1、全等三角形复习全等三角形复习八年级数学第八年级数学第12章章全等形全等形全等三角形全等三角形性质性质应用应用全等三角形对应边（高全等三角形对应边（高线、中线）相等线、中线）相等全等三角形对应角（对全等三角形对应角（对应角的平分线）相等应角的平分线）相等全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等SSSSASASAAASHL解决问题解决问题角的平分角的平分线的性质线的性质角平分线上的一点到角的两边距离相等角平分线上的一点到角的两边距离相等 到角的两边的距离相等的点在角平分线上到角的两边的距离相等的点在角平分线上结论结论条件条件（尺规作图） 判定三角形全等判定三角形全等必须有一组对应边必须有一组对应边
2、相等相等.二、全等三角形识别思路复习二、全等三角形识别思路复习 如图，已知如图，已知ABC和和DCB中，中，AB=DC，请补充一，请补充一个条件个条件-，使，使ABC DCB。思路思路1：找夹角找夹角找第三边找第三边找直角找直角已知两边：已知两边： ABC=DCB （SAS）AC=DB （SSS） A=D=90（HL）ABCD 如图，已知如图，已知C= D，要识别，要识别ABC ABD，需要添加的一个条件是需要添加的一个条件是-。思路思路2：找任一角找任一角已知一边一角已知一边一角（边与角相对）（边与角相对）（AAS） CAB=DAB或者或者 CBA=DBAACBD 如图，已知如图，已知1=
3、2，要识别，要识别ABC CDA，需要添加的一个条件是需要添加的一个条件是- 思路思路3： 已知一边一角（边与角相邻）：已知一边一角（边与角相邻）：ABCD21找夹这个角的另一边找夹这个角的另一边找夹这条边的另一角找夹这条边的另一角找边的对角找边的对角AD=CBACD=CABD=B（SAS）（ASA）（AAS） 如图，已知如图，已知B= E，要识别，要识别ABC AED，需，需要添加的一个条件是要添加的一个条件是-思路思路4：已知两角：已知两角：找夹边找夹边找一角的对边找一角的对边ABCDEAB=AEAC=AD或或 DE=BC(ASA)(AAS) 例例1.如图，在如图，在ABC中，中，两条角平
4、分线两条角平分线BD和和CE相交相交于点哦，若于点哦，若BOC=1200，那么那么A的度数是的度数是 .ABCDEO600 例例2、如图，、如图，ABAC，BDCD，BHCH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA解：有三组。解：有三组。在在ABH和和ACH中中 AB=AC，BH=CH，AH=AHABH ACH（SSS）；）；BD=CD，BH=CH，DH=DHDBH DCH（SSS）在在ABH和和ACH中中AB=AC，BD=CD，AD=ADABD ACD（SSS）；）；在在ABH和和ACH中中解：解：E、F分别是分别是AB，CD的
5、中点（的中点（ ）又又AB=CDAE=CF在在ADE与与CBF中中AE =ADE CBF ( )AE= AB CF= CD（ ）1212例例3.如图，已知如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是分别是AB，CD的中点，且的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由，说出下列判断成立的理由.ADE CBFA=C线段中点的定义线段中点的定义CFADABCDSSSADE CBF全等三角形全等三角形对应角相等对应角相等已知已知ADBCFECB A=C ( )= 例例4.4.如图，如图，E E，F F在在BCBC上，上，BE=CFBE=CF，AB=CDAB=CD，ABCDABCD。求证：求证：AF
6、DEAFDEABCDEF: BECFBEEFCFEFBFCE证明/ABCDBC 又ABFDCEABCDBCBFCE 在和中ABFDCE(SAS)AFB=DECAF/DE ABCD，ADBC（已知（已知 ） 12 34 在在ABC与与CDA中中12 （已证）（已证）AC=AC （公共边（公共边) 34 （已证）（已证） ABC CDA（ASA） AB=CD BC=AD（全等三角形（全等三角形对应边相等）对应边相等）证明证明:连结连结AC.例例5.5.如图，如图，ABCDABCD，ADBCADBC，那么，那么AB=CDAB=CD吗？为什吗？为什么？么？ADAD与与BCBC呢？呢？ABCD2341
7、例例6.6.如图，已知如图，已知AB=ADAB=AD， B=DB=D，1=21=2，求证：求证：BC=DEBC=DEABCDE12证明证明:1=2:1=21+EAC=2+EAC1+EAC=2+EACBAC=DAEBAC=DAE在在ABCABC和和ADEADE中中ABCABCADE(AAS)ADE(AAS)BC=DEBC=DEBACDAEBDABAD 解解 CE ABCE AB，DF ACDF AC（已知）（已知） AEC= BFD=RtAEC= BFD=Rt AF=BE AF=BE （已知）（已知）即即AE+EF=BF+EFAE+EF=BF+EFAE=BFAE=BF AC=BD AC=BD R
8、tACE RtBDF RtACE RtBDF（HLHL） CE=DFCE=DF（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） 例例7. 如图，已知如图，已知CE AB，DF AB，AC=BD，AF=BE，则，则CE=DF。请说明理由。请说明理由。 例例8.8.已知：已知：ACB=ADB=90ACB=ADB=900 0，AC=ADAC=AD，P P是是ABAB上任上任意一点，求证：意一点，求证：CP=DPCP=DP CABDP证明证明: :在在RtRtABCABC和和RtRtABDABD中中ACADABABRtRtABCRtABCRtABDABDCAB=DABCAB=DABAPCAPD在和
9、中AC=ADCAP= DAPAP=APAPCAPCAPD(SAS)APD(SAS)CP=DPCP=DP 例例9. 9. 如图如图CDABCDAB，BEACBEAC，垂足分别为，垂足分别为D D、E E，BEBE与与CDCD相交于点相交于点O O，且，且1 12 2，求证，求证OBOBOCOC。 证明：证明：12CDAB，BEACODOE(角平分线的性质定理角平分线的性质定理)在在OBD与与OCE中中 BODCOE(对顶角相等对顶角相等)ODOE(已证已证)ODBOEC(垂直的定义垂直的定义) OBD OCE(ASA) OBOC 例例10. 如图如图A、B、C在一直线上，在一直线上，ABD，BC
10、E都是都是等边三角形，等边三角形，AE交交BD于于F，DC交交BE于于G，求证：，求证：BFBG。证明：证明：ABD，BCE是等边三角形。是等边三角形。DBAEBC60 A、B、C共线共线DBE60ABEDBC在在ABE与与DBC中中 ABDBABEDBCBEBC ABE DBC(SAS)21在在BEF与与BCG中中 EBFCBGBEBC21BEF BCG(ASA)BFBG(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)例例11.11.如图如图AB/CD,B=90AB/CD,B=90,E,E是是BCBC的中点的中点,DE,DE平分平分ADC,ADC,求证求证:AE:AE平分平分DABDABCDBA
11、EF证明证明: :作作EFAD,EFAD,垂足为垂足为F FDEDE平分平分ADCADCAB/CD,C=BAB/CD,C=B又又B=90B=90C=90C=90又又EFADEFADEF=CEEF=CE又又E E是是BCBC的中点的中点EB=ECEB=ECEF=EBEF=EBB=90B=90EBABEBABAEAE平分平分DABDABBCDCBCDC 例例12. 12. 如图，两根长度为如图，两根长度为1212米的绳子，米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。距离
12、相等吗？请说明你的理由。AB=AC（已知）（已知）AD=AD（公共边）（公共边）RtRtABDRtABDRtACD(ACD(HLHL) )BD=CD解：解：BD=CD ADB=ADC=90 1、如图，要识别、如图，要识别ABC ADE，除公，除公共角共角A外，把还需要的两个条件及其根外，把还需要的两个条件及其根据写在横线上。据写在横线上。ABCED（1） ， （ ）（2） ， （ ）（3） ， （ ）（4） ， （ ）（5） ， （ ）（6） ， （ ）（7） ， （ ）SAS 2 2、如图，、如图，D为为BC中点，中点，DFAC，且，且DE=DF，B与与C相等吗？为什么？相等吗？为什么？AD
13、CBFE3、如图，如图，AB=AC，BD、CE是是ABC的的角平分线，角平分线，ABD CBE吗？为什么？吗？为什么？BACDE4、如图，、如图，AB=AD，AC=AE，BAE= DAC，ABC与与ADE全等吗？全等吗？BACDE考考你，学得怎样？考考你，学得怎样？5、如图如图1 1，已知，已知AC=BD，1=2，那么那么ABC ，其判定根其判定根据是据是_。6、 如图如图2，ABC中，ADBC于于D，要使要使ABD ACD，若根据，若根据“HL”判定，还需加条件判定，还需加条件_ = _ = _，7、 如右图，已知如右图，已知AC=BD， A =D ，请你添一个直接条件，请你添一个直接条件，
14、_= _= ， 使使AFC DEBABCD12BCADADEBFC8 8、如图，已知、如图，已知ABABACAC，BEBECECE，延长，延长AEAE交交BCBC于于D D，则图中全等三角形共有（），则图中全等三角形共有（）（A A）1 1对对 （B B）2 2对（对（C C）3 3对（对（D D）4 4对对9、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）（A A）一锐角和斜边对应相等（）一锐角和斜边对应相等（B B）两条直角边对应相等）两条直角边对应相等（C C）斜边和一直角边对应相等（）斜边和一直角边对应相等（D D）两个锐角对应相等）两个锐
15、角对应相等1010、下列四组中一定是全等三角形的为、下列四组中一定是全等三角形的为 （ ）A A三内角分别对应相等的两三角形三内角分别对应相等的两三角形 B B、斜边相等的两直角三角形、斜边相等的两直角三角形C C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形 D D、三边对应相等的两个三角形、三边对应相等的两个三角形BCAED答：证法错误。答：证法错误。 SAS定理应用错误。定理应用错误。11.【99江西江西】已知，如图，已知，如图，求证：，求证：有一同学证法如下：有一同学证法如下：证：连结证：连结AB在在ABC和和ABD中中BC=BDC=DAB=A
16、BABC ABD ( SAS )AC=AD你认为这位同学的证法对吗？如果错误，你认为这位同学的证法对吗？如果错误，错在哪里，应怎样证明？错在哪里，应怎样证明？ DACB12.12.如图，如图，ACB=90ACB=90，AC=BCAC=BC，BECEBECE，ADCEADCE于于D D，AD=2.5cm,DE=1.7cmAD=2.5cm,DE=1.7cm。求：。求：BEBE的长。的长。ABCDE13.如图如图,在在ABC中中, ACB=90,AO是角平分线是角平分线,点点D在在AC的延长线上的延长线上,DE过点过点O且且DEAB,垂足为垂足为E.v(1) 请你找出图中一对相等的线段请你找出图中一
17、对相等的线段,并说明它们相并说明它们相等的理由等的理由; ACDOBE解：解：ACB=90 BCAC AO平分平分BAC 又又DEAB BCACOE=OC（角平分线上角平分线上的点到角两边的距离相等的点到角两边的距离相等 （2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，并说明理由并说明理由 14、如图，、如图， B= C=90度，度，M是是BC的中点，的中点，DM平分平分ADC，求证：求证：AM平分平分DABADCBME 15. 在一次战役中，我军阵地与敌人在一次战役中，我军阵地与敌人碉堡隔河相望，需要知道碉堡与我军阵碉堡隔河相望，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士利用他头测量工具的情况下，一个战士利用他头上的帽子就测出了我军阵地与敌人碉堡上的帽子就测出了我军阵地与敌人碉堡的距离。你知道他用的是什么方法？其的距离。你知道他用的是什么方法？其中的原理是什么？中的原理是什么？
