1、第3章 点、直线、平面的投影 3.1 3.1 点的投影点的投影 3.2 3.2 直线的投影直线的投影 3.3 3.3 平面的投影平面的投影 3.4 3.4 直线与平面及两平面的直线与平面及两平面的 相对位置相对位置 本章小结本章小结结束放映结束放映 P Pb A AP P采用多面投影采用多面投影。 过空间点过空间点A的投射线的投射线与投影面与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影。面上的投影。B B3 3B B2 2B B1 1 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。1. 点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影a 3.1 3.
2、1 点的投影点的投影解决办法？解决办法？H HW WV V2. 点的三面投影点的三面投影投影面投影面 正面投影面（正面投影面（V V 面）面） 水平投影面（水平投影面（H H 面）面） 侧面投影面（侧面投影面（W W 面）面） 投影轴投影轴O OX XZ Z OXOX轴轴 V V 面与面与H H 面的交面的交线线 OZOZ轴轴 V V 面与面与W W 面的交面的交线线 OYOY轴轴 H H 面与面与W W 面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直Y YW WH HV VO OX XZ ZY Y空间点空间点A A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A A的正面投影的正面投
3、影a点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影注意：注意：空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。a aa A AX XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开W WVH HaaxazZ Zaa yayaX XY Y Y YO O Z Z点的投影规律点的投影规律: a aOXOX轴轴 aax= a ax=aay=azY YY YZ Za X XayO Oaaxaya a a OZOZ轴轴=y=A Aa （A A到到V V面的距离）面的距离）a a
4、z=x=A Aa （A A到到W W面的距离面的距离）a ay=z=A Aa（A A到到H H面的距离面的距离）X XY YO OV VH HW WA Aaa a xaazaya az( )重影点：重影点： 空间两点在某空间两点在某一投影面上的一投影面上的投影投影重合为一点重合为一点时，则时，则称此两点为称此两点为该投影该投影面面的重影点。的重影点。被挡住的投被挡住的投影加影加( )( )A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？c a cc a a aa a b b b3.2 3.2 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两点确定一条直线，将两点的两点的同名投影同名投影用直线
5、连接，用直线连接，就得到直线的同名投影。就得到直线的同名投影。1) 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性1. 直线的投影特性直线的投影特性 B BA Aa b直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积积 聚聚 性性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=ABAB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABABcos B BA Aab A AM MB Babm 2) 2) 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两
6、投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于正平线（平行于面）面）侧平线（平行于侧平线（平行于面）面）水平线（平行于水平线（平行于面）面）正垂线（垂直于正垂线（垂直于面）面）侧垂线（垂直于侧垂线（垂直于面）面）铅垂线（垂直于铅垂线（垂直于面）面）一般一般位置位置直线直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊统称特殊位置位置直线直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取决于直线与三个投影面间的其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。相对位置。 投影面平行线投影面平行线Y YX XZ ZbaaO OY Yabb水平线水平线实长实长在其平行的那个
7、投影面在其平行的那个投影面 上的投影反映实长，并上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面反映直线与另两投影面 倾角的实大。倾角的实大。另两个投影面上的投影另两个投影面上的投影 平行于相应的投影轴，平行于相应的投影轴， 其到相应投影轴距离反其到相应投影轴距离反 映直线与它所平行的投映直线与它所平行的投 影面之间的距离。影面之间的距离。投影特性：投影特性：V VH HabABW Wabab判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？侧平线侧平线正平线正平线与与H面的夹角面的夹角: : 与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长 实长实长 b a aba b 直线与投影面
8、夹角的表示法：直线与投影面夹角的表示法：b aa b ba 反映线段实长，且垂直反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。 投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影， 在其垂直的投影面在其垂直的投影面 上，上， 投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性: :a b a(b)a b c (d )cdd c e f efe (f ) 一般位置直线一般位置直线Z ZY YaO OX Xb bY Ya b a 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个并不反映空间
9、线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。的实长。投影特性：投影特性：H HaaAb V VBbW Wa b acX XY YY YbO OZ ZbacacbAH HacV VBbCW Wbcabca2. 直线与点的相对位置直线与点的相对位置 若点在直线上若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影则点的投影必在直线的同名投影 上。上。 点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相 同的比例。即：同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a c :c b =a c :c b
10、 定比定理定比定理例例1 1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c 不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?aa b c bcaa b bkk 例例2 2：已知点：已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）aa b bka b k k 3. 两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）、垂直。平行、相交、交叉（异面）、垂直。1) 1)
11、 两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。acdbcdabO OX X bcdH HAd aCcV VaDbB 例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两组同名投影互只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就平行。平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。a b c d cbad d
12、b a c b d c a abcdc a b d 2) 2) 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。影特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点cabd b a c d kk ac V VX Xb H HDacdkCAkKd bO OBcd k kd例：过例：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c 例：判断直线例：判断直线AB、CD的相对位置。的相对位置。c abdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为
13、什么？ 交点不符合交点不符合空间一个点的投空间一个点的投影特性。影特性。判断方法？判断方法？ 应用定比定理应用定比定理 利用侧面投影利用侧面投影3) 3) 两直线交叉两直线交叉为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！ 交点不符合一个点的投影规律！交点不符合一个点的投影规律！cabdO OX XdbacacACV VbH HdDBcdbaacACV VbH HdDBcdbacabdO OX Xdbac1(2)21投影特性：投影特性： 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律间一个点的投影规律。 “交点交点”是两直线上的一是两直线
14、上的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。用其可帮助判断两直线的空间位置。1(2)12 43 (4 )33 (4 )34 4) 4) 两直线垂直（垂直相交或垂直交叉）两直线垂直（垂直相交或垂直交叉）直角的投影特性：直角的投影特性： 若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。上的投影仍为直角。设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB, 同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc为直角为直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因
15、BCbc证明：证明：BACabcHa c b abc.caba b c d例：过例：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。垂直相交。AB为正平线为正平线, 正正面投影反映直角。面投影反映直角。.d 3.3 3.3 平面的投影平面的投影1. 平面的表示法平面的表示法不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线平面平面图形图形c abca b caba b c baca b c 2. 平面的投影特性平面的投影特性垂直垂直倾斜倾斜投影特性：投影特性：平面平行投影面平面平行投影面投影就把实形现
16、投影就把实形现平面垂直投影面平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线平面倾斜投影面平面倾斜投影面投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性1) 1) 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平行平行2) 2) 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊特殊位置位置平面平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直
17、于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面 投影面垂直面投影面垂直面为什么？为什么？是什么位置的是什么位置的平面？平面？类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。c c abca b b a a b c a b c abc 投影
18、面平行面投影面平行面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。 一般位置平面一般位置平面三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性：投影特性：a b c a c b abca c b c a abcb 例例：正垂面：正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水，已知其水 平投影及顶点平投影及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正的正 面投影及侧面投影
19、。面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？思考：此题有几个解？453. 平面上的直线和点平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件：位于平面上的直线应满足的条件：1) 1) 平面上取任意直线平面上取任意直线M MN NA AB BM M 若一直线过平面上的两若一直线过平面上的两 点，则此直线必在该平点，则此直线必在该平 面上。面上。 若一直线过平面上的一若一直线过平面上的一 点且平行于该平面上的点且平行于该平面上的 另一直线，则此直线在另一直线，则此直线在 该平面上。该平面上。 abcb c a d d例：已知平面由直线例：已知平面由直线AB、AC所确定，在所确定，在 平面内任作一条直线。平面
20、内任作一条直线。解法一：解法一：解法二：解法二：有多少解？有多少解？有无数解！有无数解！n m nmabcb c a 例：在平面例：在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距离为面的距离为10mm10mm。n m nm10 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？c a b cab2) 2) 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面上的一条直线作为先找出过此点而又在平面上的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：已知例：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。baca k b c 面
21、上取点的方法：面上取点的方法：d d利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解首先面上取线首先面上取线kabca b k c kbckk b例：已知例：已知AC为正平线，补全平行四边为正平线，补全平行四边 形形ABCD的水平投影。的水平投影。解法一：解法一：解法二：解法二：cada d b c ada d b c dede1010mm例：在例：在ABCABC内取一点内取一点M M，并使其到，并使其到H H面和面和V V面的距离均为面的距离均为10mm10mm。bcX XbcaaO O3.4 3.4 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位
22、置相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。1. 1. 平行问题平行问题 直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行包括包括1) 直线与平面平行直线与平面平行 若平面外的一直线平行于平面内若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。的某一直线，则该直线与该平面平行。n a c b m abcmn例：过点例：过点M作直线作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？d d正平线正平线例：过例：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC。唯一解唯一解nn d dc b a m abcm2) 2) 两平面平
23、行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线分别平行于另分别平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行。必相互平行。c f b d e a abcdeff h abcdefha b c d e kk 由于由于ek不不平行于平行于ac, ,故两平面故两平面不平行。不平行。例：判断平面例：判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM是否平行，是否平行， 已知已知ABABCDCDEFEFMHMHacebb a d
24、dfc f e hh O OX Xm m 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平交点是直线与平面的共有点。面的共有点。2. 相交问题相交问题直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交1)1)直线与平面相交直线与平面相交要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判别可 见性。见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。殊位置的情况。例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投
25、影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影。点的水平投影。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正段在平面前，故正面投影上面投影上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。作图作图用线上用线上取点法取点法 平面为特殊位置平面为特殊位置abcmnc n b a m k k1 (2 )211 (2 )km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析
26、 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点位于位于MN上，在上，在后。故后。故k 2 2 为不可见为不可见。k 2 1作图作图用面上取点法用面上取点法2) 2) 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平交线是两平面的共有线，面的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的交线上的点都是两平面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：(1) (1) 求求两平面的两平面的交线
27、交线方法：方法： 确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。 确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。的情况。(2) (2) 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。判别可见性。可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f db e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都为都为正垂面正垂面，它们的，它们的交线为一交线为一条正垂线条正垂线，两平面，两平面正面投正面投影的交点即为交线的正
28、面影的交点即为交线的正面投影，投影，交线的水平投影垂交线的水平投影垂直于直于OX轴轴。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看从正面投影上可看出，在交线左侧，平面出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影在上，其水平投影可见。可见。nm能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MN并判别可见性。并判别可见性。能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？abcdefc f db e a m (n )例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MN并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看
29、从正面投影上可看出，在交线左侧，平面出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影在上，其水平投影可见。可见。mn 平面平面ABC与与DEF都为都为正垂面正垂面，它们的，它们的交线为一交线为一条正垂线条正垂线，两平面，两平面正面投正面投影的交点即为交线的正面影的交点即为交线的正面投影，投影，交线的水平投影垂交线的水平投影垂直于直于OX轴轴。aa bd( (e) )ebdh( (f) )cfch1( (2 ) )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面DEFH是一铅是一铅垂面，它的水平投影有垂面，它的水平投影有积聚性，其与积聚性，其与ac、bc的的交点交点m 、n 即为两个共即为两个共有点的水平投影，
30、故有点的水平投影，故mn即为交线即为交线MN的水平投的水平投影。影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MC上，点上，点在在FH上，上，点点在前，在前，点点在后，故在后，故mc 可见。可见。作图作图21 mmnnabd( (e) )ebdh( (f) )cfchmnnm空间及投影分析空间及投影分析 平面平面DEFH是一铅是一铅垂面，它的水平投影有垂面，它的水平投影有积聚性，其与积聚性，其与ac、bc的的交点交点m 、n 即为两个共即为两个共有点的水平投影，故有点的水平投影，故mn即为交线即为交线MN的水平投的水平投影影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MC上，点上，点在
31、在FH上，上，点点在前，在前，点点在后，故在后，故mc 可见。可见。作图作图c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于 def 的外面，的外面，说明点说明点N位于位于 DEF所确定的平面内，但所确定的平面内，但不位于不位于 DEF这个图这个图形内。所以形内。所以 ABC和和 DEF的交线应为的交线应为MK。 nn m kmk 互交互交c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于 def 的外面，的外面，说明点说明点N位于位于 DEF所确定的平面内，但所确定的平面内，但不位于不位于 DEF这个图这个图形
32、内。所以形内。所以 ABC和和 DEF的交线应为的交线应为MK。互交互交mkk m 3. 垂直问题垂直问题直线与平面垂直直线与平面垂直平面与平面垂直平面与平面垂直1) 1) 直线与平面垂直直线与平面垂直 若直线垂直于平面，则直线的正面若直线垂直于平面，则直线的正面投影一定垂直于平面上的正平线的正面投影一定垂直于平面上的正平线的正面投影，直线的水平投影一定垂直于平面投影，直线的水平投影一定垂直于平面上的水平线的水平投影。上的水平线的水平投影。 例：过点例：过点M M作直线作直线MNMN垂直于垂直于ABCABC所确定的平面所确定的平面 ndede nmabcb acm 根据直线与平面垂根据直线与平
33、面垂直时的投影特性，所作直时的投影特性，所作直线的正面投影应垂直直线的正面投影应垂直于于ABCABC上的正平线的上的正平线的正面投影，水平投影应正面投影，水平投影应垂直于垂直于ABCABC上的水平上的水平线的水平投影。线的水平投影。因此，因此，作图时应首先在作图时应首先在ABCABC内作一条正平线和一条内作一条正平线和一条水平线。水平线。 分析：分析：例：过点例：过点A A作平面垂直于直线作平面垂直于直线MNMN 。bcc bmnan m a分析：分析： 根据直线与平面垂根据直线与平面垂直的几何条件，所作直的几何条件，所作平面内应包含两条相平面内应包含两条相交直线与交直线与MNMN垂直，假垂直
34、，假设它们是设它们是相交于点相交于点A A的一条正平线和一条的一条正平线和一条水平线，则该正平线水平线，则该正平线的正面投影应垂直于的正面投影应垂直于mn，水平线的水平，水平线的水平投影应垂直于投影应垂直于m n 。2) 2) 平面与平面垂直平面与平面垂直 若若一平面通过另一平面的垂线一平面通过另一平面的垂线，则两，则两平面相互垂直。平面相互垂直。 绘制相互垂直平面的两种方法：绘制相互垂直平面的两种方法： 使一平面使一平面包含另一平面的一条垂线包含另一平面的一条垂线。 使一平面使一平面垂直于另一平面内的一条直线。垂直于另一平面内的一条直线。ABQPABQP例：过点例：过点M M作一平面垂直于作
35、一平面垂直于ABC所确定的平面。所确定的平面。 dend e n kk分析：分析： 假设所作假设所作平面由相交于平面由相交于点点M M的两条直线的两条直线构成，根据两构成，根据两平面垂直的几平面垂直的几何条件，何条件，使其使其中一条为中一条为ABC的垂线的垂线即可。即可。 abcma c b m abca b c 直线为一般位置时直线为一般位置时 直线为特殊位置时直线为特殊位置时bab ka k 本章本章小结小结点、直线、平面的投影特性，尤其是点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线特殊位置直线 与平面的投影特性与平面的投影特性。重点掌握：重点掌握：点、直线、平面的点、直线、平面的相对位置
36、的判断方法及投影特性相对位置的判断方法及投影特性。1. 直线上的点直线上的点(1) (1) 点的投影在直线的同名投影上。点的投影在直线的同名投影上。(2) (2) 点的投影必分线段的投影成定比点的投影必分线段的投影成定比定比定理。定比定理。(3) (3) 判断方法判断方法: : 2. 两直线的相对位置两直线的相对位置1) 1) 平行平行 同名投影互相平行。同名投影互相平行。 对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。平行，空间两直线就平行。abcdc a b d 对于特殊位置直线，只对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，有两个
37、同名投影互相平行，空间直线不一定平行。空间直线不一定平行。cbdd b a c a2) 2) 相交相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。合空间一个点的投影规律。3) 3) 交叉（异面）交叉（异面） 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空间一不符合空间一个点的投影规律。个点的投影规律。“交点交点”是两直线上一对重影点是两直线上一对重影点的投影。的投影。cabb a c d k kdc abdabcd4) 垂直垂直直角的投影特性：直角的投影特性： 若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面若直角有一边平行于
38、投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。上的投影仍为直角。BACabcHa c b abc.3. 点与平面的相对位置点与平面的相对位置面上取点的方法面上取点的方法:baca k b c 利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解abca b k c 4. 直线与平面的相对位置直线与平面的相对位置1) 1) 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于直线平行于平面内平面内的一条直线。的一条直线。2) 2) 直线与平面相交直线与平面相交 投影面垂直线与一般位置投影面垂直线与一般位置平面求交点，平面求交点， 利用交点的共有性和直线的积聚性，采利用交点的共有性和
39、直线的积聚性，采 取平面上取点的方法求解取平面上取点的方法求解。 一般位置直线与特殊位置平面求交点，一般位置直线与特殊位置平面求交点， 利用交点的共有性和平面的积聚性，采利用交点的共有性和平面的积聚性，采 用直线上取点的方法求解。用直线上取点的方法求解。abcmnc n b a m m(n)bm n c b a ac3) 直线与平面垂直直线与平面垂直 若直线垂直于平面，则若直线垂直于平面，则直线的正面投影一定垂直于平直线的正面投影一定垂直于平面上的正平线的正面投影，直线的水平投影一定垂直于平面上的正平线的正面投影，直线的水平投影一定垂直于平面上的水平线的水平投影面上的水平线的水平投影。 5.
40、两平面的相对位置两平面的相对位置1) 1) 两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相交两相交 直线直线分别平行于另一分别平行于另一 平面上的平面上的两相交直线两相交直线，则这两平面相互平行则这两平面相互平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相相 互平行，则它们互平行，则它们具有具有 积聚性积聚性的那组投影必的那组投影必 相互平行。相互平行。c f b d e a abcdeff h abcdefha b c d e 2) 两平面相交两平面相交 两特殊位置平面相交，分两特殊位置平面相交，分 析交线的空间位置，有时析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有可找出两平面的一个共有 点
41、，根据交线的投影特性点，根据交线的投影特性 画出交线的投影。画出交线的投影。 一般位置平面与特殊位置一般位置平面与特殊位置 平面相交，可利用特殊位平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平置平面的积聚性找出两平 面的两个共有点，求出交面的两个共有点，求出交 线。线。aabd(e)ebdh(f)cfchabcdefc f d b e a 3) 两平面垂直两平面垂直一平面通过另一平面的垂线一平面通过另一平面的垂线 。绘制两平面互相垂直的方法：绘制两平面互相垂直的方法： 使一平面使一平面包含另一平面的一条垂线。包含另一平面的一条垂线。 使一平面使一平面垂直于另一平面内的一条直线。垂直于另一平面内的一条直线。
