1、立体几何中的轨迹问题探索一、单选题1如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到的运动过程中，点与平面的距离保持不变，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图象大致是( )ABCD【答案】C【解析】【分析】先由题意，得到点在的边上沿逆时针方向运动，设正方体的棱长为，取线段的中点为，根据题意确定当动点运动到点时，同理得到动点运动到线段或的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果.【详解】由题意可知：点在的边上沿逆时针方向运动，设正方体的棱长为，取线段的中点为，则当动点运动到点时，同理，当动点运动到线段或的中点时，计算得.符合C选项的图像特征.故选：C【点
2、睛】本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.2已知异面直线、成60角，其公垂线段为，长为4的线段的两端点分别在直线、上运动，则中点的轨迹为（ ）A椭圆B双曲线C圆D以上都不是【答案】A【解析】【分析】根据条件画出合适的示意图，确定的中点所在的平面，建立合适坐标系，先根据余弦定理求出之间的关系，然后利用的坐标形式表示出之间的关系，由此得到对应的轨迹形状.【详解】如图所示：设的中点为，过作的垂面，则的中点必在平面内，设在平面内的射影点为，因为，所以，以的角平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示：设，由余弦定理可知：，所以，又因为，设，所以，所以，将
3、上述结果代入等式中化简可得：，故轨迹是椭圆.故选：A.【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，难度较难.处理立体几何中的轨迹问题的方法：首先根据空间中的点线面位置关系确定出线段的长度，然后将问题统一到一个平面中并在该平面中建立合适的平面直角坐标系，借用坐标表示线段间的长度关系，进而化简可得轨迹方程即可判断轨迹形状.3如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是ABCD【答案】D【解析】【分析】设，分别为、边上的中点，由面面平行的性质可得落在线段上，再求的长度即可.【详解】解：设，分别为、边上的中点，则四点共面，且平面平面，又面，落在线段上，正方体中的棱
4、长为，即在侧面上的轨迹的长度是故选：【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.4已知直线平行于平面且它们的距离为我们把到直线与到平面的距离都相等的点构成的集合定义为集合A，那么集合A中同属于某个平面的点构成的图形不可能是（ ）A椭圆B两条平行直线C一条直线D抛物线【答案】A【解析】【分析】把问题放在正方体ABCD-EFGH中去，建立空间直角坐标系，找出关于的方程，通过方程判断可能的图形【详解】如图在棱长为正方体ABCD-EFGH中，将面ABCD当作平面将直线EH当作直线，其距离为正方体的棱长，如图，建立空间直角坐标系， 设点M ，则点M到平面的距离为，则点M到直线的距离为：，
5、整理得：当时，即，一条直线，C有可能；当时，即，两条平行线，B有可能；当不取常数，为一个变量时，是一个抛物线的方程，D有可能；方程任何时候都不可能是椭圆的方程，故A不可能故选：A【点睛】本题考查利用空间直角坐标解决空间图形的轨迹问题，是一道难题5在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等，则动点所在的曲线的形状为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】由平面可知到直线的距离即为到点的距离，从而可得其轨迹为抛物线的一部分且过点，依次判断各个选项即可.【详解】平面，平面 到直线的距离为，即点到点的距离点轨迹是以为焦点，所在直线为准线的抛物线的一部分又在平面上， 点轨迹过点中轨迹不是抛物线，则错
6、误；中轨迹不过，则错误.故选：【点睛】本题考查立体几何中点的轨迹的求解，关键是能够通过线面垂直关系确定动点轨迹为抛物线的一部分.6给定正三棱锥，点M为底面正内(含边界)一点，且M到三个侧面,的距离依次成等差数列，则点M的轨迹为( )A椭圆的一部分B一条线段C双曲线的一部分D抛物线的一部分【答案】B【解析】【分析】根据M到三个侧面,的距离依次成等差数列可设距离分别为,根据等体积法可求得为常数。作平面平面,且平面与平面的距离为,则平面与平面 的交线即为点M的轨迹.【详解】根据M到三个侧面,的距离依次成等差数列可设距离分别为正三棱锥各个侧面面积为S,体积为V则 化简可得,即为常数作平面平面,且平面与
7、平面的距离为,则平面与底面 的交线即为点M的轨迹可知M为一条线段故选:B【点睛】本题考查了空间几何体中的轨迹问题,三棱锥等体积法的应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.7设点是长方体的棱的中点，点在面上，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点的轨迹为（ ）A椭圆的一部分B抛物线的一部分C一条线段D一段圆弧【答案】C【解析】【分析】根据公式得到，计算得到到直线的距离为定值，得到答案.【详解】设在平面的投影为，平面与平面所成的锐二面角为 则 在平面的投影为中点，平面与面所成的锐二面角为 则故即得到 即到直线的距离为定值，故在与平行的直线上又点在面上，故轨迹为一条线段.故答案选C【点睛】
8、本题考查了立体几何二面角，轨迹方程，通过可以简化运算，是解题的关键.8如图为正方体ABCD-A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面A1DC1的距离保持不变，运动的路程x与l=MA1+MC1+MD之间满足函数关系l=f（x），则此函数图象大致是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先找到点M的路线，把其路线分成六小段，分析从P到过程函数的单调性得解.【详解】由于点M与平面A1DC1的距离保持不变，所以点M在平面上，运动的路线为,设点P为B1C的中点， l=MA1+MC1+MD中，MA1+MD是定值， PC1是定值，MC1=，当
9、M从C到,运动到段时，运动的路程x慢慢变大时， PM变大，MC1变大，所以函数是增函数，所以C正确；（类似讨论由到A，由A到C的过程，l=MA1+MC1+MD之间满足函数关系l=f（x）故选：C【点睛】本题主要考查立体几何轨迹问题，考查函数的单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9如图，在正方体中，点P在侧面及边界上运动，并且保持，则动点P的轨迹是（ ）A线段B线段CAD的中点与的中点连成的线段D的中点与的中点连成的线段【答案】A【解析】【分析】先由 得平面,再判断动点的轨迹即可得解.【详解】解：连接，由 得平面,即点在线段上运动时，总有， 即动点的轨迹是线段，故选
10、A. 【点睛】本题考查了线面垂直及线线垂直的判定，属基础题.10美学四大构件是:史诗、音乐、造型、建筑等，绘画和数学素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步，某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面所在平面与底面成60角，则该椭圆的离心率为()ABCD【答案】C【解析】【分析】根据几何关系，得到椭圆的半长轴和半短轴与圆柱底面圆的半径之间的关系，然后算出，从而得到离心率.【详解】设圆柱底面圆的半径为R，与底面成60角的平面截圆柱，椭圆的半长轴长是
11、2R，半短轴长是R，故选C【点睛】本题考查二面角转化为平面角求线段之间的关系，求椭圆的离心率，属于简单题.11已知正方体的棱长为2，P是底面上的动点,，则满足条件的点P构成的图形的面积等于（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】P是底面上的动点，因此只要在底面上讨论即可，以为轴建立平面直角坐标系，设，根据已知列出满足的关系【详解】如图，以为轴在平面内建立平面直角坐标系，设，由得，整理得，设直线与正方形的边交于点，则点在内部（含边界），易知，故选A【点睛】本题考查空间两点间的距离问题，解题关键是在底面上建立平面直角坐标系，把空间问题转化为平面问题去解决12长方体ABCDA1B1C1D1中，P是对
12、角线AC1上一点，Q是底面ABCD上一点，若AB=2，BC=AA1=1，则PB1+PQ的最小值为（ ）A32B3+12C3D2【答案】A【解析】【分析】将AB1C1绕边AC1旋转到AMC1的位置，使得平面AMC1和平面ACC1在同一平面内，则M到平面ABCD的距离即为PB1+PQ的最小值，利用勾股定理解出即可。【详解】将AB1C1绕边AC1旋转到AMC1的位置，使得平面AMC1和平面ACC1在同一平面内，过点M作MQ平面ABCD，交AC1于点P，垂足为点Q，则MQ为PB1+PQ的最小值。AB=2，BC=AA1=1，AC1=2+1+1=2，AM=AB1=3，sinCAC1=CC1AC1=12，C
13、AC1=30，MAQ=2CAC1=60，MQ=AMsinMAQ=332=32，故选：A。【点睛】本题考查空间距离的计算，将两折线段长度和的计算转化为同一平面上是解决最小值问题的一般思路，考查空间想象能力，属于中等题。13已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】分别取棱、的中点、，证明平面平面，从而动点的轨迹所形成的区域是平面，再求面积得解.【详解】如图，分别取棱、的中点、，则，平面平面，点在正方体内部或正方体的表面上，若平面，动点的轨迹所形成的区域是平面，正方体的棱长为1，到的距离，动点的轨
14、迹所形成的区域面积：故选：【点睛】本题考查动点的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题14已知正方体的棱长为，定点在棱上(不在端点上)，点是平面内的动点，且点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则点的轨迹所在的曲线为A圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】D【解析】【分析】作，连接，以为原点建立空间直角坐标系，利用勾股定理和两点间距离公式构造，整理可得结果.【详解】作，垂足分别为以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设，由正方体特点可知，平面，整理得：的轨迹是抛物线本题
15、正确选项：【点睛】本题考查立体几何中点的轨迹问题，关键是能够通过建立空间直角坐标系，求出动点满足的方程，从而求得轨迹.15给定正三棱锥PABC，M点为底面正三角形ABC内（含边界）一点，且M到三个侧面PAB、PBC、PAC的距离依次成等差数列，则点M的轨迹为（ ）A双曲线的一部分B圆的一部分C一条线段D抛物线的一部分【答案】C【解析】【分析】先设点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离为da，d，d+a，正三棱锥PABC中各个侧面的面积为S，体积为V，用等体积法可得d为常数，作平面面PBC且它们的面面距离为d，则与面ABC的交线即为点M的轨迹【详解】设点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距
16、离为da，d，d+a 正三棱锥PABC中各侧面的面积为S，体积为V，则13S（da）+13Sd+13S（d+a ）V，即SdV，所以d为常数作平面使面PBC且它们的距离为d，则与面ABC的交线即为点M的轨迹又M点为底面正三角形ABC内（含边界）一点，所以M的轨迹为一条线段 故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列、体积法的应用、轨迹方程等基础知识，考查空间想象能力思想、化归与转化思想熟记正四面体的结构特征与体积公式是关键，属于基础题16如图，是平面的斜线段，为斜足，点满足，且在平面内运动，则（ ）A当时，点的轨迹是抛物线B当时，点的轨迹是一条直线C当时，点的轨迹是椭圆D当时，点的轨迹是双曲线抛物
17、线【答案】B【解析】【分析】当时，故的轨迹为线段的中垂面与的交线，当时，在平面内建立坐标系，设，求出的轨迹方程得出结论【详解】在中，由正弦定理可得：，当时，过的中点作线段的垂面，则点在与的交线上，即点的轨迹是一条直线，当时，设在平面内的射影为，连接，设，则，在平面内，以所在直线为轴，以的中点为轴建立平面直角坐标系，设，则，化简可得.的轨迹是圆故选：B【点睛】本题考查轨迹方程的求解与判断，分类讨论思想，属于中档题17如图，直二面角，且，则点在平面内的轨迹是（ ）A圆的一部分B椭圆的一部分C一条直线D两条直线【答案】A【解析】【分析】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，写出点，的坐标
18、，根据条件得出，设出点的坐标，利用两点间的距离公式及相似，即可得到轨迹方程，从而判断其轨迹【详解】解：以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设点，则， ，即，整理得：，故点的轨迹是圆的一部分，故选.【点睛】本题以立体几何为载体考查轨迹问题，综合性强，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，同时考查了运算能力，转化能力，属于难题18已知点是单位正方体的对角面上的一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体的侧面相交于、两点，则的面积的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据题意和正方体的特征，分析点P动的过程中，x随着y变化情况作出轨迹图象，数形结合能求
19、出结果【详解】解：由题意知，MN平面BB1D1D，其轨迹经过B，D1和侧棱AA1，CC1的中点E，F，如图，设正方体中心为O1,当P点在线段BO1上运动时，MN随BP的增大而线性增大，所以BMN的面积表达式应是开口向上的二次函数图像递增的一部分; 当P点在线段D1O1上运动时, MN随D1P的增大而线性减小，所以BMN的面积表达式应是开口向下的二次函数图像递减的一部分.所以当MN与EF重合时，BMN的面积取最大值，此时，BMBN，MN，SBMN故选：A【点睛】本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力、运算求解能力，考查数
20、形结合思想，是中档题19历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点到圆锥顶点的距离为，对于所得截口曲线给出如下命题：曲线形状为椭圆；点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；该曲线上任意两点间的最长距离为，最短距离为；该曲线的离心率为其中正确命题的序号为 （ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】画出轴截面的图像.根据选项可判断出正确.解直角三角形计算出的长以及长轴的长，由此可判断出正确，排除D选项.由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，故错误，排除B,C选项.由此得出正确结论.【详解】根据选项可知正确，即曲线形状
21、为椭圆. 画出轴截面的图像如下图所示，由于，所以,，即，所以，而曲线上任意两点最长距离为，故点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点，由此可判断出正确，排除D选项.由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，故错误，排除B,C选项.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题主要考查圆锥的截面问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻转为若为线段的中点，则在翻转过程中，有下列命题：是定值；点在圆上运动；一定存在某个位置，使；若平面，则平面其中正确的个数为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】取中点，连接，由余弦定理可得，所以是定值，可得正确；是在以为圆
22、心，为半径的圆上，可得正确；由射影定理可判断；由平面平面，可判断【详解】取中点，连接，由，定值，定值，由余弦定理可得，所以是定值，故正确；是定点，是在以为圆心，为半径的圆上，故正确，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，不存在某个位置,使DEA1C，故不正确.由，平面平面，平面，故正确故选：C【点睛】本题考查线线、线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查转化思想和推理能力.21已知正方体，空间一动点P满足，且，则点P的轨迹为A直线B圆C椭圆D抛物线【答案】B【解析】【分析】通过得到点在平面上；再利用且为的中垂线，可解得为定值，由此可得在球面上；通过平面与球面相交得到轨迹为圆.
23、【详解】由及平面可知：点在平面上设正方体棱长为，则，又平面，可知 即取连接交于点，则为中点，连接平面，平面 又为中点，所以为中垂线，令则 由此可得：点在以为球心，长为半径的球面上点轨迹即为平面与球面的交线上可知轨迹为圆.本题正确选项：【点睛】本题考查空间中动点的轨迹问题，关键在于能够确定动点分别满足球面的特点且在平面上，由此可确定轨迹为平面截球面所形成的的交线，进而得到轨迹为圆的结论.22正方体的棱长为1，点在棱上，且，点在平面上，且动点到直线的距离的平方与点到点的距离的平方的差为，在以、为坐标轴的平面直角坐标系中，动点的轨迹是（）A圆B抛物线C双曲线D直线【答案】B【解析】【分析】结合正方体
24、的图像，作，Q为垂足，过点作，求出点到直线的距离，以及到点的距离，即可得出结果.【详解】如图所示：正方体中，作，Q为垂足，则面，过点作，则面，即为点到直线的距离，由题意可得又已知，即到点的距离等于到的距离，根据抛物线的定义可得，点的轨迹是抛物线，故选：B【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，熟记圆锥曲线的定义即可，属于常考题型.23已知正方体中，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】设的中点为，则是以为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形内），建立平面直角坐标系，把问题转化为，结合圆的几何性质得到结果.【详解】设的中点为，连接、，则
25、在中，.是以为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形内）.以为原点建系如图所示，则，设的坐标为，则,.设点的坐标为，则 .故选：B【点睛】本题考查平面向量模长的最值问题，考查空间问题平面化的思想，考查利用代数方法处理平面问题的策略，属于中档题.24在长方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在线段，得解【详解】补全截面EFG为截面EFGHQR如图，其中H、Q、R分别为、的中点，易证平面ACD1平面EFGHQR，直线D1P与平面EF
26、G不存在公共点， D1P面ACD1，D1P面ACD1，PAC，过P作AC的垂线，垂足为K，则BK=,此时BP最短，PBB1的面积最小，三角形面积的最小值为，故选：C【点睛】本题考查了截面问题，涉及线面平行，面面平行的定义的应用，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，属于中档题二、填空题25已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是_.【答案】【解析】【分析】分别取的中点,并连同点顺次连接,六边形就是所求的动点的轨迹,求出面积即可.【详解】如下图所示：分别取的中点,并连同点顺次连接，因为是三角形的中位线,所以平面,平面,同理都平行平面,所
27、以就是所求的动点的轨迹,该正六边形的边长为,所以正六边形的面积为：.故答案为：【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理的应用,考查了数学运算能力、空间想象能力.26如图，在圆柱的轴截面中，分别为圆柱上下底面的中心，为的中点，动点在圆柱下底面内（包括圆周）.若，则点形成的轨迹的长度为_.【答案】【解析】【分析】由题意，以为坐标原点，以方向为轴，以底面内垂直于的直线为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系，设，用向量的方法，确定点形成的轨迹是底面的一条弦，根据圆的弦长公式，即可求出结果.【详解】以为坐标原点，以方向为轴，以底面内垂直于的直线为轴，以方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，
28、设，所以，又，所以，所以，即点形成的轨迹是，底面上与轴平行，且过靠近点的四等分点的线段（也是底面圆的一条弦）；所以形成的轨迹长度为.故答案为【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.27点为棱长是的正方体的内切球的球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为_【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，可证得平面，由题意，点M的轨迹是内切球O的球面与平面相交得到的小圆，利用垂径定理即可得出结论【详解】正方体的内切球的半径，由题意，取的中点，连接，则，平面，动点的轨迹就是平面与内切球的球面相交得到的小圆，正方体的棱长是，到平面的距离为，截面圆的
29、半径，所以动点的轨迹的长度为截面圆的周长.故答案为【点睛】本题考查了学生的空间想象力，求出点M的轨迹是关键，属于中档题28在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足，则线段的长度的最大值为 _.【答案】6【解析】【分析】先以点为坐标原点，分别以，所在方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意得到，设，由，得到，再由圆上的点与定点距离的问题，即可求出结果.【详解】以点为坐标原点，分别以，所在方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，所以，因为点为正方形所在平面内的一个动点，设，因为，所以，整理得：
30、即点可看作圆上的点，又，所以表示圆上的点与定点之间的距离，因此（其中表示圆的半径.）故答案为6【点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，通常可用建系的方法求解，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.29如图，在棱长为2的正方体中，点是中点，动点在底面内（不包括边界），使四面体体积为，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】由已知可得到的距离，再利用勾股定理知要使取得最小值，则需取得最小值，此时利用点到直线的距离可得解.【详解】由已知得四面体体积 所以设到的距离为，则解得所以在底面内（不包括边界）与平行且距离为的线段 上，要使的最小，则此时是过作的垂线的垂足.点到的距离为所以此时故答案为.【
31、点睛】本题考查立体几何的动点最值问题，将空间立体问题转化为平面问题是解题的关键，属于难度题.30如图，在棱长为 1 的正方体中，点是的中点，动点在底面 内（不包括边界），若平面，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】由面面平行找到点在底面 内的轨迹为线段，再找出点的位置，使取得最小值，即垂直于点，最后利用勾股定理求出最小值.【详解】取中点，连结，作，连，因为面面面，所以动点在底面 内的轨迹为线段，当点与点重合时，取得最小值，因为，所以.【点睛】本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点的位置，再通过解三角形的知识求最值.31如图，在边长为2正方体中，为的中点，点在正方体表面上移动，且满足
32、，则点和满足条件的所有点构成的图形的面积是_. 【答案】.【解析】【分析】点满足，且在正方体的表面上，所以点只能在面、面、面、面内。【详解】取，的中点分别为，连结，由于，所以四点共面，且四边形为梯形，因为，所以面，因为点在正方体表面上移动，所以点的运动轨迹为梯形，如图所示：因为正方体的边长为2，所以，所以梯形为等腰梯形，所以。【点睛】本题以动点问题为背景，考查空间中线面、线线位置关系、面积的求解运算，解题的关键在于确定点的运动轨迹。32在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足，则线段的长度的最大值是_.【答案】【解析】【分析】在正方形所在平面内建立平面直角
33、坐标系，设，由，可得，进而可得出结果.【详解】在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设，则有，因为，所以，整理得，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以线段长度的最大值为.故答案为6【点睛】本题主要考查点线面间的距离计算，以及立体几何中的轨迹问题，常用坐标系的方法处理，属于常考题型.33已知正方体的棱长为1，动点在正方体的表面上运动， 且，记点的轨迹的长度为，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意时，球与正方体的三个面有交点，点在正方体三个面上的轨迹都是以为圆心，为半径的圆周，从而可得结果.【详解】根据题意，可以把看成以为球心，半径为的球与正方体的表面的交线的长度，由于球的任何截面都是圆，
34、所以在正方体的各表面上的轨迹均是一段圆弧，当时，球与正方体的三个面有交点，点在正方体三个面上的轨迹都是以为圆心，为半径的圆周.所以，故答案为.【点睛】本题主要考查正方体的性质、球的性质，考查空间点的轨迹问题，意在考查空间想象能力以及灵活应用所学知识解答问题，属于中档题.34已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，若三棱锥PABC的外接球表面积恰为414，则此时点P构成的图形面积为_.【答案】.【解析】【分析】设三棱锥PABC的外接球为球O，分别取AC、A1C1的中点O、O1，先确定球心O在线段AC和A1C1中点的连线上，先求出球O的半径R的值，然后利用
35、勾股定理求出OO的值，于是得出OO1=OO1OO，再利用勾股定理求出点P在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案【详解】如图所示，设三棱锥PABC的外接球为球O，分别取AC、A1C1的中点O、O1，则点O在线段OO1上，由于正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则ABC的外接圆的半径为OA=2，设球O的半径为R，则4R2=414，解得R=414.所以，OO=R2OA2=34，则OO1=OO1OO=234=54而点P在上底面A1B1C1D1所形成的轨迹是以O1为圆心的圆，由于OP=R=414，所以O1P=R2OO12=1，因此，点P所构成的图形的面积为O1P2=.【点睛】本题考
36、查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.35在棱长为的透明密闭的正方形容器中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕旋转，并始终保持所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为_【答案】【解析】【分析】设点在上，点在上，满足，则原问题等价于求解四边形的最大值.建立空间直角坐标系，结合二次函数的性质可得旋转过程中容器中水的水面面积的最大值.【详解】如图所示，在棱长为的正方体中，点在上，点在上，满足，则原问题等价于求解四边形的最大值.作于点，当最大时，四边形有最大值.建立如图所示的空间直角坐标系，设，设，由于，由可得
37、：，则：，故,故：，由可得：.故： ，结合二次函数的性质可知：当或时，取得最大值，此时取得最大值，最大值为：.【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，空间向量的应用，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.36在正方体中边长AB为2，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，Q为正方形ABCD内一点，M，N分别为AB，BC上靠近A和C的三等分点，若线段与OP相交且互相平分，则点Q的轨迹与线段MN形成的封闭图形的面积为_【答案】【解析】【分析】根据线段与OP互相平分，可得四边形是平行四边形，点Q的轨迹为过O与AB，AD平行的两条线段，设过O平行于A
38、B的直线交MN于点H，过O平行于AD的直线与MN交于点G，则点Q的轨迹与线段MN形成的封闭图形是等腰直角GHO，由此能求出点Q的轨迹与线段MN形成的封闭图形的面积【详解】解：线段与OP互相平分，四边形是平行四边形O为底面正方形ABCD的中心，点Q的轨迹为两条线段（过O与AB，AD平行的两条线段），设过O平行于AB的直线交MN于点H，过O平行于AD的直线与MN交于点G，点Q的轨迹与线段MN形成的封闭图形是等腰直角GHO，点Q的轨迹与线段MN形成的封闭图形的面积为：故答案为：【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于难题37
39、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM平面A1DE，则动点M的轨迹长度为_【答案】2【解析】【分析】设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接EF，则F为B1C1的中点分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，可证出平面A1DE平面ANO，据此确定点M的轨迹进一步求解其长度即可.【详解】设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接EF，则F为B1C1的中点分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，则A1FAO，ANDE，A1F，DE平面A1DE，AO，AN平面ANO，A1F平面ANO同理可得DE平面A
40、NO，A1F、DE是平面A1DE内的相交直线，平面A1DE平面ANO，所以NO平面A1DE，直线NO平面A1DE，M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段NOM的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长NO=2【点睛】本题给出正方体中侧面BCC1B1内动点M满足AM平面A1DE，求M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长，着重考查了正方体的性质，解题时要注意空间思维能力的培养，是中档题38正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S-ABCD的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG平面AEF，则动点P的轨迹的周长
41、为_【答案】2+【解析】【分析】过G做一个平面与面AEF平行，且与正四棱锥的表面相交，交线之和即为动点P的轨迹的周长【详解】解：取SB，AB中点H，P，连接HG，PC，取PB中点Q，连接HQ，GQ，因为E、F分别为SD，CD中点，所以EFSC，SCHG，所以HGEF，HG不在面AEF内，所以HG面AEF因为QG是中位线所以QGPC，PCAF，所以QGAF，因为QG不在面AEF 内，所以QG面AEF，因为HGQG=G，所以面HQG面AEF动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG平面AEF，则动点P的轨迹的周长为HQG的周长正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，高为4，所以QG=，HG=，SP=2，HQ=，所以动点P的轨迹的周长为2+试卷第39页，总40页
