1、ABCDEOF播种行为，收获习惯！播种行为，收获习惯！主要内容：主要内容： 一、一、 三角形重心的定义三角形重心的定义 二、二、 重心的五个重要性质重心的五个重要性质 三、三、 三角形的五三角形的五“心心”简介简介连接连接AD,BE,交于点交于点O，O点即为点即为ABC. 如图所示：在如图所示：在ABC中，中， 点点D、E分别是分别是BC、 AC的中点的中点.ABCDEO重心的定义重心的定义三角形的三条中线交于一点三角形的三条中线交于一点,这点称为三这点称为三角形的重心角形的重心重心分中线之比为重心分中线之比为2:1. 即即 AO:OD=2:1 ABCDEOH取取EC中点中点H，连接连接DH可
2、证可证 AO：OD= 2:1重心性质重心性质1 1重心性质重心性质2 2ABCDEOF连接连接CO并延长，交并延长，交AB于于F根据性质根据性质1，可以证明，可以证明G 过点过点D作作DG/CF ，交，交AB于于G三角形的三中线必然交于一点三角形的三中线必然交于一点. 此点恰是此点恰是重心重心.故故F为为AB中点中点.AF:FG=2:1 FG:GB=1:1AOCBOCAOBSSSBCOADEF分别延长中线，可交对边的中点.易知：易知：SAOB= 2SBOD= SBOC重心性质重心性质3 3ODOPOCOB20OCOBOABCOABCODP由中线向量的性质：由中线向量的性质：2OAOD 0OCO
3、BOAD0？如果如果O为为ABC的重心，那么的重心，那么重心性质重心性质4 4BCOADEF重心向量常见变化形式：重心向量常见变化形式：（2）ACABAO3131（3）中线中线AD上的点上的点P满足：满足：ACABAP（1）0COBOAO BCOANM连接连接AO,因为因为M、O、N三点共线三点共线ACABAO3131可得可得311yxACyABxANAMAO-11所以所以重心性质重心性质5 5ABxAM ACyAN ，则则 .311yx，0 xy，设直线设直线l过重心过重心O，交，交AB、AC于点于点M、N， BCANM 它的逆命题也成立！则直线l必过ABC的重心重心设直线l交AB、AC于点
4、M、N，3ABACAMAN且满足C【友情链接】1. （2010年湖北卷）已知ABC和点M满足0MCMBMAAMmACABm，若存在实数m使得成立，则 （ ）A2B32C3 D6 解析：解析：BCMAACABAM3131【补充内容补充内容】三角形“五心”向量形式的充要条件： 设O为ABC所在平面内一点，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则（1） O为重心 （三条中线的交点）BCOA0OCOBOA（2） O为垂心（三条垂线的交点） BCOAOAOCOCOBOBOA（3） O为外心（中垂线交点，外接圆圆心） BCOA222OCOBOA（4） O为内心（角平分线交点，内切圆圆心） 0OCcOBb
5、OAa（5） O为A旁心（旁切圆圆心，A平分线与两外角平分线交点） OCcOBbOAa (1)(2)(3)(1)(2)(3)常考；常考； (4)(5)(4)(5)只作了解只作了解 . .ABCDEFIaIKHEFDABCM【友情链接】2.（2009宁夏海南卷）已知O,N,P在ABC所在平面内，且 ， ，OAOBOC NANBNC 0 PA PBPB PCPC PA ，则O,N,P依次是ABC的A.重心 外心 垂心C.外心 重心 垂心D.外心 重心 内心B.重心 外心 内心答案：答案：(C)(C)BCNABCPABCOA解析：解析：提示： 连GA 【课后思考】：1设G为ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和GBC的面积相等GBCAMN AMG的面积=GBM的面积， GAN的面积=GNC的面积, 0OCOBOA【课后思考】2.已知A,B,C三点不共线，且点O满足，下列结论正确的是（ ）A.C.D.B.BCABOA3231BCABOA313212-33OAABBC BCABOA3132-ACABAO3131ACABBC 提示：提示：小结1.重心的定义2.重心五个性质及其变化形式3.“五心”的认识及其向量的基本形式4. 友情链接高考试题聪明由于积累，天才出于勤奋。
