.45 D.30 解析:由重心性质可知=0,故=-,代入 a+b=0 中得-a-a+b=0,即(b-a)=0,因为不共线,则故 cosA=.因为 0A180,所以 A=30,故选 D. 答案:D 5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示平面向量基本定理及向量的坐
2、标表示 专题 2 平面向量的坐标运 算 (2015辽宁重点中学协作体高考模拟,平面向量的坐标运算,选择题,理 10)已知向量 a,b 为单位向 量,a b=,向量 c 满足 a-c 与 b-c 的夹角为,则|a-c|的最大值为( ) A. B.4 C. D.2 解析:依题意得向量 a 与 b 的夹角为,作=a,=b,=c,则AOB是正三角形,AB=1,a-c=,b-c=的夹角为 ACB=.在ABC中,由正弦定理,得 AC=2sinB2,即|a-c|2,|a-c|的最大值是 2.故选 D. 答案:D (2015东北三省三校高三二模,平面向量的坐标运算,选择题,理 5)已知向量与向量 a=(1,-
3、2)的夹角为 ,|=2,点 A 的坐标为(3,-4),则点 B的坐标为( ) A.(1,0) B.(0,1) C.(5,-8) D.(-8,5) 解析:依题意,设=a,其中 0,则有|=|a|=-|a|,2=-,=-2,=-2a=(-2,4),因此点 B的坐标是(-2,4)+(3,- 4)=(1,0),故选 A. 答案:A 5.3 平面向量的数量积平面向量的数量积 专题 1 平面向量数量积的运 算 (2015辽宁大连高三双基测试,平面向量数量积的运算,选择题,理 8)若两个非零向量 a,b,满足 |a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 a+b 与 a-b 的夹角是( ) A. B. C. D
4、. 解析:依题意得(a+b)2-(a-b)2=4a b=0,ab.(a+b)2=4a2,即 a2+b2+2a b=|a|2+|b|2=4|a|2,|b|2=3|a|2,(a+b) (a-b)=a2-b2=-2|a|2,因此向量 a+b 与 a-b 的夹角的余弦等 于=-,向量 a+b 与 a-b 的夹角为,故选 C. 答案:C (2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,平面向量数量积的运算,选择题,理 3)已知|a|=1,|b|=,且 a(a-b),则向量 a 与向量 b 的夹角为( ) A. B. C. D. 2 解析:利用数量积的运算法则求解.由 a(a-b),得 a (a-b)=|a|
5、2-a b=0,则 a b=|a|2=1.设=, 0,则 cos=,所以 =,故选 B. 答案:B (2015银川高中教学质量检测,平面向量数量积的运算,选择题,理 3)在ABC中,已知 ACB=90,CA=3,CB=4,点 E 是边 AB 的中点,则=( ) A.2 B. C. D.- 解析:利用平面向量的运算法则求解.) ()=(|2-|2)=,故选 B. 答案:B (2015银川二中高三一模,平面向量数量积的运算,填空题,理 13)已知向量 a,b 的夹角为 120,若 |a|=3,|b|=4,|a+b|=|a|,则实数 的值为 . 解析:|a+b|=,故 =. 答案: (2015东北三
6、省三校高三第一次联考,平面向量数量积的运算,填空题,理 13)向量 a,b 满足 |a|=1,|b=,(a+b)(2a-b),则向量 a 与 b 的夹角为 . 解析:因为(a+b) (2a-b)=0,所以 2a2+a b-b2=0,即 a b=-2a2+b2=0,故 ab,向量 a 与 b 的夹角为 90. 答案:90 5.4 平面向量的应用平面向量的应用 专题 4 平面向量在解析几何中的应用 (2015东北三省三校高三二模,平面向量在解析几何中的应用,填空题,理 16)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y2=16,点 P(2,2),M,N 是圆 O上相异两点,且 PMPN,若,
7、则|的取值范围 是 . 解析:依题意可知四边形 PMQN 是矩形,|OP|2+|OQ|2=|OM|2+|ON|2(注:一个矩形所在平面内的任意一 点到其两个相对顶点的距离的平方和相等,证明如下:设点 E是矩形 ABCD所在平面内任意一点,O 是 矩形的中心,则有|EA|2+|EC|2=()2+()2=(4)2;同理|EB|2+|ED|2=()2+()2=(4);由四边形 ABCD 是矩形得, 因此有|EA|2+|EC|2=|EB|2+|ED|2,于是有|OQ|2=|OM|2+|ON|2-|OP|2=24,|OQ|=2,点 Q 位于以点 O为圆 心,2为半径的圆周上,结论图形(图略)可知,|的最小值、最大值分别为 2-|=2-2,2+|=2+2,因此|的取 值范围是2-2,2+2. 答案:2-2,2+2
