1、 信号与系统信号与系统Signals & SystemA.V.Oppenheim2nd Edition概论信号就是函数。离散时间与连续时间函数。（但不是所有的的函数都适合做信号,常见信号及其运算。）系统就是对信号的变换。（变换海洋中的一滴水，特别的一类：线性移不变系统LTI 系统）给定信号和系统求变换后的信号。给定变换前后的信号，确定系统。给定信号和系统直接求系统的响应时域分析。（在LTI前提下信号与系统的统一。）信号的变换分析：傅立叶级数、傅立叶变换、拉氏变换、z 变换。（送你一双看穿表象的慧眼。）抽样定理 （风马牛不相及的两种信号之间的联系，数字化时代的基石。）信号与系统问题无处不在信号与
2、系统问题无处不在 什么是信号？什么是信号？ 信号是消息的表现形式，消息则是信信号是消息的表现形式，消息则是信号的具体内容号的具体内容。 什么是系统？什么是系统？ 系统是物理器件的集合，对给定的信系统是物理器件的集合，对给定的信号做出反应而产生出另外的信号。号做出反应而产生出另外的信号。 系统其实就是一个信号转换器。系统其实就是一个信号转换器。 信号的描述：信号的描述： 数学上：信号表示为一个或多个数学上：信号表示为一个或多个变量的函数变量的函数 形态上：信号表现为一种波形形态上：信号表现为一种波形 自变量：自变量： 时间、位移时间、位移 周期、频率、相位、幅度周期、频率、相位、幅度 信号的分类
3、：信号的分类： 函数自变量数目：一维信号和函数自变量数目：一维信号和多维信号多维信号函数自变量取值的连续性和离函数自变量取值的连续性和离散性：连续时间信号和离散散性：连续时间信号和离散时间信号时间信号函数周期性与否：周期信号和函数周期性与否：周期信号和非周期信号非周期信号信号的描述信号的描述信号的自变量变换信号的自变量变换基本信号基本信号系统及其数学模型系统及其数学模型系统的性质系统的性质本章的基本内容本章的基本内容: : 1.1 连续时间与离散时间信号连续时间与离散时间信号（Continuous-Time and Discrete-Time Signals）一一. .信号：信号： 信号可以描
4、述范围极其广泛的物理现象。信号可以描述范围极其广泛的物理现象。信号可以分为确知信号与随机信号，也可以信号可以分为确知信号与随机信号，也可以分为连续时间信号与离散时间信号。分为连续时间信号与离散时间信号。 确知信号可以表示成一个或几个自变量确知信号可以表示成一个或几个自变量的函数。作为信号分析的基础，本课程只研的函数。作为信号分析的基础，本课程只研究确知信号。究确知信号。连续时间信号的例子：连续时间信号的例子：离散时间信号的例子：离散时间信号的例子： 连续时间信号在离散时连续时间信号在离散时刻点上的样本可以构成一个离刻点上的样本可以构成一个离散时间信号。散时间信号。二二. 信号的能量与功率：信号
5、的能量与功率：12 , t t212( )ttEx td t连续时间信号在连续时间信号在 区间的平均功率定区间的平均功率定义为：义为：12 , t t212211( )ttPx tdttt连续时间信号在连续时间信号在 区间的能量定义区间的能量定义为：为：离散时间信号在离散时间信号在 区间的能量区间的能量定义为定义为212( )nn nEx n离散时间信号离散时间信号在在 区间的平均区间的平均功率为功率为12 ,n n212211( )1nn nPx nnn12 ,n n在无限区间上也可以定义信号的总在无限区间上也可以定义信号的总能量：能量：dtdtEtxtxTTT)()(lim22 连续时间情
6、况下连续时间情况下:离散时间情况下离散时间情况下: :nNNnNnxnxE22)()(lim在无限区间内的平均功率可定义为：在无限区间内的平均功率可定义为：NNnNnxNP2121)(lim21lim2( )TTTPdtTx t1.2 自变量变换自变量变换Transformations of the Independent Variable)1 由于信号可视为自变量的函数，当自由于信号可视为自变量的函数，当自变量改变时，必然会使信号的特性相变量改变时，必然会使信号的特性相应地改变。应地改变。( )x t0()x tt当当 时，信号向右平移时，信号向右平移00t 0t00t 时，信号向左平移时，
7、信号向左平移0t当当 时，信号向右平移时，信号向右平移00n 0n00n 时，信号向左平移时，信号向左平移0|n1. 时移变换：时移变换：Shift of Signals2. 反转变换：反转变换：Reflection of Signals ( )x t()xt信号以信号以 为轴呈镜像对称。为轴呈镜像对称。0t 与连续时间的情况相同。与连续时间的情况相同。3. 尺度变换：尺度变换： Scaling( )x t()x at1a 时时, 是将是将 在时间上压缩在时间上压缩a倍倍()x at( )x t01a 时时, 是将是将 在时间上扩展在时间上扩展1/a倍。倍。()x at( )x t 由于离散时
8、间信号的自变量只能取整由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度变换只对连续时间信号数值，因而尺度变换只对连续时间信号而言。而言。0 01 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 62 21 11 12 23 32 2n2 22 22 20 01 12 23 3n例如：例如： 显然上例中，显然上例中， 是从是从 中依次抽出中依次抽出自变量取偶数时的各点而构成的。这一自变量取偶数时的各点而构成的。这一过程称为对信号过程称为对信号 的的抽取（抽取（decimation）11( )()(3)22x tx tx t综合示例：综合示例： 由由1( )(3)2x txt0 01 1( )x tt1 1
9、0 0t1 11/21/23/23/20 0t1 11/21/21/61/61()2x t 1(3)2xt 12tt3tt做法一：做法一： 可视为周期信号，但它的基波周期可视为周期信号，但它的基波周期没有确定的定义。没有确定的定义。二二. 周期信号与非周期信号：周期信号与非周期信号：周期信号：周期信号：()( )x tTx t 满足此关系的正实数（正整数）中最小满足此关系的正实数（正整数）中最小的一个，称为信号的的一个，称为信号的基波周期基波周期 （ ）。）。0T0N( )x tc可以视为周期信号，其基波周期可以视为周期信号，其基波周期 01N 非周非周期信期信号号周期信号周期信号连续时间连续
10、时间周期信号周期信号离散时间周离散时间周期信号期信号三三. .奇信号与偶信号：奇信号与偶信号：odd Signals and even Signals如果有如果有 或或 则称该则称该信号为信号为奇信号奇信号（镜像奇对称）（镜像奇对称）()( )xtx t 如果有如果有 或或 则则称该信号是称该信号是偶信号偶信号（镜像偶对称（镜像偶对称)( )( )x tx t 任何信号都能分解成一个偶信号与任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。一个奇信号之和。对实信号有：对实信号有：( )( )( )eox tx tx t1( ) ( )()2ex tx txt1( ) ( )()2ox tx txt
11、其中其中其中其中0 0-1-1-2-21 12 21 12 2( )x tt例例1：-2-22 21 10 0( )ex ttt( )oxt-1-11 11 1-1-1例例2. 信号的奇偶分解：信号的奇偶分解：1.3 复指数信号与正弦信号复指数信号与正弦信号（Exponential and Sinusoidal Signals ）一一. 连续时间复指数信号连续时间复指数信号( )atx tCe其中其中 C, a 为复数为复数1. 实指数信号：实指数信号： C，a 为实数为实数 0a 呈单调指数上升。呈单调指数上升。0a呈单调指数下降。呈单调指数下降。0a ( )x tC是常数是常数。2. 周期
12、性复指数信号周期性复指数信号:0aj，不失一般性取不失一般性取1C 000( )cossinjtx tetjt实部与虚部都是正弦信号。实部与虚部都是正弦信号。( )x t显然是周期的，其基波周期为：显然是周期的，其基波周期为：002T0 03、正弦信号、正弦信号0( )cos()x tAt0022jtjtjjAAe eee其基波周期为其基波周期为 , 基波频率为基波频率为 ，当，当 时时 通常称为直流信号。通常称为直流信号。002T0004. 一般复指数信号一般复指数信号:( )atx tCe其中其中 C, a 为复数为复数令令 则则 jC Ce0a rj 00()( )jtjtjrtrtx
13、tC e e eC e e 该信号可看成是振幅按实指数信号规律该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的周期性复指数信号。它的实部与虚部变化的周期性复指数信号。它的实部与虚部都是振幅呈实指数规律变化的正弦振荡。都是振幅呈实指数规律变化的正弦振荡。当当 时，是指数增长的正弦振荡。时，是指数增长的正弦振荡。 时，是指数衰减的正弦振荡。时，是指数衰减的正弦振荡。 时，是等幅的正弦振荡时，是等幅的正弦振荡。0r 0r 0r 10110 1 二二. 离散时间复指数信号与正弦信号离散时间复指数信号与正弦信号,C 一般为复数一般为复数1. 实指数信号：实指数信号： 均为实数均为实数,C当当 时，呈单调指数增长
14、时，呈单调指数增长 时，呈单调指数衰减时，呈单调指数衰减 时，呈摆动指数衰减时，呈摆动指数衰减 时，呈摆动指数增长时，呈摆动指数增长正弦信号：正弦信号：)cos(0nAnxnCenxnjenx0njnenj00sincos0njnjeAeAnA0022)cos(0njjnjjeeAeeA00)2()2( 离散时间正弦信号不一定是周期的离散时间正弦信号不一定是周期的，这是，这是与连续时间正弦信号的重大区别。与连续时间正弦信号的重大区别。0离散时间信号频率表示为离散时间信号频率表示为 ，量纲是弧度。，量纲是弧度。3. 一般复指数信号：一般复指数信号：jCC e0je00cos()sin()nCnj
15、n令令则则实部与虚部都是幅度按指数规律变化的正弦实部与虚部都是幅度按指数规律变化的正弦序列。序列。当当 时幅度呈指数增长，时幅度呈指数增长， 时时幅度呈指幅度呈指数衰减。数衰减。1111 离散时间复指数序列离散时间复指数序列 不一定不一定是周期性的，要具有周期性，必须具备一是周期性的，要具有周期性，必须具备一定条件。定条件。 0000()jn NjnjNjneeee01jNe即即02Nm离散时间复指数序列的周期性离散时间复指数序列的周期性设设 则有则有： a）表明表明只有在只有在 与与 的比值是一个有理数的比值是一个有理数时时， 才具有周期性才具有周期性。020jne0( )jtx te0 对
16、对 ，当，当 时，对应时，对应的信号振荡频率越来越高不会发生逆转。的信号振荡频率越来越高不会发生逆转。而对而对 ,当当 时，只要是时，只要是 变化的变化的范围，如范围，如 ，则由于，则由于 ，总是会有总是会有 。0jne0002kk21jkne0kjnjnee这表明：当这表明：当 变化时，并非所有的变化时，并非所有的 都都是互相独立的。是互相独立的。离散时间信号的有效频率范围只有离散时间信号的有效频率范围只有 区间区间。其中其中 ， 处都对应最低频率处都对应最低频率； 或或 处都对应最高频率处都对应最高频率。 200jne02 k 2 k 在满足周期性要求的情况下，总能找到互在满足周期性要求的
17、情况下，总能找到互为质数的两个正整数为质数的两个正整数 m, N 使得：使得：02mN（m与与N无公因子）无公因子）此时此时 即为该信号的周期即为该信号的周期, , 也称为也称为基波基波周期周期, ,因此该信号的基波频率为因此该信号的基波频率为: :02Nm02Nm 离散时间周期性复指数信号也可以构成一离散时间周期性复指数信号也可以构成一个成谐波关系的信号集。个成谐波关系的信号集。2()jknNkne0, 1, 2k 该信号集中的每一个信号都是以该信号集中的每一个信号都是以N为周期为周期的的, N是它们的基波周期。是它们的基波周期。称为直流分量，称为直流分量， 称为基波分量。称为基波分量。0k
18、 1k 称为二次谐波分量等等。称为二次谐波分量等等。2k 每个谐波分量的频率都是每个谐波分量的频率都是 的整数倍。的整数倍。2N称为直流分量，称为直流分量， 称为基波分量称为基波分量0k1k称为二次谐波分量等等。称为二次谐波分量等等。2k每个谐波分量的频率都是每个谐波分量的频率都是 的整数的整数倍。倍。2N 特别值得指出的是：特别值得指出的是：该信号集中的所有信该信号集中的所有信号并不是全部独立的。号并不是全部独立的。( )( )kNknn 这表明：这表明：该信号集中只有该信号集中只有N个信号是独立个信号是独立的的。即当。即当k 取相连的取相连的N个整数时所对应的各个整数时所对应的各个谐波是彼
19、此独立的。因此，个谐波是彼此独立的。因此，由由N个独立的个独立的谐波分量就能构成一个完备的正交函数集谐波分量就能构成一个完备的正交函数集。这是与连续时间的情况有重大区别的这是与连续时间的情况有重大区别的 显然有：显然有： 信号信号 和和 的比较的比较 不同，信号不不同，信号不同同 对任何对任何 信号都信号都是周期的是周期的 基波频率基波频率 基波周期：基波周期：T0 频差频差 的整数倍时，的整数倍时，信号相同信号相同 仅当仅当 时，时，信号是周期的信号是周期的 基波频率基波频率 基波周期：基波周期：N2002mN002T02Nm00jte0jne一一. 离散时间单位脉冲与单位阶跃离散时间单位脉
20、冲与单位阶跃1. 单位脉冲序列单位脉冲序列:1.4 单位冲激与单位阶跃单位冲激与单位阶跃（The Unit Impulse and Unit Step Functions）01n 2. 单位阶跃序列单位阶跃序列 :与与 之间的关系：之间的关系：一次差分一次差分n10具有提取信号具有提取信号 中某一点的样值的作中某一点的样值的作用。用。1nk 1.单位阶跃单位阶跃( )u t( )u t 10，0t 0t 10( )u tt二二. 连续时间单位阶跃与单位冲激连续时间单位阶跃与单位冲激定义：定义：2. 单位冲激单位冲激( ) t 定义：定义： 定义的不严密性，由于定义的不严密性，由于 在在 不连不
21、连续，因而在该处不可导。续，因而在该处不可导。( )( )du ttdt( )( )tu td ( )u t0t 定义定义 如图所示如图所示:( )ut10( )utt0( )u t( )u t显然当显然当 时时可认为可认为( )( )duttdt( ) t01t0lim ( )( )tt( ) t即即 可视为一个面积始终为可视为一个面积始终为1的矩形，当的矩形，当其宽度其宽度趋于零时的趋于零时的极限极限。( ) t表示为表示为10( ) tt00()tt0tt1 矩形面积称为矩形面积称为冲激强度冲激强度。( )1t dt0( )( )()tu tdtd 显然有：显然有：( ) ( )(0)
22、( )x ttxt000( ) ()( ) ()x tttx ttt0lim0t1(0 )x(0 )( )xt( ) t也具有提取连续时间信号样本的也具有提取连续时间信号样本的作用。作用。)()()(tututG)()()(001ttuttutGG(t) 0 tG1(t) 0 t0 t用阶跃表示矩形脉冲用阶跃表示矩形脉冲1.5 连续时间与离散时间系统连续时间与离散时间系统 （Continuous-Time and Discrete-Time Systems）一一. 系统系统 系统是非常广泛的概念。通常将系统是非常广泛的概念。通常将若干相互依赖，相互作用的事物所组成的具若干相互依赖，相互作用的事
23、物所组成的具有一定功能的整体称为系统。它可以是物理有一定功能的整体称为系统。它可以是物理系统，也可以是非物理系统。系统，也可以是非物理系统。输入信号与输出响应都是连续时间输入信号与输出响应都是连续时间信号的系统。信号的系统。连续时间系统连续时间系统( )x t( )y t 连续时间系统：连续时间系统：离散时间系统离散时间系统离散时间系统：离散时间系统：输入信号与输出响应都是离散时间信号输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统。的系统。系统分析的基本思想：系统分析的基本思想：1. 根据工程实际应用，对系统建立根据工程实际应用，对系统建立数学模型。通常表现为描述输入数学模型。通常表现为描述输入输出
24、关系的方程。输出关系的方程。2. 建立求解这些数学模型的方法。建立求解这些数学模型的方法。为此要求所研究的系统具有以下为此要求所研究的系统具有以下两两点重要特性点重要特性: :（1）这一类系统应该具有一些性这一类系统应该具有一些性质和结构，通过它们能够对系统的质和结构，通过它们能够对系统的行为作出透彻的描述，并能对这一行为作出透彻的描述，并能对这一类系统建立有效的分析方法（即可类系统建立有效的分析方法（即可行性）。行性）。 本课程所研究的对象本课程所研究的对象LTI（Linear TimeInvariant Systems）系统就是这系统就是这样的一类系统。样的一类系统。 2）很多工程实际中的
25、系统都能利用这很多工程实际中的系统都能利用这类系统的方法建模（即具有普遍性）。类系统的方法建模（即具有普遍性）。二二. . 系统的互联系统的互联 （Interconnection of Systems） 现实中的系统是各式各样的，其现实中的系统是各式各样的，其复杂程度也大相径庭。但许多系复杂程度也大相径庭。但许多系统都可以分解为若干个简单系统统都可以分解为若干个简单系统的组合。的组合。 可以通过对简单系统（子系统）的分可以通过对简单系统（子系统）的分析并通析并通过子系统互联而达到分析复杂系过子系统互联而达到分析复杂系统的目的。统的目的。 也可以通过将若干个简单子系统互联也可以通过将若干个简单子
26、系统互联起来而实现一个相对复杂的系统。这一起来而实现一个相对复杂的系统。这一思想对系统分析和系统综合都是十分重思想对系统分析和系统综合都是十分重要的。要的。2. 并联并联 ( parallel interconnection )1. 级联级联 (cascade interconnection)()xt()yt( )x t( )y t3. 反馈联结反馈联结 ( Feedback interconnection )工程实际中也经常将级联、并联混合使用，工程实际中也经常将级联、并联混合使用，如：如：( )x t( )y t 在任何时刻，系统的输出都只与当前时刻在任何时刻，系统的输出都只与当前时刻的输
27、入有关，而与该时刻以外的输入无关，的输入有关，而与该时刻以外的输入无关，则称该系统是则称该系统是无记忆系统无记忆系统。否则就是。否则就是记忆系记忆系统统，即，即（memory systems 或或 systems with memory )。 如果一个系统的输出响应不仅与当时的输如果一个系统的输出响应不仅与当时的输入有关入有关, ,而且与该时刻以外的其它时刻的输入而且与该时刻以外的其它时刻的输入有关，则系统是记忆的。有关，则系统是记忆的。1.6 系统的基本性质系统的基本性质 ( Basic System Properties ) 1. 记忆系统与无记忆系统记忆系统与无记忆系统 (memory
28、systems and memoryless systems)例如例如：1( )( )ty txdC（电容）（电容）( )(1)y tx tRC、RLC电路电路（累加器）（累加器）（差分器）（差分器）等都是等都是记忆系统记忆系统 在无记忆系统中有一种特例，即任何时刻在无记忆系统中有一种特例，即任何时刻系统的输出响应与输入信号都相同，即有系统的输出响应与输入信号都相同，即有 , 或或 这样的无记忆系统这样的无记忆系统称为称为恒等系统恒等系统 ( identity system )。 ( )( )y tx t2. 可逆性与逆系统可逆性与逆系统 (Inveritibility and inverse
29、 systems) 如果一个系统对任何不同的输入都能产生如果一个系统对任何不同的输入都能产生不同的输出，即输入与输出是一一对应的，不同的输出，即输入与输出是一一对应的，则称该系统是则称该系统是可逆的可逆的( invertible systems )。 如果一个系统对两个或两个以上不同的如果一个系统对两个或两个以上不同的输入信号能产生相同的输出，则系统是不可输入信号能产生相同的输出，则系统是不可逆的，称为逆的，称为不可逆系统不可逆系统( noninvertible systems )。 如果一个可逆系统与另一个系统级联后构如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等成一个恒等系统，则称后者是前
30、者的系统，则称后者是前者的逆系统逆系统 ( inverse system )。( )x t( )y t( )x t例如例如:1( )( )2y tx t 是可逆系统，其逆系统是是可逆系统，其逆系统是:( )2 ( )y tx t 是可逆系统，其逆系统是是可逆系统，其逆系统是:2( )( )y txt是不可逆系统，是不可逆系统，因为有两个不同的因为有两个不同的( )x t( )x t而而输入输入 和和 能产生相同的输出。能产生相同的输出。 输入输入 时时, ；输入；输入 时时, 。也是不可逆的，也是不可逆的，因为因为 是不可逆系统，是不可逆系统，因为无法从因为无法从 还原为还原为 ( )( )d
31、x ty tdt不可逆；不可逆；( )0y t 调制或编码过程必须是可逆的，其逆系统调制或编码过程必须是可逆的，其逆系统是解调器或解码器。是解调器或解码器。也是不可逆系统。也是不可逆系统。 如果一个系统在任何时刻的输出如果一个系统在任何时刻的输出都只与当时这个时刻的输入以及该都只与当时这个时刻的输入以及该时刻以前的输入有关，而和该时刻时刻以前的输入有关，而和该时刻以后的输入无关就称该系统是以后的输入无关就称该系统是因果因果的的(causal system)。否则就是否则就是非因果非因果的的(noncausal system)。3. 因果性因果性 (causality) 一般说来，一般说来，非因
32、果系统是物理不可实非因果系统是物理不可实现的现的。这体现了因果性对系统实现的重。这体现了因果性对系统实现的重要性。但对非实时处理信号的离散时间要性。但对非实时处理信号的离散时间系统，或信号的自变量并不具有时间概系统，或信号的自变量并不具有时间概念的情况，因果性并不一定成为系统能念的情况，因果性并不一定成为系统能否物理实现的先决条件。否物理实现的先决条件。 例如在图像处理中例如在图像处理中, , 自变量自变量是图像中各点的坐标位置，而并是图像中各点的坐标位置，而并非代表时间。对某些数据处理系非代表时间。对某些数据处理系统，如股市分析、经济预测等统，如股市分析、经济预测等 , ,实际上是以足够的延
33、时来换取非实际上是以足够的延时来换取非因果性的实现。因果性的实现。0n 时时 决定于以后时刻的输入。决定于以后时刻的输入。( )y n( )(2 )y tx t是非因果系统。是非因果系统。RLC电路电路, , , 都是因果系统。都是因果系统。 4. 稳定性稳定性 ( stability ) 如果一个系统当输入有界时，产生的输如果一个系统当输入有界时，产生的输出也是有界的，则该系统是出也是有界的，则该系统是稳定系统稳定系统(stable system)。否则，就是否则，就是不稳定系统不稳定系统(unstable system)。例如：例如： 是稳定系统。是稳定系统。( )( ),( )( )ty
34、 txdy ttx t都是不稳定系统。都是不稳定系统。 如果一个系统当输入信号有一个时移时，如果一个系统当输入信号有一个时移时，输出响应也产生同样的时移。除此之外，输输出响应也产生同样的时移。除此之外，输出响应无任何其它变化，则称该系统是出响应无任何其它变化，则称该系统是时不时不变的变的( time-invariant system )。否则就是否则就是时变的时变的( time-varying )。 工程实际中总希望所设计的系统是稳定的。工程实际中总希望所设计的系统是稳定的。因此稳定性对系统来说是非常重要的。因此稳定性对系统来说是非常重要的。5. 时不变性时不变性 ( Time-invaria
35、nce )即：若即：若 ( )( ),x ty t00()()x tty tt则系统是时不变的。则系统是时不变的。检验一个系统时不变性的步骤检验一个系统时不变性的步骤: :1.令输入为令输入为 ，根据系统的描述，确定此，根据系统的描述，确定此时的输出时的输出 。2.将输入信号变为将输入信号变为 ，再根据系统的描述，再根据系统的描述确定输出确定输出 。3. 令令 根据自变量变换，检验根据自变量变换，检验 是否等于是否等于 。1( )x t1( )y t210( )(),x tx tt2( )y t2( )y t10()y tt2( )x t例：例：当当 时，时，时，时，由于由于系统是时变的系统是
36、时变的。当当令令则有：则有：又如：又如：( )()y txt1( )( )x tx t11( )()y txt210( )()x tx tt22( )()y txt该系统是时变的。该系统是时变的。1010102() ()()( )y ttxttx tty t 当当 时，时，当当 时，时，2( )( )x tx t令令则有：则有：210( )()y txtt 而而6. 线性线性（Linearity） 11( )( )x ty t22( )( )x ty t1212( )( )( )( )ax tbx tay tby t 其中其中a,b是常数是常数 满足此关系的系统是线性的满足此关系的系统是线性的
37、。若若 例如：例如： , ,满足可加性，但不满足可加性，但不满足齐次性。当满足齐次性。当 时其实部变为虚部，时其实部变为虚部，虚部变为实部。虚部变为实部。( )Re( )y tx taj满足齐次性但不满足可加性。满足齐次性但不满足可加性。21( )( )( )y txtx t因为，若输入为因为，若输入为 则则12( )( )x tx t2212121( )( )( ) ( )( )y tx tx tx tx t22212121212( )( )( )( )( )( )( )( )xtxtxtxtx tx tx tx t 如果一个系统是线性的，当我们能够如果一个系统是线性的，当我们能够把输入信号
38、把输入信号 分解成若干个简单信号分解成若干个简单信号的线性组合时，只要能得到该系统对每的线性组合时，只要能得到该系统对每一个简单信号所产生的响应，就可以很一个简单信号所产生的响应，就可以很方便的根据线性特性，通过线性组合而方便的根据线性特性，通过线性组合而得到系统对得到系统对 的输出响应。即的输出响应。即( )x t( )x t若若 ，且，且( )( )kkkx ta x t( )( )kkx ty t则则( )( )kkky ta y t这一思想是信号与系统分析理论和方法建立这一思想是信号与系统分析理论和方法建立的基础。的基础。 在工程实际中，有一类系统并不满足线在工程实际中，有一类系统并不
39、满足线性系统的要求。但是这类系统的输出响应的性系统的要求。但是这类系统的输出响应的增量与输入信号的增量之间满足线性特性。增量与输入信号的增量之间满足线性特性。这类系统称为这类系统称为增量线性系统增量线性系统 该系统既不满足齐次性，也不满足可加该系统既不满足齐次性，也不满足可加性，但当考查输入的增量与输出的增量之间性，但当考查输入的增量与输出的增量之间关系时，有关系时，有( )( )2y tx t111( )( )( )2x ty tx t222( )( )( )2x ty tx t例如：例如：121212( )( )( )( )( )( )x tx ty ty tx tx t可见输入的增量与输
40、出的增量之间是满可见输入的增量与输出的增量之间是满足线性关系的，它是一个足线性关系的，它是一个增量线性系统增量线性系统。显然有显然有 任何增量线性系统都可以等效为一个线性任何增量线性系统都可以等效为一个线性系统再加上一部分与输入无关的响应。系统再加上一部分与输入无关的响应。 线性系统线性系统( )x t1( )y t( )y t0( )y t增量线性系统增量线性系统 当增量线性系统的当增量线性系统的 时，时， 。此时。此时系统的输出响应完全由系统的输出响应完全由 决定。此时系统处于决定。此时系统处于零初始状态，故将零初始状态，故将 称为系统的称为系统的零状态响应零状态响应。0( )0y t 1
41、( )( )y ty t1( )y t1( )y t 可见，增量线性系统的响应包括可见，增量线性系统的响应包括零输入响零输入响应和零状态响应应和零状态响应两部分。两部分。 根据线性系统的齐次性，可得出：线性根据线性系统的齐次性，可得出：线性系统当输入为零（即根本没有输入）时，系系统当输入为零（即根本没有输入）时，系统的输出响应为零（即没有输出响应）。这统的输出响应为零（即没有输出响应）。这就是所谓就是所谓线性系统的零输入线性系统的零输入零输出特性。零输出特性。增量线性系统当增量线性系统当 时，有时，有 ，因此将，因此将 称为系统的称为系统的零输入响应零输入响应。( )0 x t 10( )0,
42、( )( )y ty ty t0( )y t建立了信号与系统的数学描述方法。建立了信号与系统的数学描述方法。讨论了信号自变量变换对信号的影响。讨论了信号自变量变换对信号的影响。介绍了作为信号分析基础的基本信号：介绍了作为信号分析基础的基本信号：复指数复指数1.7 本章小结本章小结（Summary）信号、正弦信号、单位冲激与单位阶跃信号、正弦信号、单位冲激与单位阶跃信号。信号。讨论了离散时间信号周期性的问题。讨论了离散时间信号周期性的问题。定义并讨论了系统的六大基本特性及系定义并讨论了系统的六大基本特性及系统的互连。讨论了增量线性系统及其等统的互连。讨论了增量线性系统及其等效方法。效方法。 由于在工程实际中，相当广泛由于在工程实际中，相当广泛的系统其数学模型都可以描述成一的系统其数学模型都可以描述成一个线性时不变个线性时不变( LTI )系统，而且基于系统，而且基于线性和时不变性，为系统分析建立线性和时不变性，为系统分析建立一套完整的、普遍适用的方法提供一套完整的、普遍适用的方法提供了可能，因此，了可能，因此，线性时不变系统将线性时不变系统将成为本课程所研究的对象成为本课程所研究的对象第一章习题：第一章习题：1.31.21 (d) (e)1.22 (b)1.9 (b) (d) (e)1.27 (b)1.28 (c)1.31
