1、27.1.2.27.1.2.圆的对称性圆的对称性 1 学习目标学习目标 理解并掌握垂径定理：理解并掌握垂径定理：垂直于弦垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。所对的两条弧。 2 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ A B 问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高
2、拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？.(精确3 到0.1米) 动手操作，观察猜想动手操作，观察猜想. CD是是O的直径，过直径上任一点的直径，过直径上任一点P作弦作弦ABCD，将，将O沿沿CD对折，比对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？较图中的线段和弧，你有什么发现？ D 线段：线段： AP=BP , AD=BD. 弧：弧： AC=BCA O P C B 4 问题问题1. 1. 垂直于弦的直径有什么垂直于弦的直径有什么?由由 CD是直径是直径 CDAB 特点？特点？ 可推得可推得 AC=BC,
3、AP=BP, AD=BD. D 如图如图,理由是理由是: 连结连结OA,OB, OA,OB, 则则OA=OB. AD =BD, A C 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对并且平分弦所对定理：定理： 5 的两条弧的两条弧. O CDAB AP=BP AOC= BOC AC = BC, P B 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。 题设题设 直径（或过圆心的直线）直径（或过圆心的直线） 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 判断题：判断题： (1)过圆心的直线平分弦过圆心的直线平分
4、弦 错 (2)垂直于弦的直线平分弦垂直于弦的直线平分弦错 (3)O中，中，OE弦弦AB于于E，则则AE=BE 对 A E D (1) C C 结论结论 平分弦平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 ? o B A D (2) ?o E O ? A B E (3) 6 B 练一练练一练 O O 1 1半径为半径为4cm4cm的的O O中，弦中，弦ABAB=4cm, =4cm, 2 3 cm 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 . . 2 2O O的直径为的直径为10cm10cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 8cm 距离为距离为3cm3cm，则弦，则弦ABAB的长是
5、的长是 . . A A E E B B O O A A E E B B O O B B 7 3 3半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径的圆中，过半径OCOC中点中点E E且且 2 3 cm 垂直于这条半径的弦垂直于这条半径的弦 ABAB长是长是 . . A A E E C 问题问题2 2 平分弦的直径有什么特点？平分弦的直径有什么特点？ 如图在如图在O中，直径中，直径CD交弦交弦AB于点于点P，AP=BP 下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么? D O P A ?你能发现直径你能发现直径CD与弦与弦AB有什么关系？图有什么关系？图中有哪些等量关系中
6、有哪些等量关系?与同伴说说你的想法与同伴说说你的想法和理由和理由. 发现图中有发现图中有: CDAB, ?由由 CD是直径是直径 可推得可推得 B AC=BC, AP=BP 推论推论1： C AD=BD. （不是直径不是直径） 平分弦平分弦 的直径垂直于这条弦的直径垂直于这条弦,并并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧; 8 问题3：平分弧的直径有什么特点？ 由由 CD是直径是直径 可推得可推得 AC=BC, CDAB, AP=BP AD=BD. D 推论推论2： A C 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。9 O P B 问题4：弦的垂直平分线有什么特
7、点？ 由由CDAB D 可推得可推得 CD是直径是直径 AP=BP AC=BC, AD=BD. O B A D P 推论推论3： 弦的垂直平分线经过圆心并且弦的垂直平分线经过圆心并且 平分弦所对的两条弧。平分弦所对的两条弧。 10 理解理解记忆记忆 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且推论推论1： 平分弦所对的两条弧。平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，推论推论2： 并且平分
8、弦所对的另一条弧。并且平分弦所对的另一条弧。 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对推论推论3： 的两条弧。的两条弧。 11 练一练练一练 挑战自我挑战自我 驶向胜利的彼岸 1、判断：、判断： (1)? 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条并且平分弦所对的两条弧。弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧。的另一条弧。 （? 3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦。）经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 （ 4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。）弦的垂直平分线
9、一定平分这条弦所对的弧。 （ 5）平行弦所夹的弧相等。）平行弦所夹的弧相等。 （? 6）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行。）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行。 12 求赵州桥桥拱半径的问题求赵州桥桥拱半径的问题 驶向胜利的彼岸 1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的的桥拱是圆弧形桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m). 13 求赵州桥桥拱半径的问题求赵州桥桥拱半径
10、的问题 如图，用弧如图，用弧ABAB表示主桥拱，设弧表示主桥拱，设弧 ABAB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O O，半径为半径为R R经过圆心经过圆心O O 作弦作弦AB AB 的垂线的垂线OCOC，D D为垂足，为垂足，OCOC与弧与弧AB AB 相交于点相交于点C C，根据前面的结论，根据前面的结论，D D 是是AB AB 的的中点，中点，C C是弧是弧ABAB的中点，的中点，CD CD 就是拱高就是拱高 C 在图中在图中 AB=37.4，CD=7.2， OD=OCCD=R7.2 在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即即 R2=18.72+（R7.2）
11、2 解得：解得：R279（m） 11AD?AB?37 .4?18 .7,A 22D B R O 赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为 27.9m. 14 检测题检测题 1如图，在如图，在O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心圆心O到到弦弦AB的距离的距离（弦心距弦心距）为）为3cm，求，求O的半径的半径 解：解： O做做OE AB于于E,连结连结OA 过点过点A E B 11则AE?AB?8?422O 在在RTAOE中中 AO?OE?AE = 3+4 =5cm2222答：答：O的半径为的半径为5cm. 15 检测检测 2已知：如图，在以已知：如图，在以O为为圆心的两个同心圆中，圆心
12、的两个同心圆中，大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，A D两点。两点。试说明：试说明：ACBD。 O C E . D B 证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则，则 AEBE，CEDE AECEBEDE ACBD 16 讲解讲解 3 已知已知O的直径是的直径是50 cm，O的两的两 条平行弦条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm， 求弦求弦AB与与CD之间的距离。之间的距离。 A C 20 E 25 25 24 . B D A C E 15 O 7 . O B F D EF有两解：有两解：15+7=22cm 15-7=8cm 17 请你谈谈这节课的收获和体会。 18 19
