1、第三节 函数的奇偶性与周期性 奇偶函数的定义域有什么特点？它是函数具有奇偶性的奇偶函数的定义域有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？什么条件？ 提示提示: :定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件数具有奇偶性的必要不充分条件1.“1.“函数函数f(x)f(x)为奇函数为奇函数”是是“f(0)=0”f(0)=0”的的( )( )(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件(B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充要条件充要条件(D)(D)既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件【解析】【解析】选选D.f(x)= D
2、.f(x)= 为奇函数，但为奇函数，但f(0)f(0)不存在；对函数不存在；对函数f(x)=xf(x)=x2 2，有，有f(0)=0f(0)=0，但，但f(x)f(x)为偶函数，故选为偶函数，故选D D1x2.2.下列四个函数下列四个函数y=xy=x3 3+1+1；y=sin3xy=sin3x；y=x+ y=x+ ； 中，奇函数的个数是中，奇函数的个数是( )( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】【解析】选选C.C.由奇函数定义知，函数由奇函数定义知，函数、都是奇函数，都是奇函数，函数函数既不是奇函数又不是偶函数，因此既不是奇函数又不是偶函数
3、，因此C C选项正确选项正确2xxxeey23.3.若函数若函数f(x)=xf(x)=x3 3(xR)(xR)，则函数，则函数y=f(-x)y=f(-x)在其定义域上是在其定义域上是( )( )(A)(A)单调递减的偶函数单调递减的偶函数 (B)(B)单调递减的奇函数单调递减的奇函数(C)(C)单凋递增的偶函数单凋递增的偶函数 (D)(D)单调递增的奇函数单调递增的奇函数【解析】【解析】选选B.B.f(x)=xf(x)=x3 3在其定义域上为奇函数，在其定义域上为奇函数，y=f(-x)y=f(-x)在其定义域上也为奇函数在其定义域上也为奇函数f(x)=xf(x)=x3 3在其定义域上为增函数，
4、在其定义域上为增函数，y=f(-x)y=f(-x)在其定义域上为减函数在其定义域上为减函数4.4.已知函数已知函数f(x)f(x)是以是以2 2为周期的偶函数，且当为周期的偶函数，且当x(0 x(0，1)1)时，时，f(x)=x+1f(x)=x+1，则函数，则函数f(x)f(x)在在(1(1，2)2)上的解析式为上的解析式为( )( )(A)f(x)=3-x (B)f(x)=x-3(A)f(x)=3-x (B)f(x)=x-3(C)f(x)=1-x (D)f(x)=x+1(C)f(x)=1-x (D)f(x)=x+1【解析】【解析】选选A A当当1 1x x2 2时，时，-1-1x-2x-20
5、,0,x(0 x(0，1)1)时，时，f(x)=x+1f(x)=x+1，f(x)f(x)是以是以2 2为周期的偶函数，为周期的偶函数，f(x)=f(x-2)=f(2-x)=2-x+1=3-xf(x)=f(x-2)=f(2-x)=2-x+1=3-x5.5.函数函数f(x)f(x)对于任意实数对于任意实数x x满足条件满足条件若若f(1)=-5f(1)=-5，则，则f(f(5)=_.f(f(5)=_.【解析】【解析】f(f(5)=f(-5)=f(-1)=f(f(5)=f(-5)=f(-1)=答案答案: : 1f x2f x， 11f 5f 15,1f 3f 1 11.f125 151.1.奇偶函数
6、的有关性质奇偶函数的有关性质(1)(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；充分条件；(2)(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y y轴对称；轴对称；反之亦然；反之亦然；(3)(3)若奇函数若奇函数f(x)f(x)在在x=0 x=0处有定义，则处有定义，则f(0)=0.f(0)=0.(4)(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，函数在原点两侧利用奇函数的图象关于原点对称可知，函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的
7、图象关于y y轴对轴对称可知，函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反称可知，函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2.2.用奇偶函数的性质来判断组合函数的奇偶性用奇偶函数的性质来判断组合函数的奇偶性注意：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只注意：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题须先证明再利用能在选择题、填空题中直接应用，解答题须先证明再利用. .3.3.既是奇函数又是偶函数的函数的个数既是奇函数又是偶函数的函数的个数既是奇函数又是偶函数的函数有无穷多个，即既是奇函数又是偶函数的函数有无穷多个，即f(x)=0f(x)=0，定义，定义域是
8、关于原点对称的任意一个数集域是关于原点对称的任意一个数集. .4.4.对称性与周期函数的关系对称性与周期函数的关系(1)(1)若函数若函数f(x)f(x)关于直线关于直线x=ax=a和直线和直线x=bx=b对称，则函数对称，则函数f(x)f(x)必必为周期函数，为周期函数，2|a-b|2|a-b|是它的一个周期；是它的一个周期；(2)(2)若函数若函数f(x)f(x)关于点关于点(a,0)(a,0)和点和点(b,0)(b,0)对称，则函数对称，则函数f(x)f(x)必必为周期函数，为周期函数，2|a-b|2|a-b|是它的一个周期；是它的一个周期；(3)(3)若函数若函数f(x)f(x)关于点
9、关于点(a,0)(a,0)和直线和直线x=bx=b对称，则函数对称，则函数f(x)f(x)必必为周期函数，为周期函数，4|a-b|4|a-b|是它的一个周期是它的一个周期 函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定【例【例1 1】判断下列函数的奇偶性：】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=lgx(1)f(x)=lgx2 2+lg +lg ；(2)f(x)=(x-1) (2)f(x)=(x-1) ；(3)(3)(4)f(x)=(4)f(x)=21x1x1x 22xx,x0,f xxx, x0.2lg 1xx22【审题指导】【审题指导】本题是判断函数的奇偶性，由奇偶函数的定义本题是判断函数的奇偶性，由奇偶
10、函数的定义可知，先看函数的定义域是否关于原点对称，再看可知，先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)的关系，进而得出函数的奇偶性的关系，进而得出函数的奇偶性【自主解答】【自主解答】(1)(1)显然函数显然函数f(x)f(x)的定义域为：的定义域为：(-(-，0)(0,+)0)(0,+)，关于原点对称，关于原点对称，又又f(x)=lgxf(x)=lgx2 2+ =lgl=0(x0)+ =lgl=0(x0)，函数函数f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数；既是奇函数又是偶函数；21lgx(2)(2)使使f(x)=(x-1) f(x)=(x-1) 有意义，则有有意
11、义，则有 00，解之得函数，解之得函数的定义域为的定义域为-1,1)-1,1)，不关于原点对称，因此，函数，不关于原点对称，因此，函数f(x)f(x)既既不是奇函数也不是偶函数；不是奇函数也不是偶函数；(3)(3)显然函数显然函数f(x)f(x)的定义域为：的定义域为：(-(-，0)(0,+)0)(0,+)，关于原点对称，关于原点对称，当当x0 x0-x0，则，则f(-x)=-(-x)f(-x)=-(-x)2 2-x=-x-x=-x2 2-x=-f(x)-x=-f(x)；当当x0 x0时时,-x0,-x0 x0时，时，f(x)0”f(x)0”，判断函数判断函数f(x)f(x)的单调性的单调性.
12、 .【解析】【解析】任取任取x x1 1、x x2 2RR，且，且x x1 1x0 x0时，时，f(x)0,f(x)00，f(xf(x2 2-x-x1 1)0)0，即，即f(xf(x2 2)f(x)f(x1 1) )，函数函数f(x)f(x)在在R R上为减函数上为减函数. .【变式训练】函数【变式训练】函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为x|xR,x0 x|xR,x0，对一切，对一切x x、yRyR，都有，都有f(xy)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)+f(y)(1)(1)判断函数的奇偶性，并证明；判断函数的奇偶性，并证明；(2)(2)如果如果f(4)=1f(4)=1，且，且f(
13、x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数，解不等式上是增函数，解不等式f(3x+1)+f(2x-6)3.f(3x+1)+f(2x-6)3.【解析】【解析】(1)(1)函数函数f(x)f(x)为偶函数为偶函数. .证明：在证明：在f(xy)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)+f(y)中，中，令令x=y=1x=y=1，得，得f(1)=f(1)+f(1)f(1)=f(1)+f(1)，f(1)=0f(1)=0，令令x=y=-1x=y=-1，得，得f(1)=f(-1)+f(-1)f(1)=f(-1)+f(-1)，f(-1)=0f(-1)=0，令令y=-1y=-1得，得，f(-x)=f(x)+
14、f(-1)=f(x)f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，因此该函数为偶函数因此该函数为偶函数. .(2)(2)依题意得：依题意得：2=1+1=f(4)+f(4)=f(16)2=1+1=f(4)+f(4)=f(16)，3=1+2=f(4)+f(16)=f(64)3=1+2=f(4)+f(16)=f(64)，又又f(3x+1)+f(2x-6)3f(3x+1)+f(2x-6)3，又又f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数，上是增函数，解得：解得：3x53x5，即不等式的解集为：，即不等式的解集为：x|3x5x|3x5f3x1 2x6f(64)3x102x60 ，3x1 2x664
15、3x102x60 ， 函数的周期性及其应用函数的周期性及其应用【例【例3 3】(2010(2010重庆高考重庆高考) )已知函数已知函数f(x)f(x)满足：满足：f(1)= f(1)= ，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,yR)4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,yR)，则，则f(2 010)=_. f(2 010)=_. 【审题指导】【审题指导】本题已知函数本题已知函数f(x)f(x)是抽象函数，所求是抽象函数，所求f(2 010)f(2 010)的值与已知函数值的变量相差距离较大，可能与函数的周期的值与已知函数值的变量相差距离较大，可能与函数的周期性有关
16、，因此可由归纳得出结论求值，需要求出多个函数值性有关，因此可由归纳得出结论求值，需要求出多个函数值才发现规律；也可据递推关系推导出周期函数的结论，进而才发现规律；也可据递推关系推导出周期函数的结论，进而解决问题解决问题. .14【自主解答】【自主解答】方法一：方法一：令令x=1,y=0 x=1,y=0，则，则4f(1)f(0)=f(1)+f(1)4f(1)f(0)=f(1)+f(1)，所以所以f(0)= f(0)= ；令令x=y=1x=y=1，则，则4f(1)f(1)=f(2)+f(0)4f(1)f(1)=f(2)+f(0)，所以所以f(2)= f(2)= ；令令x=2,y=1x=2,y=1，
17、则，则4f(2)f(1)=f(3)+f(1)4f(2)f(1)=f(3)+f(1)，所以所以f(3)= f(3)= ；令令x=y=2x=y=2，则，则4f(2)f(2)=f(4)+f(0)4f(2)f(2)=f(4)+f(0)，所以所以f(4)= f(4)= ；12141214令令x=4x=4，y=1y=1则则4f(4)f(1)=f(5)+f(3)4f(4)f(1)=f(5)+f(3)，所以所以f(5)= f(5)= ；令令x=y=3x=y=3，则，则4f(3)f(3)=f(6)+f(0)4f(3)f(3)=f(6)+f(0)，所以所以f(6)= f(6)= ；令令x=6x=6，y=1y=1，
18、则，则4f(6)f(1)=f(7)+f(5),4f(6)f(1)=f(7)+f(5),所以所以f(7)= f(7)= ；函数值以函数值以6 6为周期循环出现，又因为为周期循环出现，又因为所以所以f(2 010)=f(335f(2 010)=f(3356+0)=f(0)=6+0)=f(0)=1412142 0103356，1.2方法二：令方法二：令y=1y=1，则，则4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)，f(1)= ,f(x)=f(x+1)+f(x-1)f(1)= ,f(x)=f(x+1)+f(x-1)，f(x+1)=f(x)+f(x+2)
19、f(x+1)=f(x)+f(x+2)=f(x+1)+f(x-1)+f(x+2)=f(x+1)+f(x-1)+f(x+2)，f(x-1)=-f(x+2)f(x-1)=-f(x+2)，即，即f(x)=-f(x+3)f(x)=-f(x+3)，f(x+6)=f(x)f(x+6)=f(x)，即函数，即函数f(x)f(x)是周期为是周期为6 6的函数，的函数，又又令令x=1,y=0 x=1,y=0，则，则4f(1)f(0)=f(1)+f(1)4f(1)f(0)=f(1)+f(1)，f(0)= f(0)= ，f(2 010)=f(335f(2 010)=f(3356+0)=f(0)= .6+0)=f(0)=
20、 .答案答案: : 12121214【规律方法】【规律方法】关于周期函数的常用结论：关于周期函数的常用结论：(1)(1)若对于函数若对于函数f(x)f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x x都有：都有：f(x+a)=-f(x)f(x+a)=-f(x)，则函数，则函数f(x)f(x)必为周期函数，必为周期函数，2|a|2|a|是它的一是它的一个周期；个周期；f(x+a)= f(x+a)= ，则函数，则函数f(x)f(x)必为周期函数，必为周期函数，2|a|2|a|是它的一是它的一个周期；个周期；f(x+a)= f(x+a)= 则函数则函数f(x)f(x)必为周期函数，必为周期函数，2|a
21、|2|a|是它的一是它的一个周期；个周期；1f(x) 1f x，(2)(2)如果如果T T是函数是函数y=f(x)y=f(x)的周期，则的周期，则kT(kZ,k0)kT(kZ,k0)也是函数也是函数y=f(x)y=f(x)的周期，即的周期，即f(x+kT)=f(x)f(x+kT)=f(x)；若已知区间若已知区间m,nm,n(mn)(m0 x|f(x-2)0=( )=( )(A)x|x-2(A)x|x4 (B)x|x4 (B)x|x4x4(C)x|x0(C)x|x6 (D)x|x6 (D)x|x2x2【解析】【解析】选选B.B.因为函数因为函数f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上为增函数，
22、且上为增函数，且f(2)=0,f(2)=0,由偶函数的性质可知，若由偶函数的性质可知，若f(x-2)0,f(x-2)0,需满足需满足|x-2|2,|x-2|2,得得x4x4或或x0,xf(0)=0,f(1)f(0)=0,所以所以-f(1)0,-f(1)0,即即f(-25)f(80)f(11).f(-25)f(80)f(11).答案答案: :f(-25)f(80)f(11)f(-25)f(80)f(11)8 8(2011(2011淄博模拟淄博模拟) )设设f(x)f(x)是是(-(-，+)+)上的奇函数，且上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)，下面关于，下面关于f(x)
23、f(x)的判定：其中正确命题的序号的判定：其中正确命题的序号为为_._.f(4)=0;f(4)=0;f(x)f(x)是以是以4 4为周期的函数；为周期的函数；f(x)f(x)的图象关于的图象关于x=1x=1对称；对称；f(x)f(x)的图象关于的图象关于x=2x=2对称对称. .【解析】【解析】f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)，f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2)=f(x+4)f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2)=f(x+4)，即即f(x)f(x)的周期为的周期为4 4，正确正确. .f(4)=f(0)=0(f(x)f(4)=f(0)=0(f(x)为奇函
24、数为奇函数) )，即，即正确正确. .又又f(x+2)=-f(x)=f(-x),f(x+2)=-f(x)=f(-x),f(x)f(x)的图象关于的图象关于x=1x=1对称对称,正确正确, ,又又f(1)=-f(3),f(1)=-f(3),当当f(1)0f(1)0时，显然时，显然f(x)f(x)不关于不关于x=2x=2对称，对称，错误错误. .答案：答案：三、解答题三、解答题( (每小题每小题9 9分，共分，共1818分分) )9 9已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在-1,1-1,1上的奇函数，若对任意的上的奇函数，若对任意的a a、bb-1,1-1,1，当，当a+b0a+b0时，总有时，
25、总有(1)(1)判断函数判断函数f(x)f(x)在在-1,1-1,1上的单调性，并证明你的结上的单调性，并证明你的结论；论；(2)(2)解不等式：解不等式：f(x+1)f( )f(x+1)f( )； f af b0ab1x1【解析】【解析】(1)f(x)(1)f(x)在在-1,1-1,1上是增函数，证明如下：上是增函数，证明如下：任取任取x x1 1、x x2 2-1,1-1,1，且，且x x1 1xx2 2，则，则x x1 1-x-x2 200，于是有，于是有而而x x1 1-x-x2 200，故，故f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )，故故f(x)f(x)在在-1,1-1,1上是
26、增函数上是增函数. .(2)(2)由由f(x)f(x)在在-1,1-1,1上是增函数知：上是增函数知：故不等式的解集为故不等式的解集为x|-2x x|-2x 12121212f xfxf(x )f(x )0 xxxx ，1x1 12x0,111,x2x0,2x2x1x21x2.1x1x1 解得或即，或210.(201110.(2011泰兴模拟泰兴模拟) )已知函数已知函数f(x)=logf(x)=log4 4(4(4x x+1)+kx(xR)+1)+kx(xR)是是偶函数偶函数. .(1)(1)求求k k的值；的值；(2)(2)若方程若方程f(x)-m=0f(x)-m=0有解，求有解，求m m
27、的取值范围的取值范围. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)本题求本题求k k值，而已知值，而已知f(x)f(x)为偶函数，可由偶为偶函数，可由偶函数的定义得出关于函数的定义得出关于k k的方程，解方程即可的方程，解方程即可. .(2)(2)当当m m在在f(x)f(x)的值域内时，的值域内时，f(x)-m=0f(x)-m=0有解有解. .【解析】【解析】(1)(1)由函数由函数f(x)=logf(x)=log4 4(4(4x x+1)+kx(xR)+1)+kx(xR)是偶函数，是偶函数，可知可知f(x)=f(-x)f(x)=f(-x)，loglog4 4(4(4x x+1)+kx=log+
28、1)+kx=log4 4(4(4-x-x+1)-kx+1)-kx，即即loglog4 4 =-2kx.log=-2kx.log4 44 4x x=-2kx=-2kx，x=-2kxx=-2kx对对xRxR恒成立，恒成立，k=k=xx41411.2(2)(2)由由m=f(x)=logm=f(x)=log4 4(4(4x x+1)- x+1)- x，得得m=logm=log4 4 =log=log4 4( ).( ). 2 2，mm故要使方程故要使方程f(x)-m=0f(x)-m=0有解，有解，m m的取值范围为的取值范围为m m 12xx412xx122xx1221.21.2【探究创新】【探究创新
29、】(10(10分分) )设函数设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为D D，若存在非零实数，若存在非零实数l使得对于使得对于任意任意xM(M xM(M D)D)，有，有x+lDx+lD，且，且f(x+f(x+l)f(x)f(x)，则称，则称f(x)f(x)为为M M上的上的l高调函数高调函数. .(1)(1)如果定义域为如果定义域为-1,+)-1,+)的函数的函数f(x)=xf(x)=x2 2为为-1,+)-1,+)上的上的m m高调函数，求实数高调函数，求实数m m的取值范围的取值范围. .(2)(2)如果定义域为如果定义域为R R的函数的函数f(x)f(x)是奇函数，当是奇函数，当x0
30、 x0时，时，f(x)=|x-af(x)=|x-a2 2|-a|-a2 2，且，且f(x)f(x)为为R R上的上的4 4高调函数，求实数高调函数，求实数a a的取值的取值范围范围. .【解析】【解析】(1)f(x)=x(1)f(x)=x2 2(x-1)(x-1)的图象如图的图象如图(1)(1)所示，要使得所示，要使得f(-1+m)f(-1)f(-1+m)f(-1)，有，有m2m2；x-1x-1时，恒有时，恒有f(x+2)f(x)f(x+2)f(x)，故故m2m2即可即可. .所以实数所以实数m m的取值范围为的取值范围为2,+)2,+)；(2)(2)由由f(x)f(x)为奇函数及为奇函数及x0 x0时的解析式知时的解析式知f(x)f(x)的图象如图的图象如图(2)(2)所示，所示，f(3af(3a2 2)=a)=a2 2=f(-a=f(-a2 2) )，由由f(-af(-a2 2+4)f(-a+4)f(-a2 2)=a)=a2 2=f(3a=f(3a2 2) )，故故-a-a2 2+43a+43a2 2，从而，从而a a2 211，又又a a2 211时，恒有时，恒有f(x+4)f(x)f(x+4)f(x)，故故a a2 211即可即可所以实数所以实数a a的取值范围为的取值范围为-1,1-1,1. .
