1、 第 1 页 共 3 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 第第 2 课时课时 二次根式的性质二次根式的性质 1经历二次根式的性质的发现过程， 体验归纳、猜想的思想方法；(重点) 2了解并掌握二次根式的性质，会运 用其进行有关计算(重点，难点) 一、情境导入 a2等于什么？ 我们不妨取 a 的一些值，如 2，2，3， 3，分别计算出对应的 a2的值，看看有 什么规律 22 42； （2）2 42； 32 93； （3）2 93； 你能概括一下 a2的值吗？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的性质 【类型一】 利用 a2|a|、( a)2a 进 行计算 化简： (1)( 5)2； (2) 52； (
2、3) （5）2； (4)( 5)2. 解析： 根据二次根式的性质进行计算即 可 解 ： (1)(5 )2 5 ； (2)52 5 ； (3) （5）25；(4)( 5)25. 方法总结：利用 a2|a|进行计算与化 简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二 次根式的被开方数要为非负数 【类型二】 ( a)2a(a0)的有关应用 在实数范围内分解因式 (1)a213；(2)4a25；(3)x44x24. 解析： 由于任意一个非负数都可以写成 一个数的平方的形式， 利用这个即可将以上 几个式子在实数范围内分解因式 解： (1)a213a2( 13)2(a 13)(a 13)； (2)4a25(2a)
3、2( 5)2(2a 5)(2a 5)； (3)x44x24(x22)2(x 2)(x 2)2(x 2)2(x 2)2. 方法总结： 一些式子在有理数的范围内 无法分解因式， 可是在实数范围内就可以继 续分解因式 这就需要把一个非负数表示成 平方的形式 探究点二：二次根式性质的综合应用 【类型一】 结合数轴利用二次根式的 性质求值或化简 已知实数 a，b 在数轴上的位置如 图所示， 化简： （a1）22 （b1）2 |ab|. 解析： 根据数轴确定a和b的取值范围， 进而确定 a1、b1 和 ab 的取值范围， 再根据二次根式的性质和绝对值的意义化 简求解 解：从数轴上 a，b 的位置关系可知2
4、 a1，1b2，且 ba，故 a10， b10， ab0.原式|a1|2|b1|a b|(a1)2(b1)(ab)b3. 方法总结： 结合数轴利用二次根式的性 质求值或化简， 解题的关键是根据数轴判断 字母的取值范围和熟练运用二次根式的性 质 【类型二】 二次根式的化简与三角形 三边关系的综合 已知 a、b、c 是ABC 的三边长， 化 简（abc）2（bca）2 （cba）2. 解析： 根据三角形的三边关系得出 bc a， bac.根据二次根式的性质得出含有 绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即 可 解：a、b、c 是ABC 的三边长，b ca，bac，原式|abc|b ca|cba|abc
5、(bca)(b 第 2 页 共 3 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 ac)abcbcabac3a bc. 方法总结： 解答本题的关键是根据三角 形的三边关系得出不等关系，再进行变换 后，结合二次根式的性质进行化简 【类型三】 利用分类讨论的思想对二 次根式进行化简 已知x为实数时， 化简 x22x1 x2. 解析：根据 a2|a|，结合绝对值的性 质，将 x 的取值范围分段进行讨论解答 解：x22x1 x2（x1）2 x2|x1|x|.当 x0 时，x10，原式 1x(x)12x；当 0x1 时，x 10，原式1xx1；当 x1 时，x1 0，原式x1x2x1. 方法总结： 利用二次根式的性
6、质进行化 简时，要结合具体问题，先确定出被开方数 的正负，对于式子 a2|a|，当 a 的符号无 法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到 不重不漏 【类型四】 二次根式的规律探究性问 题 细心观察，认真分析下列各式， 然后解答问题 ( 1)212，S1 1 2 ， ( 2)213，S2 2 2 ， ( 3)214，S3 3 2 . (1)请用含 n(n 是正整数)的等式表示上 述变化规律； (2)推算出 OA10的长； (3)求出 S21S22S23S210的值 解析：利用直角三角形的面积公式，观 察上述结论， 会发现第 n 个三角形的一直角 边长就是 n，另一条直角边长为 1，然后利 用面积
7、公式可得 解：(1)( n)21n1，Sn n 2 (n 是正 整数)； (2)OA11 ， OA22 ， OA3 3，OA10 10； (3)S21S22S23S210 1 2 2 2 2 2 3 2 2 10 2 2 1 4(12310) 55 4 . 方法总结： 解题时通过分析找到各部分 的变化规律后直接利用规律求解 探寻规律 要认真观察、仔细思考，善用联想 探究点三：代数式的定义及简单应用 按照下列程序计算，表格内应输 出的代数式是_ n 立方 n n n 答案 解析：根据程序所给的运算，用代数式 表示即可， 根据程序所给的运算可得输出的代数 式为n 3n n n.故答案为n 3n n
8、 n. 方法总结： 根据实际问题列代数式的一 般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代 表的意思进行仔细辨析； (2)分清语言和图形 表述中各种数量的关系； (3)根据各数量间的 运算关系及运算顺序写出代数式 三、板书设计 1二次根式的性质 1：( a)2a(a0)； 2二次根式的性质 2： a2a(a0) 3代数式的定义 用基本运算符号(基本运算符号包括 加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示 数的字母连接起来的式子叫做代数式 第 3 页 共 3 页 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 新的教学理念要求教师在课堂教学中 注意引导学生进行探究学习，在课堂教学 中，对学生探索求知作出了引导，并且鼓励 学生自由发言， 但在师生互动方面做得还不 够，小组间的合作不够融洽，今后的教学中 应多培养学生合作交流的意识， 这样有助于 他们今后的学习和生活
