1、 问题问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？们有何物理性质？ 提示：都能导电提示：都能导电 问题问题2：由问题：由问题1你能得出什么结论？你能得出什么结论？ 提示：一切金属都能导电提示：一切金属都能导电问题问题3：若数列：若数列an的前四项为的前四项为2,4,6,8，试写出，试写出an.提示：提示：an2n(nN)问题问题4：上面问题：上面问题2、3得出结论有何特点？得出结论有何特点？提示：都是由几个特殊事例得出一般结论提示：都是由几个特殊事例得出一般结论归纳推理归纳推理定义定义 特征特征根据一类事物中根据一类事物中 具有某种属性
2、，推断该类事物中具有某种属性，推断该类事物中 都有这种属性，将都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理这种推理方式称为归纳推理.归纳推理是归纳推理是由由 ，由，由 的推理的推理.部分事物部分事物每一每一个事物个事物部分到整体部分到整体个别到一般个别到一般 1.归纳推理的特点归纳推理的特点 （1）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳归纳推理不能作为数学证明的工具；推理不能作为数学证明的工具； （2）一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代）一般地，如果归纳的个
3、别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠。表性，那么推广的一般性结论也就越可靠。一点通一点通根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等；代数式的相同或相似之处等；(2)提炼出数、式的变化规律；提炼出数、式的变化规律；(3)运用归纳推理写出一般结论运用归纳推理写出一般结论若改为若改为求通项求通项公式，公式，绝对不绝对不能这样能这样做做7912345611111169123451111159123411114912311139121
4、12912、根据给出的数塔猜测、根据给出的数塔猜测等于等于 ( ) A、 111111 B、1111111 C、2111111 D、3111111, 181322, 283522, 385722, 4879223、由此得到的结论是由此得到的结论是:B,8) 12() 12(22nnn4把把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形形试求第七个三角形数是试求第七个三角形数是 ()A27B28 C29 D30解析：解析：第七个三角形数为第七个三角形数为123456728
5、.答案：答案：B5将自然数将自然数0,1,2，按照如下形式进行摆放：，按照如下形式进行摆放：根据以上规律判定，从根据以上规律判定，从2 010到到2 012的箭头方向是的箭头方向是()解析：解析：本题中的数字及箭头方向都有一定的规律箭头每经过本题中的数字及箭头方向都有一定的规律箭头每经过四个数就要重复出现，即以四个数就要重复出现，即以4为周期变化为周期变化.2 012恰好是恰好是4的倍数，的倍数，2 010应该与应该与2的起始位置相同的起始位置相同答案：答案：C5设平面内有设平面内有n条直线条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用相平行，
6、任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这表示这n条条直线交点的个数，则直线交点的个数，则f(4)_；当；当n4时，时，f(n)_.(用含用含n的数学表达式表示的数学表达式表示)解析：解析：画图可知，画图可知，f(4)5，当，当n4时，时，可得递推式可得递推式f(n)f(n1)n1，由，由f(n)f(n1)n1，f(n1)f(n2)n2，一点通一点通解决此类问题可以从两个方面入手：解决此类问题可以从两个方面入手： (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系的关系 (2)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构每发从图形的结构变化规律入手，发现图形
7、的结构每发生一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变生一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化化即列举，归纳，猜想即列举，归纳，猜想 例例2数一数图中的凸多面体的面数数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数、顶点数V和棱和棱数数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系，然后用归纳推理得出它们之间的关系多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 8多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)
8、(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 61010多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 610107 77 79 916169
9、91010151510101515F+V-E=2F+V-E=2猜想欧拉公式问题问题1：试写出三角形的两个性质：试写出三角形的两个性质 问题问题2：你能由三角形的性质推测空间四面：你能由三角形的性质推测空间四面体的性质吗？试写出来体的性质吗？试写出来 问题问题3：试想由三角形的性质推测四面体的性质体现：试想由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么？了什么？提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊即由特殊到特殊1.1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿, ,发明了锯发明了锯2.2.仿照鱼类的外型
10、和它们在水中沉浮的原理仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, ,发明了潜发明了潜水艇水艇. .3.3.科学家对火星进行研究科学家对火星进行研究, ,发现火星与地球有许多类似发现火星与地球有许多类似的特征的特征; 1); 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; ; 2)2)有大气层有大气层, ,在一年中也有季节变更在一年中也有季节变更; ; 3)3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存生存, ,等等等等. . 科学家科学家猜想猜想; ;火星上也可能有生命存在火星上也可能有生命存在. .4)4)利用平面向量
11、的本定理类比利用平面向量的本定理类比得到得到空间向量的基本定理空间向量的基本定理. .定义定义特征特征由于由于两类不同对象两类不同对象具有某些具有某些 ，在此基础上，根据，在此基础上，根据一类一类对象的对象的其他特征，推断其他特征，推断另一类另一类对象也具有对象也具有 ，把这种推理过程称为类比推，把这种推理过程称为类比推理理.类比推理是类比推理是 之间的推理之间的推理.类似的类似的特特征征类似的类似的其他其他特征特征两类事物两类事物特征特征 2.类比推理的特点类比推理的特点 （1）运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象；）运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象； （2）如果类比的两类对象的相似
12、性越多，相似的性质）如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠；与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠； （3）由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论）由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理不能作为数学证明的工具理不能作为数学证明的工具.类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤:观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论 例例3找出圆与球的相似性质，并用圆的下找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性
13、质列性质类比球的有关性质(1)圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线垂直于弦；中点的连线垂直于弦；(2)与圆心距离相等的两弦长相等；与圆心距离相等的两弦长相等；(3)圆的周长圆的周长Cd(d是直径是直径)；(4)圆的面积圆的面积Sr2. 思路点拨思路点拨先找出相似的性质再类比，一般是先找出相似的性质再类比，一般是 点类比线、线类比面、面类比体点类比线、线类比面、面类比体 精解详析精解详析圆与球有下列相似的性质：圆与球有下列相似的性质： (1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于点构成的集合；球面是空间中到一
14、定点的距离等于定长的所有点构成的集合定长的所有点构成的集合 (2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形 通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.圆圆球球圆心与圆心与弦弦(非直径非直径)中点的连中点的连线垂直于线垂直于弦弦球心与球心与截面截面(不经过球心的小不经过球心的小圆面圆面)圆心的连线垂直于圆心的连线垂直于截面截面与圆心距离相等的两条与圆心距离相等的两条弦长弦长相等相等与球心距离相等的两个与球心距离相等的两个截面的截面的面积面积相
15、等相等圆的圆的周长周长Cd球的球的表面积表面积Sd2圆的圆的面积面积Sr2球的球的体积体积V r3点类比线、线类比面、面类比体点类比线、线类比面、面类比体 一点通一点通解决此类问题，从几何元素的数目、位置关解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：体几何中，相关类比点如下：平面图形平面图形立体图形立体图形点点点、线点、线直线直线直线、平面直线、平面边长边长棱长、面积棱长、面积面积面积体积体积三角形三角形四面体四面体线线角线线角面面角面面角平行四边形平行四边形平行六面体平行六面体
16、圆圆球球1平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到们可以得到 ( )A空间中平行于同一直线的两直线平行空间中平行于同一直线的两直线平行B空间中平行于同一平面的两直线平行空间中平行于同一平面的两直线平行C空间中平行于同一直线的两平面平行空间中平行于同一直线的两平面平行D空间中平行于同一平面的两平面平行空间中平行于同一平面的两平面平行解析：解析：利用类比推理，平面中的利用类比推理，平面中的直线直线和空间中的和空间中的平面平面类比类比DC3如图所示，在如图所示，在ABC中，射影定理可表示为中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中，
17、其中a，b，c分别为角分别为角A，B，C的对的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想4 4：类比平面内直角三角形的勾股定理，：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC =S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想: :5 5计算机中常用的十六进位制是逢进的计算计算机中常用的十六进位制是逢进的计算制，采用数字制，采
18、用数字- -和字母和字母- -共个计数符共个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；十六进位十六进位十进位十进位例如用进位制表示例如用进位制表示+ +，则，则（）（）十六进位十六进位十进位十进位E E 1用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明明 2进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表进行类比推
19、理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误去类比，就会犯机械类比的错误 3多用下列技巧会提高所得结论的准确性：多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些 (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性性 (3)这些共同这些共同(相似相似)属性应包括类比对象的各个方面，属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面并尽可能是多方面 1. 合情推理的含义合情推理的含义 合情推理是根据合情推理是根据 、 、已有的事实和正确的结论、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式推测出某些结果的推理方式 和和 是最常见的合情推理是最常见的合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理实验和实践的结果实验和实践的结果个人的经验和个人的经验和直觉直觉 2.演绎推理的含义演绎推理的含义 演绎推理是根据演绎推理是根据 和和 ，按照，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。已知的事实已知的事实正确的结论正确的结论
