1、专题十四专题十四 二次函数中的面积计算问题二次函数中的面积计算问题杭十三中杭十三中 景余俊景余俊如图，二次函数如图，二次函数 图象与轴图象与轴x x交于交于A,BA,B两点两点(A(A在在B B的左边的左边) )，与，与 y y轴交于点轴交于点C C，顶点为，顶点为M M ， 为为直角三角形直角三角形, , 图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线 ，P P点是点是抛物线上位于抛物线上位于A A、C C两点之间的一个动点，两点之间的一个动点，则则 的面积的最大值为（的面积的最大值为（ ） MABPACC2yxbxc2x3.827.211.427.DCBA（西湖区（西湖区20112011学年第一学期
2、期末测试）学年第一学期期末测试）342xxy3 xyAC解析式为直线P-3-13Q)34,2pppP（设)3,ppQ（则PPPPPPQ3)34(322PPPPS2923)3(3212282723maxSp时，当PQ342xxy3 xyAC解析式为直线bxyPQ解析式为直线bxyxxy3420332bxx430)3(49bb二次函数中面积问题常见解决方法：二次函数中面积问题常见解决方法：一、运用一、运用2 2铅铅锤锤高高水水平平宽宽 S二、运用二、运用y四、运用分割四、运用分割三、运用相似三、运用相似BC铅垂高铅垂高水平宽水平宽ha图图2AxCOyABD11图图189例例1 1：如图如图1 1，
3、抛物线顶点坐标为点，抛物线顶点坐标为点C C(1(1，4)4)，交，交x x轴于点轴于点A A(3(3，0)0)，交交y y轴于点轴于点B B。（1 1）求抛物线和直线）求抛物线和直线ABAB的解析式；的解析式；（2 2）求）求CABCAB的铅垂高的铅垂高CDCD及及S SCAB CAB ；（3 3）设点）设点P P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点是否存在一点P P，使，使S SPABPABS SCABCAB ，若存在，求出若存在，求出P P点的坐标；点的坐标； 若不存在，请说明理由。若不存在，请说明理由。一、运用一、运用2 2铅铅锤锤高
4、高水水平平宽宽 SxCOyABD11图2P（3）设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h 32, 4)1(2121xxyxy即(1)抛物线解析式为.32xyAB 解析式为直线.2,41),4, 1(21yyxC，时当.224CDCAB 的铅锤高32321CABSxxxxxyyh3) 3() 32(2221389)3(321,892xxSSCABPAB23x, 322xx1代入y4151y），（41523PAxyBO练习练习1如图，在直角坐标系中，点如图，在直角坐标系中，点A的坐标为的坐标为(2，0)，连结，连结OA，将线段将线段OA绕原点绕原点O顺时针旋转顺时针旋转120，得到线段，得到线段OB
5、（1）求点）求点B的坐标；的坐标；（2）求经过）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；三点的抛物线的解析式；（3）在（）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使，使BOC的的周长最小？若存在，求出点周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由（4）如果点）如果点P是（是（2）中的抛物线上的动点，且在）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，轴的下方，那么那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由的最大面积；若没有，请说明理由AxyBO解：（解：
6、（1 1）如图）如图1 1，过点，过点B B作作BMBMx x轴于轴于M M由旋转性质知由旋转性质知OBOBOAOA2 2AOBAOB120120，BOMBOM6060M33332代入坐标易得所求抛物线的解析式为代入坐标易得所求抛物线的解析式为yx 2x C（3 3）存在）存在 33332直线直线ABAB的解析式为的解析式为yx x x1 1代入直线代入直线ABAB的解析式的解析式 点点C C的坐标为的坐标为( (1 1， ) )33P 389)21(232xSPAB21839当当x x时，时，PABPAB的面积的面积有最大有最大值，最大值为值，最大值为)43,21(P323260sin121
7、260cos00OBBMOBOM，)3, 1 (B（2 2）设经过）设经过A A、O O、B B三点的抛物线的解析式为三点的抛物线的解析式为cbxaxy22.2.如图，抛物线如图，抛物线y yx x 2 2bxbxc c与与x x轴交于轴交于A A(1(1，0)0)，B B( (3 3，0)0)两点两点（1 1）求该抛物线的解析式；）求该抛物线的解析式；（2 2）设（）设（1 1）中的抛物线交）中的抛物线交y y轴于轴于C C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q Q，使得使得QACQAC的周长最小？若存在，求出点的周长最小？若存在，求出点Q Q的坐标；若不存在
8、，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由；（3 3）在（）在（1 1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P P，使，使PBCPBC的面积最大？的面积最大？若存在，求出点若存在，求出点P P的坐标及的坐标及PBCPBC的面积最大值的面积最大值；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由OBACyxQP)415,23( P32-2xxy(1)抛物线解析式为)2, 1(Q5ABMPONxyxmyx3如图，已知抛物线yax 2bx4与直线yx交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为1和4。（1）求此抛物线的解析式。（2）若平行于y轴的直线xm（0m1）与抛物线交于点
9、M， （3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得BOM 的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。与直线yx交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）。抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx 22x4 MNMPPNm 23m4 当当m1.5时，时，S S有最大值。有最大值。例例2 2. . （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，（贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，RtAOB的的顶点坐标分别为顶点坐标分别为A A（0 0，2 2），），O O（0 0，0 0），），B B（4 4，0 0），把），把AOBAOB绕绕点点O O逆时针方向旋
10、转逆时针方向旋转9090得到得到CODCOD（点（点A A转到点转到点C C的位置），的位置），抛物线抛物线yax 2bxc(a0)经过经过C C、D D、B B三点三点（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）若抛物线的顶点为）若抛物线的顶点为P P，求，求PABPAB的面积；的面积； （3 3）抛物线上是否存在点）抛物线上是否存在点M M，使，使MBCMBC的面积等于的面积等于PABPAB的面积？的面积？若存在，请求出点若存在，请求出点M M的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由-3BAxyO2-1-112345-21345二二. .运用运用y-3BAxy
11、O2-1-112345-21345P(1)(1)抛物线经过抛物线经过B B（4 4，0 0），），C C（2 2，0 0）可设抛物线的解析式为可设抛物线的解析式为ya(x2)(x4)D D（0 0，4 4）代入上式）代入上式 21a)4)(2(21xxy解析式（2 2）SPABS四边形四边形PEOB SAOB SPEA6 （3 3）假设存在这样的点）假设存在这样的点M M，其坐标为，其坐标为M M（x x，y y） 6621PABMBCSySy2 51, 229) 121-22xxy得（时，当131, 229) 121-22xxy得（时，当)2,131 (),2,131 (),2 , 51 (
12、),2 , 51 (4321MMMMEC 132133练习练习1 1已知二次函数已知二次函数yx 2axa2（1 1）求证：不论）求证：不论a a为何实数，此函数图象与为何实数，此函数图象与x x轴总有两个交点；轴总有两个交点；（2 2）设）设a 0 0，当此函数图象与，当此函数图象与x x轴的两个交点的距离为轴的两个交点的距离为 时，求出此二次函数的解析式；时，求出此二次函数的解析式；（3 3）若此二次函数图象与）若此二次函数图象与x x轴交于轴交于A A、B B两点，在函数图象上是否存在点两点，在函数图象上是否存在点P P，使得使得PABPAB的面积为的面积为？若存在，求出若存在，求出P
13、P点坐标；若不存在，请说明理由点坐标；若不存在，请说明理由（1 1）a 24(a2)(a2)240不论不论a a为何实数，此函数图象与为何实数，此函数图象与x x轴总有两个交点轴总有两个交点（2 2）设）设x1、x2是是x 2axa20的两个根的两个根则则x1x2a，x1x2a2此函数图象与此函数图象与x x轴的两个交点的距离为轴的两个交点的距离为13(x1x2)213即即(x1x2)24x1x213(a)24(a2)13，整理得整理得(a1)(a5)0，解得解得a1或或a5a 0，a1此二次函数的解析式为此二次函数的解析式为yx 2x3 （3 3）设点）设点P P的坐标为（的坐标为（x x，
14、y y）213321yABSPAB|y|3，y3 再得再得x2或或x3；x0或或x1 P1（2，3），），P2（3，3），），P3（0，3）或或P4（1，3）32BAOQPxy2已知：已知：t1，t2是方程是方程t 22t240的两个实数根，且的两个实数根，且t1t2，抛物线抛物线yx 2bxc的图象经过点的图象经过点A（t1，0），），B（0，t2）（3 3）在（）在（2 2）的条件下，当）的条件下，当OPAQOPAQ的面积为的面积为2424时，是否存在这样的点时，是否存在这样的点P P，使使OPAQOPAQ为正方形？若存在，求出为正方形？若存在，求出P P点的坐标；若不存在，说明理由点的坐
15、标；若不存在，说明理由（1 1）求这个抛物线的解析式；）求这个抛物线的解析式；（2 2）设点）设点P P（x x，y y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQOPAQ是以是以OA为对角线的平行四边形，求为对角线的平行四边形，求OPAQOPAQ的面积的面积S S与与x之间的函数之间的函数关系式，并写出自变量关系式，并写出自变量x x的取值范围；的取值范围；431432)1(2xxy)16(25)27(4)2(2xxs（3 3）当）当S S2424时时, , P P的坐标为（的坐标为（3 3，4 4）、（）、（4 4，4 4）当点当点P P为（
16、为（3 3，4 4）时，满足）时，满足POPOPAPA，此时，此时，OPAQOPAQ是菱形是菱形当点当点P P为（为（4 4，4 4）时，不满足）时，不满足POPOPAPA，此时，此时OPAQOPAQ不是菱形不是菱形要使要使OPAQOPAQ为正方形，那么，一定有为正方形，那么，一定有OAOAPQPQ，OAOAPQPQ，此时，此时，点的坐标为（点的坐标为（3 3，3 3），而（），而（3 3，3 3）不在抛物线上，故）不在抛物线上，故不存在这样的点不存在这样的点P P，使，使OPAQOPAQ为正方形为正方形 例3:如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2，与y轴交于点
17、C（0，4），其中x1，x2是方程x 22x80的两个根（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PEAC，交BC于点E，连接CP，当CPE的面积最大时，求点P的坐标；BAyOPECx（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（解：（1 1）解方程）解方程x22x80，得得x12，x24 AA（4 4，0 0），），B B（2 2，0 0）抛物线与抛物线与x x轴交于轴交于A A，B B两点，两点，可设抛物线的解析式为可设抛物线的解析式为y ya(x(x2)(x
18、2)(x4)4)（a0a0） 又又抛物线与抛物线与y y轴交于点轴交于点C C（0 0，4 4），），a a2 2( (4)4)4 4， 4212xxy21a三、运用相似三、运用相似BAyOPECx（2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EGx轴于点G，如图A（4，0），B（2，0），AB6，BPm2PEAC，BPEBAC342,624,mEGmEGABBPCOEGSCPESCBPSBPE3) 1(31)3424)(2(2121212mmmEGBPCOBPSSsBPECBPCPE2m4，当m1时，SCPE有最大值3此时点P的坐标为（1，0）)19(1,4Q),19(1,4Q),11(1,Q),
19、11(1,Q(1,1),Q54321G练习练习1 1如图，已知抛物线如图，已知抛物线yax 2bxc与与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C其中点其中点A在在x轴的负半轴上，点轴的负半轴上，点C在在y轴的负半轴上，线段轴的负半轴上，线段OA、OC的长的长（OAOC）是方程是方程x 25x40的两个根，且抛物线的对称轴是直线的两个根，且抛物线的对称轴是直线x1（1 1）求）求A、B、C三点的坐标；三点的坐标；（2 2）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；yxBDOAEC（3 3）若点）若点D是线段是线段AB上的一个动点（与点上的一个动点（与点A、B不重合），过点不重合）
20、，过点D作作DEBC交交AC于点于点E，连结，连结CD，设，设BD的长为的长为m，CDE的面积为的面积为S，求求S与与m的函数关系式，并写出自变量的函数关系式，并写出自变量m的取值范围的取值范围S是否存在最大值？是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时若存在，求出最大值并求此时D点坐标；点坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由A（1，0），B（3，0），C（0，4） 438342xxy)40(2)2(212mmS当m2时，S有最大值2 D点坐标为（1，0） 2 2如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，DCAB，A90，AD6厘米，厘米，DC4厘米，厘米，BC的坡度的坡度i3 : 4
21、动点动点P从从A出发以出发以2 2厘米厘米/ /秒的速度沿秒的速度沿AB方向向点方向向点B运动，运动，动点动点Q从点从点B出发以出发以3 3厘米厘米/ /秒的速度沿秒的速度沿BCD方向向点方向向点D运动，两个动点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为设动点运动的时间为t秒秒（1 1）求边）求边BC的长；的长；（2 2）当）当t为何值时，为何值时，PC与与BQ相互平分；相互平分；（3 3）连结）连结PQ ，设，设PBQ的面积为的面积为y，探求，探求y与与t的函数关系式，的函数关系式，求求t
22、t为何值时，为何值时，y y有最大值？最大值是多少？有最大值？最大值是多少？ CDABQPBC10522t=0 t 时 CDABQPE EF F ./31001QFCEtBCQ时，上，在当.59,1036,tQFtQFBCBQCEQF即ttttQFPBSPBQ5545959)212(212125813581)3(59max2ytt时，CDABQP163106366)212(2121314310)2(maxytttCEPBStCDQPBQ时，时，上，即在当E E综合，得 当t3秒时，y有最大值为581厘米2 3. （11杭州）（本小题满分12分）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，
23、AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1和h2， OEF与OGH组成的图形称为蝶形。（1）求蝶形面积S的最大值；（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2 满足的关系式，并求h2的取值范围。1565hEF2111166515255522OEFSSEFhhhh max152S解解：（：（1 1）由题意，得四边形）由题意，得四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .，1655EFh即152h 所以当时，./EFBD由由ABDAEFyxBAOC例4如图，抛物线yx 22xk与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）（
24、图2、图3为解答备用图）（1）k ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）设抛物线yx 22xk的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线yx 22xk上求点Q，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形3 （1，0） （3，0） M（2）M的坐标为（1，4） S四边形ABMC SAOC SCOM SMOB9 四、运用分割方法四、运用分割方法yxBAOCD（3）设D（m，m 22m3），连结OD，如图则0m3，m 22m30S四边形ABDC SAOC SCOD SDOB875
25、)23(2362923323213213121222mmmmmmS23m当四边形ABDC的面积最大 )415,23(D（4）Q1（2，5）和Q2（1，4）OCABxyM（图）OCABxy（图）练习练习1 1如图如图，已知抛物线，已知抛物线yax 2bx3（a0）与与x轴交于点轴交于点A(1，0)和和点点B(3，0)，与，与y轴交于点轴交于点C（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）设抛物线的对称轴与）设抛物线的对称轴与x轴交于点轴交于点M，问在对称轴上是否存在点，问在对称轴上是否存在点P，使使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点为等腰三角形？若存在，请直接写
26、出所有符合条件的点P的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由；若不存在，请说明理由；（3 3）如图）如图，若点，若点E E为第二象限抛物线上一动点，连接为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE， 求四边形求四边形BOCE面积的最大值，并求此时面积的最大值，并求此时E点的坐标点的坐标yx 22x3 )415,23(ES四边形BOCE 最大，且最大值为863 ),10, 1(),10, 1(),35, 1(),6, 1(4321PPPPE EDCMyOABQPx332如图，已知抛物线ya(x1)2(a0)经过点A(2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，
27、B在x轴正半轴上，连结BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长338332332xxy当当t t6s6s、5s5s、4s4s时，四边形时，四边形DAOPDAOP分别为平行四边形、分
28、别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形直角梯形、等腰梯形 323836323minPQSt时，当yxBAOE333.练习：如图，OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线yxm与x轴交于点E（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值（1）求点E的坐标；（2）求过A、O、E三点的抛物线解析式；yxBAOEFGP解：（1）过点A作AFx轴于F 233AFOAsin60221则OFOAcos6021，A(1，3) m 334E(4，0)（2）设过A、O、E三点的抛物线解析式为yax 2bxc抛物线过原点，c004163baba33433ba33334所求抛物线的解析式为yx 2x （3）设P(x0，y0) S最大 3825谢谢大家！谢谢大家！ 请多指教！请多指教！
