1、 第 页（共 2 页） 1 青青 岛岛 科科 技技 大大 学学 二二一一七七年年硕硕士研究生士研究生入学考入学考试试试试题题 1 1 考试科目：考试科目：高等代数高等代数 注意事项：1本试卷共 10 道大题（共计 11 个小题） ，满分 150 分； 2本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划； 3必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。 一、 （15 分）证明：如果( ( ), ( )1,( ( ), ( )1f x g xf x h x，那么( ( ), ( ) ( )1f x g x h x。 二、 （15 分）
2、计算n阶行列式的值（其中0,1,2,.,iain） ： 123111.11111.11111.11.111.11naaDaa 三、 （15 分）给定线性方程组123123123112axxxxaxxxxax ，讨论当a取何值时，方程组有唯一解、无解、 有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解. 四、 （15 分）求实二次型123121 323( ,)422f x x xx xx xx x 的秩、正惯性指数和负惯性指数。 五、 （20 分） 证明：如果A是nn矩阵)2(n，那么 *, ( )()1, ( )10, ( )1nrank Anrank Arank Anrank An当当当 。 六、 （2
3、0 分）设A是数域P上 6 阶矩阵，行列式因子为： 326123 ,D 第 页（共 2 页） 2 5123412 ,1DDDDD。 （1） 求A的所有不变因子； （2） 写出A的Jordan标准形。 七、 （25 分）设是数域P上线性空间V的一个线性变换，若有V使得1( )0k，但 ( )0k，这里dimkV。证明： （1）1,( ),.,( )k 线性无关； （2）存在V的一组基，使得在该组基下的矩阵为00.0010.0001.00.00.10k k。 八、 （25 分）设V是复数域上的n维线性空间，和是V上的线性变换。 （1）证明 1(0)V当且仅当20。 （2）若= ，证明：如果0是的一个特征值，那么0V是的不变子空间；并且和至少有一个公共的特征向量。
