1、 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷） 理科数学理科数学 1.已知集合24|xxM，06| 2 xxxN，则NM （ ） A.34|xx B.24|xx C. 22|xx D. 32| xx 答案： C 解答： 由题意可知,32|xxN,又因为24|xxM,则 22|xxNM ，故选C. 2.设复数z满足1zi ，z在复平面内对应的点为( , )x y，则（ ） A. 22 (1)1xy B. 22 (1)1xy C. 22 (1)1xy D. 22 (1)1xy 答案： C 解答： 复数z在复平面内对应的点为( , )x y， z xyi 1xyii 22 (1)1xy
2、3.已知 2 log 0.2a ， 0.2 2b ， 0.3 0.2c ，则（ ） A.abc B.acb C.cab D.bca 答案： B 解答： 由对数函数的图像可知： 2 log 0.20a ；再有指数函数的图像可知： 0.2 21b ， 0.3 00.21c，于是可得到：acb. 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 2 15 （618. 0 2 15 称为黄金分割比例） ，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头 顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 15 .若某人满足上述两个黄金分割比例， 且腿长为cm105，头顶至脖子下端的
3、长度为cm26，则其身高可能是（ ） A.cm165 B.cm175 C.cm185 D.cm190 答案： B 解答： 方法一： 设头顶处为点A，咽喉处为点B，脖子下端处为点C，肚脐处为点D，腿根处为点E，足底 处为F，tBD ， 2 15 ， 根 据 题 意 可 知 BD AB , 故tAB； 又tBDABAD) 1( ， DF AD ， 故 tDF 1 ； 所以身高tDFADh 2 ) 1( ，将618. 0 2 15 代入可得th24. 4. 根据腿长为cm105，头顶至脖子下端的长度为cm26可得ACAB，EFDF ； 即26t，105 1 t ，将618. 0 2 15 代入可得4
4、240t 所以08.1786 .169h，故选 B. 方法二： 由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近， 故头顶至脖子下端的长度cm26可 估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 2 15 （618. 0 2 15 称为黄金分割比例） 可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm42； 将人体的头顶 至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm68， 头顶至肚脐的长度与 肚脐至足底的长度之比是 2 15 可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度 与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm178，与答案cm175更为接近且身高应略
5、小于 cm178，故选 B. 5. 函数 2 sin ( ) cos xx f x xx 在, 的图像大致为（ ） A. B. C. D. 答案： D 解答： 2 sin () cos xx fx xx 2 sin cos xx xx ( )f x ， ( )f x为奇函数，排除 A， 又2 2 sin 42 22 ()0 2 cos 22 f ，排除 C， 22 sin ( )0 1 cos f ，排除 B，故选 D. 6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组 成，爻分为阳爻“”和阴爻“” ，下图就是一重卦.在所有重卦中 随机取一重卦，则该重卦恰有
6、3个阳爻的概率是（ ） A. 5 16 B. 11 32 C. 21 32 D. 11 16 答案： A 解答： 每爻有阴阳两种情况， 所以总的事件共有 6 2 种， 在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有 3 6 C种， 所以 3 6 6 205 26416 C P . 7. 已知非零向量, a b满足2ab，且()abb，则a与b的夹角为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 答案： B 解答： 设a与b的夹角为， ()abb 2 ()cosab ba bb =0 1 cos = 2 = 3 . 8.右图是求 1 1 2+ 1 2+ 2 的程序框图，图中空白框中应填入（ ） A
7、. 1 2 A A B. 1 2A A C. 1 1 2 A A D. 1 12 A A 答案： A 解答： 把选项代入模拟运行很容易得出结论 选项 A 代入运算可得 1 = 1 2+ 1 2+ 2 A ，满足条件， 选项 B 代入运算可得 1 =2+ 1 2+ 2 A ,不符合条件， 选项 C 代入运算可得 1 2 A ,不符合条件， 选项 D 代入运算可得 1 1+ 4 A ,不符合条件. 9.记 n S为等差数列 n a的前n项和.已知 4 0S ， 5 5a ，则（ ） A.25 n an B.310 n an C. 2 28 n Snn D. 2 1 2 2 n Snn 答案： A
8、解析： 依题意有 41 51 460 45 Sad aad ，可得 1 3 2 a d ，25 n an， 2 4 n Snn. 10.已知椭圆C的焦点为)0 , 1( 1 F，)0 , 1 ( 2 F，过 2 F的直线与C交于A，B两点.若 |2| 22 BFAF ，| 1 BFAB ，则C的方程为（ ） A.1 2 2 2 y x B. 1 23 22 yx C.1 34 22 yx D.1 45 22 yx 答案： B 解答： 由椭圆C的焦点为)0 , 1( 1 F，)0 , 1 ( 2 F可知1c，又|2| 22 BFAF ，| 1 BFAB ，可 设mBF | 2 ， 则mAF2|
9、2 ，mABBF3| 1 ， 根 据 椭 圆 的 定 义 可 知 ammBFBF23| 21 ，得am 2 1 ，所以aBF 2 1 | 2 ，aAF | 2 ，可知), 0(bA， 根据相似可得) 2 1 , 2 3 (bB代入椭圆的标准方程1 2 2 2 2 b y a x ，得3 2 a，2 222 cab， 椭圆C的方程为1 23 22 yx . 11. 关于函数( )sinsinf xxx有下述四个结论： ( )f x是偶函数 ( )f x在区间(, ) 2 单调递增 ( )f x在, 有 4 个零点 ( )f x的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ） A. B. C. D.
10、答案： C 解答： 因为()sinsin()sinsin( )fxxxxxf x ，所以( )f x是偶函数，正确， 因为 52 ,(, ) 632 ，而 52 ()() 63 ff ，所以错误， 画出函数( )f x在, 上的图像，很容易知道( )f x有3零点，所以错误， 结合函数图像，可知( )f x的最大值为2，正确，故答案选 C. 12. 已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2 的正三角形，,E F分别是PA，AB的中点，90CEF，则球O的体积为（ ） A.8 6 B.4 6 C.2 6 D. 6 答案： D 解答： 设PAx，则 222222
11、2 -42 cos= 22 PAPC ACxxx PAC PA PCx xx 222 2cosCEPEPCPE PCPAC 222 2 2 2 22 424 xxxx xx x 90CEF， 1 ,3 22 x EFPBCF 222 CEEFCF,即 22 23 44 xx ，解得2x ， 2PAPBPC 又2ABBCAC 易知,PA PB PC两两相互垂直， 故三棱锥PABC的外接球的半径为 6 2 ， 三棱锥PABC的外接球的体积为 3 46 6 32 ，故选 D. 13.曲线 2 3() x yxx e在点(0,0)处的切线方程为 . 答案： 3yx 解答： 2 3(21)3() xx
12、yxexx e 2 3(31) x xxe， 结合导数的几何意义曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率3k ， 切线方程为3yx. 14.记 n S为等比数列 n a的前n项和，若 1 1 3 a ， 2 46 aa，则 5 S . 答案： 5 S 121 3 解答： 1 1 3 a ， 2 46 aa 设等比数列公比为q 325 11 ()a qa q 3q 5 S 121 3 15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束） 根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率 为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互
13、独立，则甲队以4:1获胜的概率是 . 答案： 0.18 解答： 甲队要以4:1，则甲队在前 4 场比赛中输一场，第 5 场甲获胜，由于在前 4 场比赛中甲有 2 个主场 2 个客场，于是分两种情况： 1221 22 0.6 0.4 0.50.60.60.5 0.5 0.60.18CC. 16.已知双曲线 C: 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，过 1 F的直线与C的 两条渐近线分别交于,A B两点.若 112 ,0F AAB FB F B uuu ruuu r uuu r uuu r ，则C的离心率为 . 答案： 2 解答： 由 112 ,0F A
14、AB FB F B uuu ruuu r uuu r uuu r 知A是 1 BF的中点， 12 FBF B uuu ruuu r ，又O是 12 ,F F的中点，所以OA 为中位线且 1 OABF，所以 1 OBOF，因此 1 FOABOA ，又根据两渐近线对称， 12 FOAFOB ，所以 2 60FOB， 22 1( )1tan 602 b e a . 17. ABC的内角, ,A B C的对边分别为 , ,a b c.设 2 2 sinsinsinsinsinBCABC. （1）求A； （2）若 22abc ，求sinC. 答案： 略 解答： （1）由 2 2 sinsinsinsin
15、sinBCABC得 222 sinsinsinsinsinBCABC 结合正弦定理得 222 bcabc 222 1 cos= 22 bca A b c 又(0, )A，= 3 A . （2）由 22abc 得 2sinsin2sinABC , 2sinsin2sinAACC 6 sin()2sin 23 CC , 312 sincos 222 CC 2 sin() 62 C 又 2 0 3 C 662 C 又sin()0 6 C 0 62 C 2 cos 62 C ， sinsin() 66 CC sincoscossin 6666 CC 62 4 . 18.如图，直四棱柱 1111 ABC
16、DABC D的底面是菱形， 1 4,2,60AAABBAD， ,E M N分别是 11 ,BC BB AD的中点. （1）证明：/ /MN平面 1 C DE； （2）求二面角 1 AMAN的正弦值. 答案： （1）见解析； （2） 10 5 . 解答： （1）连结,M E和 1, B C， ,M E分别是 1 BB和BC的中点， 1 / /MEBC且 1 1 2 MEBC， 又N是 1 A D，/ /MEDN，且MEDN，四边形MNDE是平行四边形， / /MNDE，又DE 平面 1 C DE，MN 平面 1 C DE，/ /MN平面 1 C DE. （2）以D为原点建立如图坐标系，由题(0,
17、0,0)D，(2,0,0)A， 1(2,0,4) A， (1, 3,2)M 1 (0,0, 4)A A uuu r ， 1 ( 1, 3, 2)AM uuuu r ， 1 ( 2,0, 4)AD uuu r ，设平面 1 AA M的法向量为 1111 (,)nx y z u r ，平面 1 DAM的法向量为 2222 (,)nxy z u u r ， 由 11 11 0 0 nA A nAM u r uuu r u r uuuu r得 1 111 40 320 z xyz ，令 1 3x 得 1 ( 3,1,0)n u r ， 由 21 21 0 0 nAD nAM u u r uuu r u
18、 u r uuuu r得 22 222 240 320 xz xyz ，令 2 2x 得 2 (2,0, 1)n u u r ， 12 12 12 15 cos, 5 n n n n nn u r u u r u r u u r u ru u r ，二面角 1 AMAN的正弦值为 10 5 . 19.已知抛物线xyC3: 2 的焦点为F，斜率为 2 3 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的 交点为P. （1）若4| BFAF，求l的方程； （2）若 PBAP3 ，求| AB. 答案： （1）07128xy； （2） 3 134 . 解答： （1）设直线l的方程为bxy 2 3 ，设),( 11
19、 yxA，),( 22 yxB， 联立直线l与抛物线的方程： xy bxy 3 2 3 2 消去y化简整理得0)33( 4 9 22 bxbx， 0 4 9 4)33( 22 bb， 2 1 b， 9 )33(4 21 b xx ，依题意4| BFAF可知 4 2 3 21 xx，即 2 5 21 xx，故 2 5 9 )33(4 b ，得 8 7 b，满足0，故直线l的 方程为 8 7 2 3 xy，即07128xy. （2） 联立方程组 xy bxy 3 2 3 2 消去x化简整理得022 2 byy，084b， 2 1 b， 2 21 yy，byy2 21 ， PBAP3 ， 可知 21
20、 3yy， 则22 2 y， 得1 2 y，3 1 y， 故可知 2 3 b满足0， 3 134 | 13| 9 4 1| 1 1| 21 2 yy k AB. 20.已知函数( )sinln(1)f xxx,( )fx 为( )f x的导函数.证明： (1)( )fx 在区间( 1,) 2 存在唯一极大值点； (2)( )f x有且仅有2个零点. 答案： 略 解答： (1)对( )f x进行求导可得， 1 ( )cos 1 fxx x ，( 1) 2 x 取 1 ( )cos 1 g xx x ，则 2 1 ( )sin (1) g xx x , 在( 1,) 2 x 内 2 1 ( )si
21、n (1) g xx x 为 单 调 递 减 函 数 ， 且(0)1g， 2 1 ()10 2 (1) 2 g 所 以 在(0,1)x内 存 在 一 个 0 x， 使 得( )0g x， 所 以 在 0 ( 1,)xx 内( )0g x，( )fx为增函数；在 0 (,) 2 xx 内( )0g x ，( )fx 为减函数， 所以在( )fx 在区间( 1,) 2 存在唯一极大值点； （2）由（1）可知当( 1,0)x 时，( )fx 单调增，且(0)0 f ，可得 0 xf 则( )f x在此区间单调减； 当 0 (0,)xx时，( )fx单调增， 且(0)0 f ，( )0fx 则( )f
22、 x在此区间单调增； 又(0)0f 则在 0 ( 1,)xx 上( )f x有唯一零点0x. 当 0 (,) 2 xx 时，( )fx 单调减，且 0 ()0,()0 2 fxf ，则存在唯一的 10 (,) 2 xx ，使 得 1 ( )0fx，在 01 (,)xx x时， 1 ( )0fx，( )f x单调增；当 1 ( ,) 2 xx 时，( )f x单调 减，且()1 ln(1)1 ln0 22 fe ，所以在 0 (,) 2 xx 上( )f x无零点； 当(, ) 2 x 时，sinyx单调减，ln(1)yx 单调减， 则( )f x在(, ) 2 x 上单调减, ( )0ln(1
23、)0f ,所以在(, ) 2 x 上( )f x存在一个零点. 当( ,)x时，( )sinln(1)1 ln(1)0f xxx 恒成立， 则( )f x在( ,)x 上无零点. 综上可得，( )f x有且仅有2个零点. 21为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实 验实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验对于两只白鼠，随机选一只 施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验当其中一种药治 愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效为 了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈
24、且施以乙药的白鼠未治愈则 甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分， 甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为和 ，一轮实验中甲药的得分记为X （1）求X的分布列； （2） 若甲药、 乙药在实验开始时都赋予 4 分，(0,1,8) i pi 表示 “甲药的累计得分为i时， 最 终 认 为 甲 药 比 乙 药 更 有 效 ” 的 概 率 ， 则 0 0p ， 8 1p ， 11iiii papbpcp (1,2,7)i ， 其 中(1)aP X ，(0)bP X， (1)cP X 假设0.5，0.8 （i）证明：
25、 1 (0,1,2,7) ii ppi 为等比数列； （ii）求 4 p，并根据 4 p的值解释这种实验方案的合理性 答案： （1）略； （2）略 解答： （1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：1、1、0 得1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则(1)(1)P X； 得1分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则(1)(1)P X ； 得0分时是都治愈或都未治愈，则(0)(1)(1)P X 则X的分布列为： （2） （i）因为0.5，0.8， 则(1)0.4aP X ，(0)0.5bP X，(1)0.1cP X 可得 11 0.40.50.1 iiii pppp ，则 1
26、1 0.50.40.1 iii ppp ， 则 11 0.4()0.1() iiii pppp ，则 1 1 4 ii ii pp pp ， 所以 1 (0,1,2,7) ii ppi 为等比数列 （ii） 1 (0,1,2,7) ii ppi 的首项为 101 ppp，那么可得： 7 871 4ppp， 6 761 4ppp， 211 4ppp， 以上 7 个式子相加，得到 76 811 (444)ppp， 则 88 67 8111 1 441 (1 444 ) 1 43 pppp ，则 1 8 3 41 p ， 再把后面三个式子相加，得 23 411 (444 )ppp， 则 44 23
27、411 84 4141311 (1 444 ) 334141257 ppp 4 p表示 “甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只， 且甲药的累计得分为 4” ， 因为0.5， 0.8，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只，且甲药的累计 得分为 4”这种情况的概率是非常小的，而 4 1 257 p 的确非常小，说明这种实验方案是合理 的 22.在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 2 2 2 1 1 () 4 1 t x t t t y t 为参数.以坐标原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 cos 3 sin110. （1）求C和l的
28、直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值. 答案： 略 解答： (1)曲线C:由题意得 2 22 12 1 11 t x tt 即 2 2 1 1 x t ，则 2(1) y t x ，然后代入即可 得到 2 2 1 4 y x 而直线l：将cos ,sinxy代入即可得到23110xy （2）将曲线C化成参数方程形式为 则 4sin() 11 2cos2 3sin11 6 77 d 所以当 3 62 时，最小值为 7 23. 已知, ,a b c为正数，且满足1abc，证明： （1） 222 111 abc abc （2） 333 ()()()24abbcca 答案： 见解析： 解答： （1）1abc ， 111 bcacab abc . 由基本不等式可得： 222222 , 222 bcacab bcacab ， 于是得到 222222 222 111 222 bcacab abc abc . （2）由基本不等式得到： 3 3 2 2()8()abababab ， 3 3 2 2()8()bcbcbcbc ， 3 3 2 2()8()caaccaac . 于是得到 333 333 222 ()()()8()()() abbccaabbcac 333 3 222 8 3 () () ()24abbcca
