1、:整式的乘法整式的乘法计算下列各式计算下列各式:x(x+1)= ； (x+1)(x1)= .x2 + xx2115.4.1 提公因式法提公因式法 把一个多项式化成几个整式积的形把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式式，这种变形叫做把这个多项式因式因式分解分解（或（或分解因式分解因式）.1)2() 1 (22xxx请把下列多项式写成整式乘积的形式请把下列多项式写成整式乘积的形式.) 1( xx) 1)(1(xx 想一想：因式分解与整式乘法有何关系想一想：因式分解与整式乘法有何关系?因式分解与整式乘法是互逆过程因式分解与整式乘法是互逆过程.(x+y)(xy)x2y2因式分解因式
2、分解整式乘法整式乘法练习一练习一 理解概念理解概念 判断下列各式哪些是整式乘法判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因哪些是因式分解式分解? (1) x24y2=(x+2y)(x2y)； (2) 2x(x3y)=2x26xy (3) (5a1)2=25a210a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； (5) (a3)(a+3)=a29 (6) m24=(m+2)(m2) ； (7) 2R+ 2r= 2(R+r).因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解因式分解：多项式中各项多项式中各项都有的都有的因式，因式，叫做这个多项式
3、的公因式叫做这个多项式的公因式. 把多项式把多项式ma+mb+mc分解成分解成m(a+b+c)的形的形式，其中式，其中m是各项的公因式，另一个因式是各项的公因式，另一个因式(a+b+c)是是ma+mb+mc 除以除以m的商，像这种分解因式的的商，像这种分解因式的方法，叫做方法，叫做怎样分解因式怎样分解因式: .mcmbma说出下列多项式各项的公因式：说出下列多项式各项的公因式：(1)ma + mb ；(2)4kx 8ky ；(3)5y3+20y2 ；(4)a2b2ab2+ab .m4k5y2ab找公因式方法：找公因式方法：一一看系数：看系数：应取各项系数的应取各项系数的最大公约数最大公约数.二
4、二看字母：看字母：取各项取各项相同相同的字母的字母.三三看指数：看指数：字母的字母的指数指数取取最低次幂最低次幂的的. 分析：应先找出分析：应先找出 与与 的的公因式，再提公因式进行分解公因式，再提公因式进行分解.例例 1分解因式把cabba323128)(3)(2cbcba 分析分析：(b+c)是这两个式子的公因式是这两个式子的公因式,可以直接提出可以直接提出.)(3)(2cbcba解：)32)(acb例例 2 分解因式分解因式因式分解：因式分解：(1)24x3y18x2y ； (2)7ma+14ma2 ；(3)16x4+32x356x2 ；(4) 7ab14abx+49aby ；(5)2a
5、(yz)3b(yz) ；(6)p(a2+b2)q(a2+b2).1.20042+2004能被2005整除吗? . 3, 5)7(3)7(4. 22xa，xxa其中先分解因式，再求值 你能将多项式你能将多项式x216 与多项式与多项式m 24n2分解因式吗分解因式吗?这两个多项式有什么共同这两个多项式有什么共同的特点吗的特点吗?(a+b)(ab) = a2b2a2b2 =(a+b)(ab) 两个数的平方差两个数的平方差, ,等于这两个数的和与等于这两个数的和与这两个数的差的积这两个数的差的积. .15.4.2 公式法公式法(1)(1)例例3 分解因式分解因式:(1) 4x2 9 ; (2) (x
6、+p)2 (x+q)2. 分析分析：在：在(1)中，中，4x2 = (2x)2，9=32，4x29 = (2x )2 3 2，即，即可用平方差公式可用平方差公式分解因式分解因式. 在在(2)中，把中，把(x+p)和和 (x+q)各看成一个整体，假设各看成一个整体，假设x+p=m，x+q=n，则原式化为，则原式化为m2n2.(1)4x2 9 = (2x)2 3 2 = (2x+3)(2x 3).(2)(x+p)2 (x+q) 2= (x+p) +(x+q) (x+p) (x+q)=(2x+p+q)(pq). 例例4 分解因式分解因式: (1)x4y4; (2) a3b ab. 分析分析:(1)x
7、4y4写成写成(x2)2 (y2)2的形式，的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了这样就可以利用平方差公式进行因式分解了. (2)a3bab有公因式有公因式ab，应先提出公因式，应先提出公因式,再进一步分解再进一步分解.解解:(1) x4y4 = (x2+y2)(x2y2) = (x2+y2)(x+y)(xy).(2) a3bab=ab(a2 1)=ab(a+1)(a 1).分解因式分解因式必须进行必须进行到每一个到每一个多项式都多项式都不能再分不能再分解为止解为止. 练练 习习 1.下列多项式能否用平方差公式来分解下列多项式能否用平方差公式来分解因式因式?为什么为什么? (1) x2
8、+y2 ; (2) x2y2; (3) x2+y2; (4) x2y2.2.分解因式分解因式:(1)a2 b2; (2)9a24b2;(3) x2y4y ; (4) a4 +16.251 思维延伸思维延伸 1. 观察下列各式观察下列各式: 3212=8=81; 5232=16=82; 7252=24=83; 把你发现的规律用含把你发现的规律用含n的等式表示出来的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数对于任意的自然数n，(n+7)2 (n5)2能被能被24整除吗整除吗? 为什么为什么? 思考：思考： 你能将多项式你能将多项式a2+2ab+b2 与与a22ab+b2分解因分解因式吗？这两个多项式有
9、什么特点？式吗？这两个多项式有什么特点？(a+b)2=a2+2ab+b2,(ab)2=a22ab+b2. 两个数的平方和加上（或减去）这两两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的倍，等于这两个数的和（或个数的积的倍，等于这两个数的和（或差）的平方差）的平方.a2+2ab+b2=(a+b)2a22ab+b2=(ab)215.4.2 公式法公式法( (2) ) 例例5 分解因式：分解因式： (1) 16x2+24x+9； 分析：在分析：在(1)中，中，16x2=(4x)2，9=32，24x=24x3，所以所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x
10、)2+24x3+32a22a bb2+解：解：(1)16x2+24x+9 = (4x)2+24x3+32 =(4x+3)2+解：解：(2) x2+4xy4y2 = (x24xy+4y2) = x22x2y+(2y)2 = (x2y)2 . 例例5 分解因式：分解因式： (2)(2) x2+4xy4y2. 例例6 分解因式分解因式: : (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)212(a+b)+36. 分析分析：在（：在（1）中有公因式）中有公因式3a，应先提出公，应先提出公因式，再进一步分解因式，再进一步分解.解：解：(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+
11、y2) =3a(x+y)2 . .(2)(a+b)212(a+b)+36=(a+b)22(a+b)6+62=(a+b6)2.将将a+b看作一个看作一个整体，设整体，设a+b=m,则原式化为完全则原式化为完全平方式平方式m212m+36. 练练 习习1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？下列多项式是不是完全平方式？为什么？ (1) a24a+4; (2)1+4a2; (3) 4b2+4b1 ; (4)a2+ab+b2.2.分解因式：分解因式： (1) x2+12x+36; (2) 2xyx2y2; (3) a2+2a+1; (4) 4x24x+1; (5) ax2+2a2x+a3; (6) 3
12、x2+6xy3y2.应用提高、拓展创新应用提高、拓展创新 1. 1.把下列多项式分解因式，从中你能把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？发现因式分解的一般步骤吗？ （1 1） ； （2 2） ；（3 3） ；（4 4）（5 5） . . 44yx 33abba22363ayaxyax22)()(qxpx36)(12)(2baba归纳：归纳：（1） 先提公因式（有的话）；先提公因式（有的话）；（2） 利用公式（可以的话）；利用公式（可以的话）；（3） 分解因式时要分解到不能分解为止分解因式时要分解到不能分解为止. 2. 2.证明：连续两个奇数的平方证明：连续两个奇数的平方差可以被差可以被8 8整除整除. . 今天你有什么收获今天你有什么收获?你还有什么疑问吗你还有什么疑问吗?作业：习题作业：习题15.4，2、3、5.
