1、 第1页共 8 页 天津市天津市南开中学南开中学 20202 22 2 届高三届高三（下）（下）数学统练数学统练二二 一一、选择题选择题 （1）已知集合220Ax xx=+=，122xBx=，则AB = A. 0 B. 0 2， C. 02， D. 2 0 2 ， （2）已知命题:(0,),ln0pxxx +，则p为 A. (0,),ln0 xxx + B. (0,),ln0 xxx + C. (0,),ln0 xxx + D. (0,),ln0 xxx + （3）函数( )1ln1xf xx=+的大致图象为 （4）要得到函数sin 54yx=的图象，只需将函数cos5yx=的图象 A. 向左
2、平移320个单位长度 B. 向右平移320个单位长度 C. 向左平移34个单位长度 D. 向右平移34个单位长度 （5）已知1275a=，1357b=，25log7c =，则a、b、c的大小关系是 A. bac Bcba Ccab Dbca （6）设nS为正项等比数列na的前n项和，534,3,aa a成等差数列，则84SS的值为 A16 B17 C116 D117 （7）双曲线 C：()222210,0 xyabab=的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在 C 上，且|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|94ab，则双曲线的离心率为( ) 第2页共 8 页 A.43 B.53 C.1
3、03 D.10 （8） 已知可导函数( )f x是定义在 2 2，上的奇函数. 当02x，时，( )( )tan0f xfxx+，则不等式()cossin02x fxx fx+的解集为 A. 26， B. 06， C. 24， D. 04， （9）设函数( )2ln2xf xxxax=+e，若函数( )f x至少存在一个零点，则实数a的取值范围是 A. 210ee， B. 210+ee， C. 21+ee， D. 21+ee， 二二、填空题填空题（每题（每题 4 分，共分，共 32 分）分） （10）已知aR，i为虚数单位，若2a +ii为实数，则a的值为 . （11）522xx+的展开式中4
4、x的系数为 . （12）盒中有大小相同的6个红球，4个白球，现从盒中任取1球，记住颜色后再放回盒中，连续摸取4次. 设表示连续摸取 4 次中取得红球的次数，则的数学期望( )E= . （13）如图，在ABC中，11,23ADAB AEAC=，CD与BE交于点P，2AB =，4AC =，2AP BC=，则ACAB的值为_. . （14）设0 x ，0,1yxy+=，则212xxy+的最小值为 . （15）已知函数( )2sinsin63f xxx=+（0） ， （xR） ，若( )f x在区间2，内没有零点，则的取值范围是 . 第3页共 8 页 三三、解答题解答题（共（共 32 分）分） （16
5、）已知函数( )cos 2sin26f xxx=+. （I）求函数( )f x的最小正周期，并写出函数( )f x的单调递增区间 （II）在ABC中，角A B C，所对的边分别为a b c，且满足()2coscosacBbC=，求2Af的取值范围. （17） （本小题满分 12 分） 如图， 四棱柱1111ABCDABC D中， 侧棱1A A 底面ABCD，/AB DC，ABAD，1ADCD=, 12AAAB=，E为棱1AA的中点. （I）证明：11BCCE； （II）求二面角11BCEC的正弦值； （III）设点M在线段1C E上，且直线AM与平面11ADD A所成角的正弦值为26，求线段A
6、M的长. （18）已知数列na中，1111,33nnnanaaan+=(nn为奇数）为偶数）. （）求证：数列232na是等比数列； （）记nS是数列na的前n项和： 求2nS； 求满足0nS 的所有正整数n. 第4页共 8 页 （19）椭圆 C：()222210 xyabab+=的离心率为32，以椭圆 C 的上顶点 T 为圆心作圆 T：x2(y1)2r2(r0)，圆 T 与椭圆 C 在第一象限交于点 A，在第二象限交于点 B. （）求椭圆C的方程； （）求TA TB的最小值，并求出此时圆T的方程； （）设点 P 是椭圆 C 上异于 A，B 的一点，且直线 PA，PB 分别与 y 轴交于点 M
7、，N，O 为坐标原点，求证：|OM|ON|为定值 （20） （本小题满分 12 分） 已知函数( )()()( )()1212ln ,e,e2.71828.xf xaxx g xxa=R （）当1a =时，求( )fx的单调区间； （）若函数( )f x在区间10,2无零点，求a的最小值； （） 若对任意任意给定的(00,e ,x 在(0,e上总存在存在两个不同的(1,2)ix i =,使得0( )()if xg x=成立，求a 的取值范围 第5页共 8 页 天津市天津市南开中学南开中学 20202 22 2 届高三届高三（下）（下）数学统练数学统练二二（参考答案）（参考答案） 1 2 3 4
8、 5 6 7 8 9 D C D B C B B D D 填空题：10.2a = 11.40 12.125 13.2 14. 21+ 15. 12 5033 6， 解答题： （16） （I）( )3sin(2)6f xx=+则 ()的最小正周期 =2= ； （II）(32,3 （17）以点 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得 A(0，0，0),B(0，0，2)，C(1，0，1),B1(0，2，2),C1(1，2，1),E(0，1，0). ()证明：易得11(1,0, 1),BC =( 1,1, 1)CE = ,于是110BC CE=，所以11BCCE. ()解：1(1, 2, 1)BC =
9、. 设平面1BCED 法向量( , , )x y z=m， 则100BCCE=mm，即200 xyzxyz= +=，消去x，得20 xy+=， 不妨设1z =，可得一个法向量为( 3, 2,1)= m. 由()，11BCCE，又111CCBC,可得11BC 平面1CEC, 故11(1,0, 1)BC =为平面1CEC的一个法向量. 于是11111142 7cos7|142BCBCBC= mm,|m| |，从而1121sin7BC=m, 所以二面角 B1CEC1的正弦值为217. ()解：(0,1,0)AE =,1(1,1,1)EC =,设1( , , )EMEC =,01, 有( ,1, )A
10、MAEEM =+=+.可取(0,0,2)AB =为平面 ADD1A1的一个法向量. 设为直线 AM 与平面 ADD1A1所成角， 则sin|cos,|AM AB= | |AM ABAMAB 22222(1)2321=+ 第6页共 8 页 于是226321=+，解得13=，所以 AM= 2. （18）解： （）设232=nnab， 因为231263123123123212221+=+=+)()()(nnanaabnnnn 21312=nannba3123312=又因为0612321= ab， 所以数列232na是以61为首项以31为公比的等比数列 （）由（）得，即， 由，得， 所以， ， 显然当
11、时，单调递减， 又当时，当时，所以当时，； ，同理，当且仅当时， 综上，满足0nS的所有正整数n为1和2 （19）(1)由题意知，b1，eca32，所以 a2c21，c2a234， 得 a24，c23，b21，故椭圆 C 的方程为x24y21. (2)点 A 与点 B 关于 y 轴对称，设 A(x1，y1)，B(x1，y1)，由点 A 在椭圆 C 上，则 x2144y21，因为 T(0,1)，得TA(x1，y11)，TB(x1，y11)， 123111126323nnnnba= = 2113232nna= +()2211213nnaan=+()1212111533 216232nnnaann=
12、 +12121111692692333nnnnnaann+= += +() ()()21234212nnnSaaaaaa=+()211126 129333nnn= +11133(1)2691213nn nn+= +()22111 3631233nnnnn= +=+*nN2nS1n =2703S =2n =4809S = 2n20nS2212231536232nnnnSSann=+1n =210nS 第7页共 8 页 所以TATBx21(y11)25y1152165， 由题意得 0y11， 当 y115时，TATB取最小值165，此时 x214425，x14 65， 故 A4 65，15，又点
13、A 在圆 T 上，代入圆的方程，得 r211225， 故圆 T 的方程是 x2(y1)211225. (3)证明：设 P(x0，y0)，则 PA 的方程为 yy0y0y1x0 x1(xx0)， 令 x0，得 yMy0(y0y1)x0 x0 x1x0y1x1y0 x0 x1，同理 yNx0y1x1y0 x0 x1， 故 yMyNx20y21x21y20 x20 x21， 因为 P，A 都在椭圆 C 上，所以 y201x204，y211x214，代入， |yMyN|x201x214x211x204x20 x211，即得|OM|ON|yMyN|1. 20 解： （）()( )0,2 ,2,.f x+
14、的单调减区间为单调增区间为 （） 函数1( )(0, )2f x 在上无零点， 对任意的1(0, ),( )02xf x恒成立， 或者( )0f x 恒成立， 因为1( )0(0, )2f x 在区间上恒成立不可能， 所以12ln0,221xxax 恒成立. 令2ln1( )2,(0, ),12xl xxx=则()()()22111lnln1( )22,11xxxxxl xxx+= = 11( )ln1,(0, ),2m xxxx=+再令22111( )0,xm xxxx=则 111e( )(0, ),( )( )ln1lnln10,2222m xm xm=+ =故在上为减函数 于是 1( )
15、0,( )(0, )2l xl x所以故在上为增函数,1( )( )24ln2,2l xl=所以 2ln2,24ln2,1xaax故要使恒成立 只要 综上，若函数1( )(0, ),2f x 在上无零点 24ln2.a则 的最小值为 第8页共 8 页 （ III ）111( )ee(1)e,xxxg xxx=(0,1),( )0,( );xg xg x当时函数单调递增(1,( )0,( )xeg xg x当时函数单调递减.2 e(0)0, (1)1, (e)e0,ggg=又因为 所以，函数( )0,e0,1 .g x 在上的值域为 ( )2,2ln ,0, 2ln,;af xxxx= +当时当
16、时不合题意 ()()(2222222,( )2,0,eaxa xaafxaxxxx=当时 (2,( )0.,( )0,e,2xfxf xa=当时由题意得在上不单调220e,22eaa即 此时，当,( ),( )xfxf x变化时的变化情况如下： x 20,2a 22a 2,2ea ( )fx 0 + ( )f x 最小值 ( )()()0,( ),222ln,e2e 12,:22xf xfafaaaa+=又因为当时所以 需满足下列条件 ()()222ln00,222e 121(e)1,afaaaf即 由可知220ea ()222ln2ln22ln 22ln22ln202eaaaaaa=+=， 即对任意2,2ea ，恒成立.由式解得：32.e 1a 综合可知， 当(03,2,0,e ,e 1ax 时 对任意给定的在(0,e上总存在两个不同的(1,2),ix i =使0( )()if xg x=成立.
