1、1.4 线性方程与常数变易法线性方程与常数变易法0)()()(xcyxbdxdyxa一阶线性微分方程的区间上可写成在0)(xa) 1 ()()(xQyxPdxdy的连续函数在考虑的区间上是这里假设xxQxP)(),(变为则若) 1 (, 0)(xQ)2()(yxPdxdy称为一阶齐次线性方程)2(称为一阶非齐线性方程则若) 1 (, 0)(xQ一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法解对应的齐次方程01( )(2)dyp x ydx得对应齐次方程解常数变易法求解02) 1 (),(的解使它为的待定函数变为将常数xcxc为任意常数cdxceyxp,)(则的解为令,) 1 ()()(dxxpexcy
2、) 1 ()()(xQyxPdxdydxxpdxxpexpxcedxxdcdxdy)()()()()(代入(1)得dxxpexQdxxdc)()()(积分得)()()(cdxexQxcdxxp的通解为故 ) 1 (30)3()()()(cdxexQeydxxpdxxp注 求(1)的通解可直接用公式(3)例1 求方程1) 1() 1(nxxenydxdyx通解,这里为n常数解: 将方程改写为nxxeyxndxdy) 1(1首先,求齐次方程yxndxdy1的通解从yxndxdy1分离变量得dxxnydy111lnlncxny两边积分得故对应齐次方程通解为nxcy) 1( 其次应用常数变易法求非齐线
3、性方程的通解,代入得为原方程的通解令,) 1)(nxxcynxnnnxexxncxxncxdxxdc) 1() 1)() 1)() 1()(11即xedxxdc)(积分得)(cexcx故通解为为任意常数),() 1(ccexyxnndxxndxxpxccecey) 1(1)(例2 求方程22yxydxdy通解.解:，y的线性方程原方程不是未知函数但将它改写为yyxdydx22 即yxydydx2，yx为自变量的线性方程为未知函数它是以,故其通解为)()()(cdyeyQexdyypdyyp)(22cdyeyedyydyy。ccyy为任意常数),ln(2例3 求初值问题1) 1 (, 1432y
4、xyxdxdy的解.解:先求原方程的通解)()()(cdxexQeydxxpdxxp) 14(323cdxexedxxdxx)1) 14(323cdxxxx)21ln4(23cxxx3432lnxcxxx代入后得将初始条件1) 1 (y23c故所给初值问题的通解为223ln343xxxxy)1) 14(323cdxxxx方程伯努利二)(Bernoulli形如nyxQyxpdxdy)()(的方程,称为伯努利方程.。xxQxP的连续函数为这里)(),(解法:方程变为引入变量变换,110nyz)()1 ()()1 (xQnzxPndxdz求以上线性方程的通解02变量还原03( 雅各布第一 伯努利 )
5、 书中给出的伯努利数在很多地方有用,而伯努利定理Bernoulli (1654 1705)瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 猜度术,则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出版了他的巨著这是组合数学与概率论史上的一件大事, 此外, 他对双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究.例4 求方程yxxydxdy222的通解.解:, 1,nBernoulli方程这是代入方程得令,2yz 21xzxdxdz解以上线性方程得)(121cdxexezdxxdxx321xcx:2为代入得所给方程的通解
6、将yz 3221xcxy例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系. 二 线性微分方程的应用举例电路的电路的Kirchhoff第二定律第二定律:在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零所有支路上的电压的代数和为零. 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 ,RIdtdIL.ERIdtdIL解线性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律, 得到 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,. 0)0(I即.LEIL
7、RdtdI得通解为:REcetItLR)(故当开关K合上后,电路中电流强度为)1 ()(tLReREtI,0)0(得由初始条件IREcREcetItLR)(例2 湖泊的污染设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小时, 求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量.解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为( ),x t考虑 ,t tt内湖泊中盐酸的变化.( )()( )20 3.081000400000020 x tx ttx tttt 因此有10061.6, (0)0400.0002dxxxdtt该方程有积分因子50100( )exp()(40000.02 )4000002tdttt两边同乘以( ) t后,整理得5050 (40000.02 ) 61.6(40000.02 )dxttdt积分得50513080(40000.02 )(4000.02 )51txtC利用初始条件得513080(4000)51C 故5030804000( )40000.024000() .5140000.02x ttt(8760)223824).(kgx
