青 岛 科 技 大 学二OO九年硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数 注意事项：1本试卷共 5 道大题（共计 10 个小题），满分150 分；2本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；3必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。 一（30分） 1. 试证: 整除多项式当且仅当的奇次项系数之和等于偶数项系数之和.2. 把多项式 用初等对称多项式表示出来二 （40分）1. 设是非零实数, 且 ，计算行列式 .2. 设是4维线性空间的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为 （1）求线性变换的值域与核.（2）在的核中取一组基，把它扩充成的一组基，求在这组基下的表示矩阵.第 1 页（共 2 页）三（40分） 1. 设是一组维向量，试证它们线性无关的充分必要条件是任一个维向量均可由它们线性表出2. 设矩阵，矩阵，试证： .四（30分）1. 设级方阵，试证明：若 ，则 .2. 试证：如果两个级矩阵与的行向量组是同一个线性方程组的基础解系，则必存在一个级的满秩矩阵使得.五（10分）1. 设为整系数多项式且 为奇数，试证：在有理数域上不可约.2. 设，把矩阵表示成与型初等矩阵的乘积.第 2 页（共 2 页）.
