1、第一章模态分析理论基础0/26 模态分析理论基础是20世纪30年代机械阻抗与导纳的概念上发展起来。吸取了振动理论、信号分析、数据处理、数理统计、自动控制理论的有关营养，形成一套独特的理论。 模态分析的最终目标是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动分析、振动故障诊断和预报、结构动力特性的优化设计提供依据。1/26 解析模态分析可用有限元计算实现，而试验模态分析则是对结构进行可测可控的动力学激励，由激振力和响应的信号求得系统的频响函数矩阵，再在频域或转到时域采用多种识别方法求出模态参数，得到结构固有的动态特性，这些特性包括固有频率、振型和阻尼比等。 模态分析定义为：将线性时不变系统振动微分方程组
2、模态分析定义为：将线性时不变系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，坐标变换的变换以模态坐标及模态参数描述的独立方程，坐标变换的变换矩阵为振型矩阵，其每列即为各阶振型。矩阵为振型矩阵，其每列即为各阶振型。2/26 有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结构设计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实际结构的误差,而且受到边界条件很难准确确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，有限元简化模型和计算的误差较大。通过对结构进行实验模态分析，可以正确确
3、定其动态特性，并利用动态实验结果修改有限元模型，从而保证了在结构响应、寿命预计、可靠性分析、振动与噪声控制分析与预估以及优化设计时获得有效而正确的结果。 3/26a. a. 获得结构的固有频率获得结构的固有频率, ,可避免共振现象的发生可避免共振现象的发生 当外界激励力的频率等于振动系统的固有频率时，系统发生共振现象。此时系统最大限度地从外界吸收能量，导致结构过大有害振动。结构设计人员要设法使结构不工作在固有频率环境中。 相反，共振现象并非总是有害的：振动筛、粉末碾磨机、打夯机和灭虫声发射装置等等就是共振现象的利用。结构设计人员此时要设法使这种器械工作在固有频率环境中，可以获得最大能量利用率。
4、 4/26b. b. 为了应用模态叠加法求结构响应，确定动强度为了应用模态叠加法求结构响应，确定动强度, , 和疲劳寿命和疲劳寿命 分析告诉我们任何线性结构在已知外激励作用下他的响应是可以通过每个模态的响应迭加而成的。所以模态分析另一主要的应用是建立结构动态响应的预测模型，为结构的动强度设计及疲劳寿命的估计服务。c. c. 载荷载荷( (外激励外激励) )识别识别 由激励和模态参数预测响应的问题称为动力学正问题，反之由响应和模态参数求激励称为反问题。原则上只要全部的各阶模态参数都求得, 由响应就可以求出外激励（称为载荷识别）。 5/26d. d. 振动与噪声控制振动与噪声控制 既然结构振动是各
5、阶振型响应的迭加，只要设法控制相关频率附近的优势模态（改设计和加阻尼材料等或使用智能材料）就可以达到控制结构振动的目的。 对汽车车厢内或室内辐射噪声的控制，道理也一样。车厢座舱或室内辐射噪声与其结构的振动特性（模态）关系密切，由于辐射噪声是由结构振动“辐射”出来的。控制了结构的振动，也就是实现了辐射噪声的控制。 6/26e. e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件 动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构，以动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静力设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也
6、可从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状，乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影响全局。f. f. 有限元模性修正与确认有限元模性修正与确认 当今工程结构计算采用最广泛的计算模型就是有限元模型。再好的算法和软件都是建立在理想的结构物理参数和边界条件假设上的。结构有限元计算结果和试验往往存在不小差距。此时在模态试验可信的前提下，一般是以试验结果来对有限元模型进行修正和确认。经过修正和确认的有限元模型具有优化概念下的与试验结果最大的接近。可以进一步用于后继的响应、载荷和强度计算。7/26单自
7、由度系统频响函数分析粘性阻尼系统粘性阻尼系统阻尼力（与振动速度成正比）：强迫振动方程及其解解的形式（s为复数）及拉氏变换：xcfdfkxxcxm.stXex)()()(2sfsxkcsms8/260.kxxcxm02kcsms2002 , 11jsmk/0)2/(kmc阻尼比阻尼比范围（范围（0 01 1）内为欠阻尼内为欠阻尼无阻尼固有频率无阻尼固有频率实部：衰减因子，反映系统阻尼实部：衰减因子，反映系统阻尼虚部：有阻尼系统的固有频率虚部：有阻尼系统的固有频率 自由振动自由振动9/2610/26结构阻尼（滞后阻尼）系统结构阻尼（滞后阻尼）系统 阻尼力：与位移成正比，相位比位移超前90度 结构阻
8、尼系数 运动方程及拉氏变换jxfdgkg g 为结构阻尼比或结构损耗因子为结构阻尼比或结构损耗因子fjxkxxm.)()()1 (2sfsxkjgms11/26传递函数和频率响应函数kjgmssH)1 (1)(2kjgmH)1 (1)(2用实部和虚部表示2222222)1 ()1 (11)(ggjgkHg2与粘性阻尼系统相比频响函数形式相同和 相互置换即可得各自表达式（1jg）k 复刚度12/26位移、速度和加速度传递函数 位移、速度和加速度频率响应函数 三者之间的关系 动刚度（位移阻抗） 动柔度（位移导纳）)()()(sfsxsHd)()()(sfsvsHv)()()(sfsasHa)()(
9、)(fxHd)()()(fvHv)()()(faHa)()()()()(22ddvaHHjHjHkcsmssZ2)(kcsmssH21)(13/26 质量阻抗、阻尼阻抗、刚度阻抗（位移、速度、加速度） 质量导纳、阻尼导纳、刚度导纳（位移、速度、加速度）左至右 阻抗除 ， 导纳乘jj14/26单自由度频响函数的特性曲线Bode图(幅频图和相频图)幅频图:频响函数的幅值与频率的关系22)()()(IRHHH222211k相频图:相位与频率的关系)1 (2arctan)()(arctan2RIHHH15/26阻尼愈大，在固有频率附近相位曲线的陡度越小 时曲线始点约为1/k，为弹簧的导纳线； 低频时外
10、力主要由弹簧力来平衡； 时，产生共振，幅值为此时惯性力与弹簧力平衡，激励力与阻尼力平衡 时幅值下降，最后趋向于渐近线 极值为0，高频时系统激励力主要由惯性力来平衡 01,0k2/ 10m2/ 116/26 实频图（结构阻尼） （粘滞阻尼） 两个极值点 半功率带宽2222)2()1 (11)(kHR)1 (41)(1212, 12, 1kHR2222)1 (11)(gkHRkggkgHggR21)1 (1)1 (1)(2111222, 12, 1212g半功率带宽反映阻尼大小阻尼越大，半功率带宽越大，反之亦然17/26 虚频图 （结构阻尼） （粘性阻尼） 以结构阻尼为例： 系统共振时虚部达到最大
11、值 系统共振时实部为零 半功率点处的值)1()(222gkgHI)2()1(2)(222kHI半功率的概念是针对功率（而非幅值）而言，在半功率点处，虚部正好为其最大值的一半，但幅值却为最大幅值的有效值。maxmax2, 1)(707. 0)(21)(HHH18/26Nyquist图频响函数矢端轨迹图结构阻尼系统Nyquist圆（导纳圆）特点起始点(频率为零)非原点，约在(1/k,-g/k)处，圆心坐标（0，-1/2kg）初相角为arctan(-g)圆的直径为虚部最大值1/(kg)半径为实部最大值1/(2kg)直径处对应半功率带宽两个频率点22222121)()(kgkgHHIR共振频率点max
12、1dds19/26 粘滞阻尼系统 Nyquist图 特点 ( 是变的，所以不是圆 )22224141)()(kkHHIR桃子形，阻尼比越小桃子形，阻尼比越小轨迹圆越大轨迹圆越大在固有频率附近，曲线在固有频率附近，曲线接近圆，仍可利用圆接近圆，仍可利用圆的特性的特性20/26速度与加速度频响函数特性曲线 关系回顾 幅频图)()()(2dvaHHjH21/26+实频图与虚频图22/26Nyquist图23/26 不同激励下频响函数的表达式 要点 频响函数反映系统输入输出之间的关系 表示系统的固有特性 线性范围内它与激励的型式与大小无关 在不同类型激励力的作用下其表达形式常不相同 简谐激励 激励力
13、响应 位移频响函数)()(tjFetf)()(tjXetx)(jdeFXH24/26 周期激励非正弦周期力，如方波、锯齿波，周期为T响应的傅氏展开频响函数（定义为各频率点上的值）Tneftfntjnnn/2,)()(1Tnextxntjnnn/2,)()(1_)(/ )()(fxHn均包含幅值与相位两个量25/26瞬态激励一般瞬态输入傅氏变换相应输出傅氏变换相应频响函数单位脉冲激励频响函数dtetfftj)()(dtetxxtj)()()(/ )()(fxH0)(tfdtethHtj)()(26/26 随机激励 输入自相关函数 输入自功率谱密度 输入输出互相关函数 互功率谱密度函数 频响函数)
14、()()(tftfERff0)(deRGjffff)()()(tftxERxf0)(deRGjxfxf)(/ )()(ffxfGGH27/26 多自由度系统的频响函数分析 两类系统 约束系统 自由系统 约束系统 2自由度运动方程（无阻尼） 傅氏变换FKXXM 2100mmM)(21111kkkkkK21xxX21ffF)()()(FXMK2)()(MKZ228/26 频响函数矩阵 原点频响函数 第i点的响应与第i点的激励之间的频响函数 跨点频响函数 第i点的响应与第j点的激励之间的频响函数 原点频响函数特性 原点频响函数11)()()(MKZH2211212221121112221222112
15、11)()()()()()(kmkmkkmkkkmkkHHHHHjiHij ),(jiHij ),(211212221222111)()(kmkmkkmkkH29/26 曲线及特性曲线及特性 两个共振频率点（对应于分母为零） 一个反共振点（分子为零） 反共振是局部现象（仅仅 振幅为零，因为此时频响函数的其他项均不为零）。212112211112211122, 1421mmkkmkmkmkmkmkmkR22121/ )(mkkA机架线1m30/26 一般多自由度约束系统 N自由度约束系统有N个共振频率,（N1）个反共振频率 对原点函数共振反共振交替出现 对跨点频响函数无此规律 一般两个距离远的跨
16、点出现反共振的机会比较近的跨点少机架线31/26 自由系统 两自由度系统运动方程（无阻尼）频响函数矩阵FKXXM.2100mmMkkkkK21xxX21ffF21222122222211211)()()()()()(kmkmkmkkkmkHHHHH)()()(22122211cmkmmmkH)/(2121mmmmmc32/26 曲线及特性 时 系统产生刚体运动 零频为刚体模态 反共振点 一个共振点 高频时以高阶质量线为渐进线，趋向于零002212111)(1)(emmmH)(210mmme零阶等效质量零阶等效质量22/mkAcRmk /2机架线33/26 一般多自由度系统频响函数曲线 一般总结
17、 共振于反共振频率满足以下关系（如果有零频则算第一阶）机架线 2211ARAR34/26FKXXCXM.TNxxx 21XTNfff 21FM M、C C、K K均为均为N NN N矩阵矩阵方程包含物理坐标方程包含物理坐标为耦合方程为耦合方程 多自由度系统模态分析与模态参数 （基本理论及方法） 比例阻尼线定常系统 物理坐标下的运动方程35/26 传递函数和频响函数矩阵 拉氏变换)()()(2ssssFXKCMdtetsdtetsstst)()()()(FFXX jsjs* )()()(sssFXZ)()()(FXZ12)()(KCMHsss12)()(CMKHj36/26 模态坐标下的运动方程
18、)()()(2FXCMKj-任意l点的响应为各阶模态响应的线性组合 NrrlrNlNlllqqqqx12211)()()()()(TrNr 21N 21TNqqq)()()(21 Q振型矩阵振型矩阵（模态矩阵）（模态矩阵）第第r阶振型阶振型（模态向量（模态向量)模态坐标模态坐标-模态坐标下的运动方程QX)()()(2FQCMKj37/26 无阻尼自由振动 特征方程 全部模态 第r阶模态 模态正交性 主模态：各阶模态 主空间：各阶模态向量所组成的空间 主坐标：相应的模态坐标0)(0)(22MKQMK 或0)(2rrMKrsrTs 0MrsrTs 0K第r阶模态的惯性力对第s阶模态位移所做的功为零
19、；或第r阶模态的弹性力对第s阶模态位移所做的功为零38/26 模态质量和模态刚度-模态刚度 特定归一化情况（模态质量归一) rrTrMM rrTrKK /M rrrK2它们的具体值没有太大的意义，取决于振型归一化，这是因为振型只是振动形态，没有振幅的意思。这三个振型（模态向量）是等价的TTT391562 . 06 . 014 . 01352 -模态质量rrrM1 0 srsrrrTs 2K 0 srsrrTs 1M39/26 NrdiaKKK1KKT00 NrdiaMMM1MMT000)(2QMKT0)(2QMKdiadia 解偶后的运动方程40/26KMC NrdiaCCC1KCTFKXXC
20、XM.)()()(2FXCMKj运动方程比例阻尼模态阻尼 srCsrrrTs 0CM、K对称，所以C也对称，也具有正交性 解偶后的运动方程41/26解偶运动方程（模态坐标下）FQCMK)(2diadiadiaj)(FFT对第r阶模态)()(2FTrrrrrrrFFqCjMK模态频率、模态向量、模态质量模态频率、模态向量、模态质量模态刚度、模态阻尼模态刚度、模态阻尼总称模态参数总称模态参数42/26 多自由度系统实模态分析 实模态条件 各点振动相位差为零，或为180度 与无阻尼和比例阻尼系统等价 实模态下响应 模态坐标 物理坐标测点l的响应)(2rrrrrCjMKFqNjjjrTrrfF1)()
21、(FNrrlrlqx1)(43/26 单点激励频响函数 单点p激励l点响应 测量l点与激励点p之间的频响函数TpfF000)(000 )(pprrfF )()(2rrrpprrCjMKfqNrrrrpprlrlCjMKfx12)()(NrrrrprlrpllpCjMKfxH12)()()(频响函数与激励力大小无关44/26 几个概念 等效刚度 等效质量 等效质量与等效刚度的关系NrrrrerNrrrrprlrlpjKCjMKH1212)2)1(1)(rr/rrrrMC2prlrrerKK等效刚度与测点与激励点有关prlrrerMMererrMK245/26 几个概念 等效刚度 等效质量 等效质
22、量与等效刚度的关系NrrrrerNrrrrprlrlpjKCjMKH1212)2)1(1)(rr/rrrrMC2prlrrerKK等效刚度与测点与激励点有关prlrrerMMererrMK246/26cNrrrerrerlpHjKMHC126122)1(11)(剩余柔度认为是与频率无关的常数也可认为是频率的线性函数 模态截断 频响函数的合成 频响函数为单个模态之叠加 模态截断 只关心前几阶和十几阶模态 忽略高阶模态的影响 所截模态数一般大于被分析模态数的两倍 频响函数47/26 多自由度系统复模态分析 特点 各点相位差不一定是0度或180度（与实模态不同） 振型系数为复数 结构阻尼系统 结构阻
23、尼 材料内部阻尼 滑移阻尼（接头、螺钉、铆钉、衬垫等） 运动方程及拉氏变换FRXKXXMj.R为结构阻尼矩阵)()()(2ssjsFXRKM48/26 传递函数和频响函数矩阵一般表达 特征解的正交性)(11)(22KGIMRKMHjsjss)(11)(22MKGIMRKHjjG为结构损耗因子矩阵 GKR (IjG)K为复刚度矩阵为复刚度矩阵 diaT_MMdiaTj_)(KKGI2_2)1 ()1 (rrrrrrrrjgMKjgMK模态矩阵（振型矩阵）模态质量矩阵、模态刚度矩阵都是复数49/26 振型向量正则化 频响函数矩阵具体表达rrrM1_TrNr 21N 21IMTdiaTjKGI)(2
24、2)1 (rrrjgNrrrrprlrlpjgMH122)1()(NrrrerlpjgKH12)1(1)(50/26 一般粘性阻尼系统 运动方程 状态向量和状态方程 阻尼矩阵不能在N维主空间解偶，需采用状态空间法 引入状态向量 状态方程FKXXCXM XXX0FXXM00KXX0MMC FXBXAFKXXCXM 0XMXM扩展为2N空间51/26 自由振动 特征方程方程 特征值(2N个） 特征向量0BA)(2N维空间*2*121,NN*1*1*1*1*1*1222111,NNNNNNNrrrrrrrrr, 3 , 2 , 1,* , 系统的复模态频率和复振型向量，共轭成对 , *2*1*21N
25、N52/26 模态正交性 矩阵表示srbasrrsTrrsTrsTrsTr , 0, 0BABA *00rr*1*11*1*1*1111* NNNNNNN* ,rrrrrrabab53/26 正交性矩阵表达*rrTaaA*rrTbbB54/26 模态坐标下的解 利用正交性解偶后的方程 振型叠加解*QQXXX模态坐标0*QQQQrrrrbbaa*0*0*11QQXttttNNeeeet0时的模态坐标向量55/26+l点的瞬时位移 NrrtlrNrrtlrlqeqetxrr1*0*10*)(rrrjrrjlrlrjepqerlr 0可用模与相位角表示均为复数，、 0rrlrqN1r1)()()co
26、s(2 )(rlrrtrlrNrtjtjtrlrltepeeeptxrrlrrrlrrr虚部为复模态频率的实部和和分别为它们的相角；和和模态坐标的幅值，阶模态系数点第为和rrrlrrlrrlp56/26 复模态特性 复共轭特性 特征值与特征向量均为复数，共轭成对，共2N个 复模态的正交性 复特征向量在2N维空间中正交；而实模态在N维空间中正交 复模态解偶性 系统运动方程在2N维状态空间解偶，而实模态在N维空间解偶； 复模态运动特征 系统各点有无规律的相位差，而实模态则为0或180度 各点不同时通过平衡点，而实模态则同时通过平衡位置 各点的振动频率和周期仍相同，由 决定，对一定模态它是常数 系统振动无一定振型，节点也不是固定的，而作周期性移动，这与实模态截然不同 自由振动时衰减振动，各点衰减率相同，由 决定，这点与实模态相同rr57/26 复模态传递函数表达式 模态坐标下运动方程 传递函数矩阵 频率响应矩阵FFQQQQTTrrrrbbaa*NrrrTrrrrTrrsasas1*)()()(HNrrrTrrrrTrrjaja1*)()()(H58/2659/26
