1、 参考答案 一、选择题.（每小题 5 分，共 60 分） 1-12、CBDCC CDABD DA 二、填空题.（每小题 5 分，共 20 分） 13. 60 14. 012 yx 15. 4 1 16. 1000 三、解答题（共 6 小题，共 70 分）. 17.（10 分）解： （1）由余弦定理可得21202516cos2 222 Abccba 21a .(5 分) 3560sin54 2 1 sin 2 1 AbcS （5 分） （2）由正弦定理得 7 2sin sin a Ab B cb，CB， 2 0 B 7 3 cosB， 7 34 cossin22sinBBB.(10 分) 18.
2、（12 分）解： （1）由 8 9 4132 41 aaaa aa ， n a是递增的等比数列. 41 aa . 解得8, 1 41 aa.8 1 4 3 a a q,即2q. 1 2 n n a.(6 分) (2) nn b n n n 2 2 24 1 ) 1 11 (4 ) 1( 4 1 nnnn bb nn 505 2019 2020 2019 4) 2020 1 2019 1 (.) 3 1 2 1 () 2 1 1 (4 2019 T (12 分) 19.（12 分）解:（1）设这 3 个数中至少有 1 个是偶数的事件为A. 1 至 9 中有 4 个偶数，5 个奇数. 42 37
3、)( 3 9 3 4 1 5 2 4 2 5 1 4 C CCCCC AP (5 分) （2）随机变量的取值为 0,1,2. 2 1 84 4242 ) 1( 3 9 C P 12 1 84 77 )2( 3 9 C P 12 5 84 35 84 7 84 42 1)0(P 0 1 2 P 12 5 2 1 12 1 (10 分) 3 2 12 1 2 2 1 1 12 5 0)(E (12 分) 20.解： （12 分） （1）连接EO. AAEACBDAEBDAC, BD面ACE.EOBD PD面ABCD.BDPD 在平面PBD中，EOBD ,PDBD .EOPD 又EO面AEC，PD面
4、AEC.PD面AEC.(6 分) (2)由（1）知EOPD,PD面ABCD.EO面ABCD 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.在等腰梯形ABCD中，BC AD，22,2,ADBCBDACCDAB. 由平面几何知识知1, 2OCOBODOA )3 , 0 , 2(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (),0 , 2, 0(PCBA即)3, 0 , 3(),0 , 2 , 1 (PBAB，)3, 1 , 2(PC 设面PAB的法向量),(zyxn 由 0 0 nPB nAB ，得 033 02 zx yx ，可取)2 , 1, 2( n z y x O A D BC P E 设P
5、C与面 PAB所成角为，则 14 14 143 3 ,cossin nPC nPC nPC (12 分) 21.解： （12 分） （1）由 2 3 a c e，得 4 3 2 22 a ba ，解得 22 4ba 椭圆C的方程为1 4 2 2 2 2 b y b x ，即 222 44byx 点) 2 2 ,2(在C上， 222 4) 2 2 (4)2(b 4, 1 22 ab.椭圆C的标准方程为1 4 2 2 y x .(5 分) （2）当直线OM或ON的斜率不存在时， 4 5 1 4 111 22 ONOM (7 分) 当ONOM,的斜率都存在时，设直线OM的斜率为)0( kk，则 k
6、1 kON 由 1 4 2 2 y x kxy 得4)41 ( 22 xk， 2 2 2 2 2 41 4 , 41 4 k k y k x 2 2 222 44 4111 k k yx OM 以 k 1 代替k，得 2 2 2 2 2 k44 4k ) k 1 (44 ) k 1 (41 ON 1 4 5 44 4 44 4111 2 2 2 2 22 k k k k ONOM 综上可知， 4 511 22 ONOM 为定值.(12 分) 22.（12 分）解： （1）)(xf的定义域为), 1 () 1 , 0( )ln1 ( )(ln2)(ln 1ln 2 ) ln ( 2 )( 22
7、x x t x xt x xt xf 0t，当) 1 , 0(x或), 1 ( ex时，0)( x f.当),( ex时，0)( x f. )(xf在) 1 , 0(和), 1 ( e上递增,在),( e上递减. )(xf在ex处取得极大值 2 )( te ef，无极小值.(6 分) (2)依题意知，设)(xf在区间), 1 ( 上的最小值为m，)(xg在区间)0 ,(上的最大值为 M，则Mm. ) 1x( )x(ln )xln1 ( 2 t )x(f 2 t0 当), 1 ( ex时，)(, 0)(xfxf递减，当),( ex时，)(, 0)(xfxf递增. 2 )()( min te efxfm. )0( )2( )( x e txtx xg tx 0t0 2 t 当) 2 ,( t x时，)(, 0)(xgxg递增. 当)0 , 2 ( t x时，)(, 0)(xgxg递减 2 max 4 ) 2 ()( te t t gxgM 由Mm可得 2 4 2te t te 解得0 ee2 22 t 故存在0t，对)0 ,(), 1 ( 21 xx，都有)()( 21 xgxf .(12 分)
