1、理科数学试题 第1页（共4页） 长春市普通高中 2022 届高三质量监测（四） 理科数学 本试卷共 5 页. 考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区. 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正
2、带、刮纸刀. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 | |3Ax x=， |2Bx x=，则集合AB = A. |03xx B. |23xx C. |02xx D. | 32xx 2. 若复数2iiza+=+的实部与虚部相等，则实数a的值为 A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 3. 下列函数既是偶函数，又在(0,)+上单调递减的是 A. 42yxx=+ B. eexxy= C. | |exy= D. ln |yx= 4. 已知长方形的长和宽分别为 3 和 2，则该长方形分别以长和宽所在直线为旋转
3、轴旋转所得的圆柱体的体积之比为 A. 9:4 B. 4:9 C. 3:2 D. 2:3 5. 纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617） ，而最大的贡献是对数的发明，著有奇妙的对数定律说明书 ，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值. 现将物体放在空气中冷却， 如果物体原来的温度是1()T ， 空气的温度是0()T ， 经过t 分钟后物体的温度()T 可由公式10304logtTTTT=得出，如温度为90()的物体，放在空气中冷却约 5 分钟后，物体的温度是30()，若根据对数表可以查询出3log 20.6309=，
4、则空气温度约是 A. 5() B. 10() C. 15() D. 20() 6. 设l、m、n表示直线，、表示平面，使“l”成立的充分条件是 A. ，/l B. ，l C. m，n，lm，ln D. /ln，n 7. 已知随机变量1(4, )3XB，下列表达式正确的是 A. 4(2)81P X = B. (31)4EX += C. (31)8DX += D. 4()9D X = 理科数学试题 第2页（共4页） 8. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a（单位：t） ，用水量不超过a的部
5、分按平价收费，超出a的部分按议价收费，如果当地政府希望使 80%以上的居民每月的用水量不超出该标准，为了科学合理确定出a的数值，政府采用抽样调查的方式，绘制出 100 位居民全年的月均用水量（单位：t）频率分布直方图如图，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况，可推断标准a大约为 A. 2.4 B. 2.6 C. 2.8 D. 3.2 9. 对于函数( )2cos(2)3f xx=，下列结论正确的是 A. 图象关于点(,0)3对称 B. 在区间,3 3 上单调递增 C. 与函数2sin(2)6yx=相等 D. 在区间0,3的最大值为 2 10. 已知数列na满足1(1)(1)20nna
6、a+=，112a =，则数列na的前 2022 项积为 A. 16 B. 23 C. 6 D. 32 11. 已知点1F和2F分别是双曲线C：22221xyab=（0a ，0b ）的左、右焦点，过1F作双曲线C一条渐近线的垂线，垂足为H，且21| 3|F HFH=，则双曲线C的离心率为 A. 3 24 B. 62 C. 2 D. 3 12. 已知函数1( )e1xf xx=，( )lng xxax=+， 若( )( )f xg x恒成立， 则实数a的取值范围是 A. (, 1 B. (,0 C. (,1 D. (,e 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 若公差不为
7、0 的等差数列na满足35a =，125,a a a成等比数列， 则1a =_. 14. 220(2 )xx dx= _. 15. ABC中，BC边上的中线AM长为 1，点P满足2APPM= ，则()PAPBPC+= _. 16. 如图， 四棱锥PABCD的底面为矩形，PA 平面ABCD. 1=PAAB，3AD =，点E，F分别在棱AB，BC上，当空间四边形PEFD的周长最小时， 异面直线PE与DF所成角的余弦值为_. 0.511.522.53频率/组距月均用水量/t0.120.200.50O0.300.443.54PBDCAFE（长春四模） 理科数学试题 第3页（共4页） 三、解答题：共 7
8、0 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （12 分） 在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，ABC的面积为S，已知2224 33bcaS+=. （1）求角A； （2）若2b =，7a =，求ABC的面积. 18. （12 分） 已知直三棱柱111CBAABC 中，底面为正三角形，E为AB的中点， 二面角ACAE1的大小为4. （1）证明：/1BC平面ECA1； （2）求直线BC与平面ECA1所成角的正弦值. 19. （12 分） 今年全
9、国两会期间，习近平总书记在看望参加全国政协十三届五次会议的农业界、社会福利和社会保障界委员时指出“粮食安全是国之大者. 悠悠万事，吃饭为大. ”某校课题小组为了研究粮食产量与化肥施用量的关系以及化肥有效利用率，收集了 10 组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，每亩化肥施用量为x（单位：公斤） ，粮食亩产量为y（单位：百公斤）. 参考数据： 表中ln,ln(1,2,10)iiiitx zy i=. （1） 根据散点图判断dycx=作为粮食亩产量 y 关于每亩化肥施用量 x 的回归方程类型比较适宜. 根据表中数据，建立 y 关于 x 的回
10、归方程；并预测每亩化肥施用量为 27 公斤时，粮食亩产量 y 的值； （预测时取e2.7） （2）结合文献，当化肥施用量达到一定程度，粮食产量的增加值将趋于停滞，已知某化肥有效利用率2(0.54,0.02 )ZN，那么这种化肥的有效利用率超过56%的概率为多少？ 附：对于一组数据(),iix y（1,2,3,in=） ，其回归直线ybxa=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221niiiniix ynxybxnx=，aybx=；若随机变量2)( ,ZN ，则有()0.6827PZ+，(22 )0.9545PZ+. 101iiix y= 101iix= 101iiy= 1021iix= 101
11、iiit z= 101iit= 101iiz= 1021iit= 650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5 ACBA1C1B1E理科数学试题 第4页（共4页） 20. （12 分） 已知函数ln(1)( )1xf xx+= ，(0,)x+. （1）证明：0( )2xf x） 的焦点为F， 过点F且倾斜角为3的直线被E所截得的弦长为 16. （1）求抛物线E的方程； （2）已知点C为抛物线上的任意一点，以C为圆心的圆过点F，且与直线12y = 相交于A、B两点，求| | |FAFBFC的取值范围. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答
12、，如果多做则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系中，O为极点， 方程(1 sin )a=（0a ）表示的曲线1C是一条优美的心形线. 如图， 以极点O为坐标原点，极轴Ox为x轴非负半轴的直角坐标系xOy中，已知曲线2C的参数方程为3xtyt=（t为参数，且0t）. （1）求曲线2C的极坐标方程； （2） 当2a =时，1C与2C交于点 A， 将射线 OA 绕极点按顺时针方向旋转6， 交1 C于点 B，求OA OB 的值. 23. 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设函数( ) |21|21|f xxx=+. （1）求不等式( )3f x 的解集； （2）设, a b是两个正实数，函数( )f x的最小值为m，且2abm+=. 证明：22ab+. （长春四模）
