1、电路第九章正弦稳态电路的分析9-1 - 9-6 2第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三第九章 正弦稳态电路的分析本章重点本章重点正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析9.3正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率9.4复功率复功率9.5最大功率传输最大功率传输9.6阻抗和导纳阻抗和导纳9.1电路的相量图电路的相量图9.23第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三第九章 正弦稳态电路的分析 内容提要 本章用相量法分析线性电路的正弦稳态响应。 引入阻抗、导纳的概念和电路的相量图。 通过实例介绍电路方程的相量形式和线性电路定理的相量描述和应用 介绍正弦电流电路的瞬时功率、平均功
2、率、无功功率、视在功率和复功率，以及最大功率的传输4第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三9-1 阻抗和导纳 阻抗和导纳及运算和等效变换是线性电路正弦稳态分析重要内容。 图9-1a不含独立源一端口N0。在正弦电源激励处稳定状态时，端口电流(或电压)是同频正弦量。 设相量： 端口电压与电流相量比值定义为一端口阻抗阻抗Z Z，即 用阻抗Z表示的欧姆定律得相量形式。Z不是正弦量，称复阻抗复阻抗，模|Z|=U/I，称阻抗模阻抗模，辐角Z =u -i称阻抗角阻抗角。Z单位，符号与电阻相同，图9-1b。ZiudefZIUIUZ。iuIIUUIZU5第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25
3、日星期三阻抗表示的欧姆定律 阻抗Z代数形式： Z=R+jXR称等效电阻分量等效电阻分量，X称等效电抗分量等效电抗分量。X0称感性阻抗，X0(Z 0)X称感性电抗感性电抗： LLeqeq = =X XX0(Z 0称容性导纳，容性导纳， B0称感性导纳感性导纳。 导纳三角形图9-3a。 导纳表示欧姆定律：导纳表示欧姆定律：YuiYUIUIY9-1 阻抗和导纳UYIUjBGI)(7第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三导纳表示的欧姆定律-2 等效电路图9-3b。 电流 导纳三角形图9-3a。 单个元件R、L、C对应阻抗：9-1 阻抗和导纳)0(1)0(感性容性BBLBBCeqeqUjB
4、IUGIIBG,)0(1)0(YGZRRGYRZ)90(1)90(00YLZLLjjYLjZ)90()90(100YCZCCjYCjjZ感抗、容抗：CXLXCL18第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三注意：（1）阻抗、导纳随频率、参数变化。（2）有受控源实部可能为负。（3）Z、Y可等效互换：ZY=1 条件： 代数形式： 阻抗、导纳的串、并联电路也互换。（4）阻抗、导纳的串、并联、Y-互换可用电阻电路方法及公式。01YZYZ221ZXBZRGjXRjBGY221YBBYGRjBGjXRZ9-1 阻抗和导纳9第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例 9-1RLC串联图
5、9-4a，R=15,L=12mH,C5F， 求(1)i(瞬时)和元件电压相量。(2)等效导纳和并联等效电路。 解解 (1)相量法求解，已知 待求。 各部分阻抗：ZR=15 ZL=jL=j60 Zeq=ZR+ZL+ZC=(15+j20) (感性阻抗) 电流相量： 正弦电流i: 元件电压相量： (2),0100VUCLRUUUI、401jCjZC13.5325AAZUIeqS13.53413.53250100VILjUL87.36240VICjUC13.1431601Ati)13.535000cos(24VtuS)5000(2100VIRUR13.5360SjSZYeqeq)032. 0024.
6、0(13.532511mHBLRSGeq25. 61)67.41(024. 09-1 阻抗和导纳10第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例 9-2 图9-5a,Z=(10+j157),Z1=1000,Z2=-j318.47,Us100V, =314rad/s。求(1)各支路电流和电压 (2)并联等效电路。 解(1)令 (参考相量)，设支路 如图。Z1与Z2并联为Z12有 =(92.11-j289.13)(容性) 总输入阻抗ZeqZeq=Z12+ZZ=(102.11-j132.13) 支路电流和U10：Yeq为 .10UVUS010021III、33.7245.30347.318
7、1000)47.318(10002212jjZZZZZCRCR30.5299.166VIZUAZUIeqS03.2007.1823 .5260. 01210AZUIAZUI96.6957. 003.2018. 021021101)()1074. 41066. 3(30.521099. 51333容性SjSZYeqeqFFCRSGeq09.153141074. 4)22.273(1066. 3339-1 阻抗和导纳11第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三9-2 电路的相量图 分析阻抗(导纳)串、并联电路，可用电压和电流相量在复平面上组成的电路相量图。 相量图可直观显示各相量间关系
8、，并可辅助电路分析计算。 相量图，除按比例反映各相量模(有效值)外，最重要是根据相量相位确定各相量在图上位置(方位)。 一般做法： 以并联部分电压相量为参考，根据支路VCR确定并联支路电流相量与电压相量间夹角；再根据KCL，用相量平移求和法则，画出结点上各支路电流相量组成多边形； 以串联部分电流相量为参考，根据VCR确定电压相量与电流相量间夹角，再根据KVL，用相量平移求和法则，画出回路上各电压相量组成的多边形。12第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例 9-3 画例9-1电路(图9-4a)相量图。 解 串联电路，以电流相量 为参考，根据 画出电压相量组成多边形。画法如图。IC
9、LRSUUUU9-3 电路的相量图13第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例 9-4 画例9-2电路(图9-5a)相量图。 解 以并联电压为参考相量，设 画法如图。,03.201010UU9-3 电路的相量图14第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三习 题 P245 9-5 9-89-3 电路的相量图15第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三9-3 正弦稳态电路的分析 前已为相量法奠定了基础，电路基本定律相量形式： KCL： KVL： VCR： 用相量法分析时，线性电阻电路各种分析方法和电路定理可推广用于线性电路正弦稳态分析，差别仅在于所得电路方程为
10、相量形式表示代数方程以及用相量形式描述电路定理，计算为复数运算。 两者描述的物理过程有很大差别。 0I0UUYIIZU16第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例9-5-1 图9-8a， A读数2A，V1、V2均为200V。求R、L、C，作相量图。 解 设 列方程： 合理解答： 1=1200 2=00 i=900 C=31.85F R=86.60 L=0.159HVtuS)3314cos(2200AIVUVUVUiS2,200,200,6020022119-3 正弦稳态电路的分析)(2002006020021KVL)(1001122IUCj)(1002111LjRIUZ17第九章
11、 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例9-5-2 相量图：图9-8b，两种可能正三角形。 也可作阻抗三角形图9-8c：9-3 正弦稳态电路的分析100,100,10011jZZZCZZ1001001001jZZ0103010030100ZZ18第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例9-6 图9-9中R可变，什么条件下 保持不变？ 解 R从1-1左侧获得电流，诺顿等效应为理想电流源，等效导纳应为0： 应满足条件：9-3 正弦稳态电路的分析I01LjCjYeqSUCjILC119第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例9-7 求图9-10a戴维宁等效电路。
12、解 与电阻电路相同。 得 按图9-10b求Zeq： 设 已知9-3 正弦稳态电路的分析eqocZU、aoocUI rU231121)(ssaoIUYUYYaoUYI22213112)(1 (YYIUYrYUssoc00IUZeq2I21220IYZII222I rIZUo2121222122211)1 ()(YYrYYZrZIYZIrZZeq另一方法略20第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例 9-8-1 求图9-11中iL。 解(1)结点法： 得(2)网孔法：顺时针，左右SIII、21AIVUss003033039.10SUjUjUjj2010)()2(111jLjjCjSU
13、IjIj21)(29-3 正弦稳态电路的分析VtuS)602sin(239.100AtiS)302sin(230SIUjjUj2010)()(jUUIL2010ssLsssIUjUUjII jUUI jU2)(201020100)()2()(21SIjIjjIj2IIL21第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例 9-8-1(3)叠加定理： 单独作用： 单独作用：(4)戴维宁定理：端口1-2： 得sIsUSLUjISSLIjjII25 . 0LLLIIIssocI jUU215 . 1)21(jjjZeqAIUjjjUIISSocL02301025 . 1AtiL)302sin(
14、21009-3 正弦稳态电路的分析22第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三9-4 正弦稳态电路的功率 图9-12a一端口N吸收的瞬时功率p等于电压u和电流i乘积：p=ui 正弦稳态，两个同频正弦量乘积，非正弦周期量。 工程、家电指周期量的平均功率：如电热水器1500W，日光灯40W等。23第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三周期量的平均功率-1 定义： 以RLC串联为例。图9-4a。 设 电阻R吸收瞬时功率： 倍频非正弦周期量，pR0，吸收平均功率：)cos( tIimTTdefuidtTpdtTP0011)2cos(1 )(cos2222tRItRIRipmR
15、202)2cos(1 1RIdttRITPTR9-4 正弦稳态电路的功率24第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三周期量的平均功率-2 电感L吸收瞬时功率： 倍频正弦量，1周期内吸-放能量2次，非耗能非耗能的储能特性：的储能特性： 电容C吸收瞬时功率： 倍频正弦量，周期内吸-放能量2次，非耗能的非耗能的储能特性：储能特性：)2sin(1)sin()cos(1122tICttICidtCipmC0)2sin(1102TCdttICTP)2sin()sin()cos(22tLIttLIdtdiiLpmL0)2sin(102TLdttLITP25第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月
16、25日星期三瞬时功率RLC串联吸收瞬时功率和： 第一项始终大于或等于零，瞬时功率不可逆部分（R吸收功率）；第二项L、C瞬时功率可逆部分，吸收、释放能量互补吸收、释放能量互补，不足与外电路交换。 ，L、C间完全互补，第二项不存在，但吸-放能量存在。 只含一种储能元件，不存在互补。 不存在储能元件，第二项不会发生。CL19-4 正弦稳态电路的功率)2sin()1()2cos(1 22tICLtRIppppCLR26第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三瞬时功率波形 根据阻抗三角形作变换： 波形图9-12b。IZUZCLZRZZsin)1(cos)2sin(sin)2cos(1 cos
17、tUItUIpZZ9-4 正弦稳态电路的功率27第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三有功功率、无功功率、视在功率-1 1.有功功率（平均功率）P定义： 瞬时功率不可逆的恒定分量，也是变动部分振幅。单位W（瓦）。 2.无功功率Q定义： 瞬时功率可逆部分振幅，衡量储能元件与外部交换功率。“无功”指能量交换没有“消耗”。单位var（乏）。ZTdefUIpdtTPcos10ZdefUIQsin9-4 正弦稳态电路的功率28第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三有功功率、无功功、视在功率-2 3.视在功率S定义： 有功功率、无功功率要求外部提供的功率。单位VA（伏安）。 P
18、、Q、S三者关系： 工程上用视在功率衡量电气设备在额定电压、额定电流下最大负荷能力。 单位W、var、VA量纲相同，区分功率。UISdef9-4 正弦稳态电路的功率22sincosQPSSQSPZZ29第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三功率因数 工程中常用功率因数概念，定义： 称功率因数角，衡量传输电能的一个重要指标，表示传输系统有功功率所占比例： 实际电网庞大，理想状态为=1，Q=0。1cosZZSP9-4 正弦稳态电路的功率30第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三不含源一端口等效阻抗、导纳 等效阻抗： 端电压分解为有功分量UR=UcosZ、无功分量UX=U
19、sinZ： 即 等效导纳： 输入电流分解为有功分量IG=IcosY、无功分量IB=IsinY： 即9-4 正弦稳态电路的功率ZZjXRZQUPUUUUXRXR、RIIUUIPRZ2cosXIIUUIQXZ2sinZZjBGYQIPIIIIBGBG、GUUIUIPGY2cosBUUIUIQBY2sin31第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三R、L、C元件有功、无功和视在功率 电阻R：z=0，=1: PR=Scosz=S=UI=RI2=GU2 QR=Ssinz=0 电感L：z=900，=0: PL=Scosz=0 电容C：z=-900，=0: PC=Scosz=0 电感、电容无功功
20、率有互补作用，工程上认为电感吸收无功功率，电容发出无功功率。LULIUISSQzL22sin221sinCUICUISSQzC9-4 正弦稳态电路的功率32第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三含源一端口功率 与不含源一端口定义相同，但电源参加功率交换，功率因数失去实际意义。 整个电路遵守功率守恒原理： P=0 Q=0 一般不存在S=09-4 正弦稳态电路的功率)cos()cos(imimtUutIi)22sin(sin)22cos(1 cosiitUItUIuipUISUIQUIPsincosiu33第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例 9-9 求图9-5a电
21、源的P、Q、S和功率因数。 解 已求出 相位差： 容性AVAVIUSSSS606 . 010000030.5230.520VUS0100AI3 .5260. 0WWSPS72.36612. 060612. 0cosvar47.47sinSSQ9-4 正弦稳态电路的功率34第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三9-5 复功率 正弦电路瞬时功率等于两个同频正弦量乘积，结果是非正弦量，变动频率与电压或电流频率不同，不能用相量法讨论。但正弦电路有功、无功和视在功率三者间可通过“复功率”表述。 一端口电压相量为 ，电流相量为 ，复功率复功率 定义 是 的共扼复数。复功率吸收或发出根据端口电
22、压和电流参考方向判断。 复功率是一个辅助计算功率的复数，只要算出电路中电压和电流相量，各种功率可方便得出。复功率单位复功率单位用用V VA A。 注意：复功率 不代表正弦量，乘积乘积 无意义无意义。 复功率概念适用于单个电路元件或任何一段电路。UISjQPjUIUIUIIUSiudefsincos)(* I*ISIU 35第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三复功率守恒 不含独立源一端口可用等效阻抗Z(或等效导纳Y)表示： Y=G+jB Y*=G-jB 形成三角形与阻抗三角形相似。 可证明整个电路复功率守恒：QP、SZIIZIIUS2*)( 9-5 复功率*2*)(YUUYUIU
23、S 0S0P0Q36第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例 9-10-1 图9-13a电路加50Hz、380V正弦电压，负载吸收P1=20kW，功率因数1=0.6。要使提高到=0.9，求负载两端并接电容值并接电容值(图中虚线)。 解 工程上利用L、R无功互补特性，在感性负载端并联电容提高。并联电容不影响支路1复功率，电容无功 “补偿”了电感无功功率，减少电源无功功率。 解法一：复功率守恒： 并C后电源发出复功率， 支路1吸收复功率， 电容吸收复功率。功率三角形图b： 解得： z=arccos=25.84 z1=arccos1=53.13 最后有：1SS2CUjSCCSSS111
24、1coscosPSSZZ)tan(tan121ZZUPC211sinsinCUSSZZFC51.3749-5 复功率37第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例 9-10-2 解法二：用KCL方程求解。 并电容后根据KCL有 令 电流三角形图9-13c实线： 有功分量 Icosi=I1cosi1 无功分量 Isini=I1sini1+CU 负载功率 UI1cosi1=P1， 解得 i=-arccos=-25.84i1=arccos1=-53.13 得同样结果： 解法三（解法三（略）略） 通过该例见功率因数提高的经济意义功率因数提高的经济意义。并联电容后减少电源无功“输出”，减小电
25、流输出，提高电源设备利用率，也减少传输线上损耗。21IIIAIIiAIIi111UCjI29-5 复功率VU00380)tan(tan121iiUPCFC51.37438第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三9-6 最大功率传输 图9-14a含源一端口Ns向终端负载Z传输功率。根据戴维宁定理，简化图b研究。 设Zeq=Req+jXeq，Z=R+jX，负载吸收有功为 如R和X任意变动，其他参数不变，获最大功率条件 X+Xeq=0 解得 X=-Xeq R=Req 即 Z=Req-jXeq=Zeq* 获最大功率为 用诺顿等效电路，获最大功率条件：Y=Yeq* 上述获最大功率条件称最佳匹
26、配。2222)()(XXRRRURIPeqeqoc0)(2RRRdRdeqeqocRUP42max39第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例 9-11-1 电路图9-15a， 求ZL获得最大功率(g=0.5,1.5,1S)。 解 求1-1戴维宁等效，电流 替代ZL，结点方程： 得 戴维宁等效参数：VUS4510IjUUUjjS121)21111(2010IUgUU1020102121) 1(31) 1(21gjgjZgjggUeqocIgjgjUgjggUUS) 1(31) 1(2111209-6 最大功率传输40第九章 正弦稳态电路的分析2022年5月25日星期三例 9-11-2(1)g=0.5S: ZL获最大功率：(2)g=-0.5S: 最佳匹配，但端口无功率输出。(3)g=1S: ？9-6 最大功率传输)42(902200jZVUeqoc)42(*jZZeqLWUPoc100422max20eqocZU)31(135300jZVUeqoc
