1、第第8 8章章 泊松过程泊松过程1、泊松分布的定义泊松分布的定义2、泊松分布的性质泊松分布的性质3、非齐次、非齐次泊松过程泊松过程4、复合、复合泊松分布泊松分布泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程,它们在随机过程的理论和应用中都有重要的地位它们在随机过程的理论和应用中都有重要的地位,它们都属于所谓的独立增量过程它们都属于所谓的独立增量过程.一、一、 独立增量过程独立增量过程(independent increment process)X(t)-X(s),0st 为随机过程在为随机过程在 (s , t 的增量的增量.如果对如果对n个增量个增量X(t1)-X
2、(t0),X(t2)-X(t1), ,X(tn)-X(tn-1)相互相互 给定二阶矩过程给定二阶矩过程 X(t),t0 我们称随机变量我们称随机变量任意选定的正整数任意选定的正整数n和任意选定的和任意选定的0t0t1t2tn,独立独立,则称则称 X(t),t0为独立增量过程为独立增量过程.直观地说直观地说,它具有它具有“在互不重叠的区间上在互不重叠的区间上,状态状态的增量是相互独立的的增量是相互独立的”这一特征这一特征.的分布所确定的分布所确定.于时间差于时间差t-s(0st),而不依赖于而不依赖于 t 和和 s 本身本身(事实上事实上,令令h= - s即知即知).当增量具有平稳性时当增量具有
3、平稳性时,称相应的独立称相应的独立增量过程是齐次的或时齐的增量过程是齐次的或时齐的.X(s+h)与与X(t)-X(s)具有相同的分布具有相同的分布,则称增量具有则称增量具有特别特别,若对任意的实数若对任意的实数h和和0 s+ht+h,X(t+h) -对于独立增量过程对于独立增量过程,可以证明可以证明:在在X(0)=0的条件下的条件下,它的有限维分布函数可以由增量它的有限维分布函数可以由增量 X(t) X(s) (0st) 平稳性平稳性.这时这时,增量增量X(t)-X(s)的分布函数实际上只依赖的分布函数实际上只依赖在在X(0)=0和方差函数为已知的条件下和方差函数为已知的条件下,独立增量过程协
4、方差函数可用方差函数表示为独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为:2( , )(min( , )XXCs ts t1、 泊松过程举例泊松过程举例 （Poisson process ）现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述,大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画.泊松过程是随机建模的重要基石泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程也是学习随机过程理论的重要直观背景理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上著名的例子包括盖格计数器上的粒子流的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点二次大战时伦敦空袭的弹着点,
5、电话总机所电话总机所接到的呼唤次数接到的呼唤次数,交通流中的事故数交通流中的事故数,某地区地震发生某地区地震发生的次数的次数,细胞中染色体的交换等等细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗这类变化过程可粗略地假定为有相同的变化类型略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机我们所关心的是随机事件的数目事件的数目,而每一变化可用时间或空间上的一个点而每一变化可用时间或空间上的一个点来表示来表示.这类过程有如下两个特性这类过程有如下两个特性:一是时间和空间一是时间和空间上的均匀性上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系二是未来的变化与过去的变化没有关系.我们将基于这些性质来建立泊松过程的模
6、型我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.1.计数过程计数过程:设设), 0),(TttNXT为一随机过程为一随机过程,如果如果N(t)是取非负整数值的随机变量是取非负整数值的随机变量,且满足且满足st时时,N(s) N(t),则称则称), 0),(TttNXT为计数过程为计数过程(counting process).若用若用N(t)表示电话交换台在时间表示电话交换台在时间0,t中接到中接到电话呼叫的累计次数电话呼叫的累计次数,则则N(t) ,t0就是一计数过程就是一计数过程.对电话呼叫次数进行累计的计数过程对电话呼叫次数进行累计的计数过程,这也就是计数这也就是计数计数对象不仅仅是来到的电话呼
7、叫计数对象不仅仅是来到的电话呼叫,也可以是到也可以是到某商店的顾客数某商店的顾客数,到某机场降落的飞机数到某机场降落的飞机数,某放射性某放射性物质在放射性蜕变中发射的粒子数物质在放射性蜕变中发射的粒子数,一次足球赛一次足球赛的进球数的进球数,某医院出生的婴儿数等等某医院出生的婴儿数等等,总之总之,对某种对某种过程名称的由来过程名称的由来.对对 0st,N(t)-N(s)就表示在就表示在(s,t中中发生的电话呼叫次数发生的电话呼叫次数.定义定义1 称随机过程称随机过程 N(t),t 0 为计数过程为计数过程,若若N(t)N(t)表示到表示到时刻时刻t为止已发生的为止已发生的“事件事件A”的总数的
8、总数,且且N(t)满足下列条件满足下列条件:(1) N(t) 0(2)N(t)取正整数取正整数;(3)若若st,则则N(s)N(t);(4)当当st,N(t)-N(s)等于区间等于区间(s,t中发生的中发生的“事件事件A”的次数的次数.若若t1t2 t30),事件事件A发生的次数发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差仅与时间差s有关有关,而与而与t无关无关,则计数过程则计数过程N(t)是平稳独是平稳独立增量过程立增量过程.随机事件的来到数都可以得到一个计数过程随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数
9、过程.计数过程的一个典型的样本函数如图计数过程的一个典型的样本函数如图S2S3S4S5第一个信号到达第一个信号到达S1S6第二个信号到达第二个信号到达第三个信号到达第三个信号到达 N(t)t0电话呼叫模型电话呼叫模型将增量将增量ttttNtNtN0000),()()(它表示时间间隔它表示时间间隔(t0,t内出现的质点数内出现的质点数.“在在 (t0,t内内出现出现k个质点个质点”,即即N(t0,t)=k是一随机事件是一随机事件,其概率其概率记为记为 Pk(t0,t)=PN(t0,t)=k,k=0,1,2, .2.泊松计数过程过程泊松计数过程过程 : N(t) ,t0 称为强度为称为强度为 的的
10、泊松过程泊松过程,如果满足条件如果满足条件:(2) N(0)=0;, t)(1),(),(1tottttNPtttP(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性在不相重叠的区间上的增量具有独立性;(3) 对于充分小的对于充分小的其中常数其中常数 0 ,称为过程称为过程N(t)的强度的强度. (亦即在充分小亦即在充分小的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长度成正比度成正比)(4) 对于充分小的对于充分小的22)(),(),(jjjtojtttNPtttPtt亦即对于充分小的,(ttt在现一个质点的概率个以上质点的概率与出个或出现22.相比可以忽略不计
11、在泊松过程中在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机相应的质点流即质点出现的随机时刻称为强度时刻称为强度为为 的泊松流的泊松流.定义定义2 2 如果取非负整数值的计数过程如果取非负整数值的计数过程N(t),tN(t),t 00满足：满足：1.N(0)1.N(0)0 0；2.2.具有独立增量；具有独立增量；3.3.对任意对任意0 0 st,N(t)-N(s)st,N(t)-N(s)服从参数为服从参数为 (t-s)(t-s)泊松分布，泊松分布，则称则称N(t),tN(t),t 00为参数为参数( (或平均率、强度或平均率、强度) )为为 的的( (齐次齐次) )泊松过程。泊松过程。 泊松过程的第
12、二种定义方式泊松过程的第二种定义方式 注注:由条件由条件(3)知知,泊松过程是平稳增量过程且泊松过程是平稳增量过程且EX(t)= t.t.由于由于, , =EX(t)/t=EX(t)/t表示单位时间内事件表示单位时间内事件A A发生的平均个数发生的平均个数, ,故称故称 为此过程的速率或强度为此过程的速率或强度() (),0,1,2,!kt stsPN(t)- N(s)kekk定义定义3 3 如果取非负整数值得计数过程如果取非负整数值得计数过程N(t),tN(t),t 00满足下列满足下列条件：条件： 泊松过程的第一种定义方式泊松过程的第一种定义方式 1.N(0)1.N(0)0 0；2.2.具
13、有独立增量；具有独立增量；3.PN(h)=13.PN(h)=1 h+0(h)h+0(h)；4.PN(h)4.PN(h) 220(h)0(h)则称则称N(t),tN(t),t 00为参数为参数( (或平均率、强度或平均率、强度) )为为 的的( (齐次齐次) )泊泊松过程。松过程。例例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令令X(t)表表示电话交换台在示电话交换台在(0,t内收到的呼唤次数内收到的呼唤次数,则则X(t),t 0满足定义满足定义3的条件的条件, 故故X(t), t 0是一个泊松过程是一个泊松过程.例例2 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客
14、考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记若记X(t)为在时间为在时间0,t内到达售票窗口的旅客数内到达售票窗口的旅客数,则则X(t),t 0为一泊松过程为一泊松过程定理定理泊松过程的定义泊松过程的定义2与定义与定义3是等价的。是等价的。证明证明2 23 3：条件：条件a)a)与与1)1)相同。条件相同。条件b)b)可由可由2)2)和和3)3)直接得到。直接得到。PN(h)=1PN(h)=1PN(h)-N(0)=1PN(h)-N(0)=1 h1-h1- h+o(h)h+o(h) h+o(h)h+o(h)即即c)c)。即即d)d)。2()( )2!khkhP N hek2()( ) 1( )( )
15、2!ho hho ho h3 32 2：条件：条件1)1)与与a)a)相同。条件相同。条件2)2)由由b)b)直接得到。直接得到。只要证只要证明：明：N(t)(tN(t)(t 0 0) )服从参数为服从参数为 t t泊松分布。泊松分布。设设p pk k(t(t) )PN(t)=kPN(t)=k，利用归纳法证明：，利用归纳法证明：(1)(1)k=0k=0，p p0 0(t+h)(t+h)PN(t+h)=0PN(t+h)=0PN(t)=0,N(t+h)-N(t)=0PN(t)=0,N(t+h)-N(t)=0PN(t)=0PN(t+h)-N(t)=0PN(t)=0PN(t+h)-N(t)=0p p0
16、 0(t)1-(t)1- h+o(h)h+o(h)因为因为解得：解得：p p0 0(t)(t)e e- - t t。, 2 , 1 , 0k,e!k) t() t (ptkk 10)0(NP)0(p) t (p) t ( p0h000得，得，令令(2)(2)k k 1 1p pk k(t+h(t+h) )PN(t+h)=kPN(t+h)=kp pk k(t)1-(t)1- h+o(h)+ph+o(h)+pk-1k-1(t)(t) h+o(h)+o(h)h+o(h)+o(h)， k0jjkN(t)h)N(t, jPN(t) k0jjkN(h)P jPN(t) 2k0jjkj11k0kk0jjkj
17、(h)(t)pp(h)(t)pp(h)(t)pp(h)(t)pp,h)h(o) t (p) t (ph) t (p)ht (p1kkkk ), 2 , 1 , 0k( ,0k)0(NP)0(p) t (p) t (p) t ( p0hk1kkk 得，得，令令k=1k=1时时, ,解得：解得：p p1 1(t)(t) tete- - t t，所以，所以k=1k=1时结论成立。时结论成立。解解得得结论成立。结论成立。由归纳法知，对一切由归纳法知，对一切k=0,1,2,k=0,1,2,，结论成立。，结论成立。得证得证再由平稳独立增量性质，对一切再由平稳独立增量性质，对一切0 0 st,s0,N(t)
18、 ( t),PN(t)=k2 泊松分布的一维特征函数泊松分布的一维特征函数( )00(1)()()( )!iuiukiukiuN tiukttkktett etteuE eeeekkeee3 协方差函数和相关函数协方差函数和相关函数协方差函数协方差函数B(s,t) min(s,t)，相关函数相关函数R(s,t) min(s,t) 2st。证明证明R(s,t)EX(s) X(t)EX(s)X(t)- X(s)+ X(s) st发生当且仅当泊松过程在区间发生当且仅当泊松过程在区间0,t内没有事件发生内没有事件发生,T1表示第一个到达表示第一个到达因而因而 PT1t=PX(t)=0=e- t,即即所
19、以所以T1是服从参数为是服从参数为 的指数分布的指数分布. .利用泊松过程的独立利用泊松过程的独立, ,平平稳增量性质稳增量性质, ,有有 PTPT2 2t|Tt|T1 1=s=s=P=P在在(s,s+t(s,s+t内没有事件发生内没有事件发生|T1=s|T1=s=P=P在在(s,s+t(s,s+t内没有事件发生内没有事件发生 =PX(t+s)-X(s)=0=PX(t+s)-X(s)=0=PX(t)-X(0)=0= =PX(t)-X(0)=0= e- t所以所以T2也是服从参数为也是服从参数为 的指数分布的指数分布. .,11)(111tTetTPtTPtF对于任意对于任意n0和和t,s1,s
20、2,sn-1 0,有有PTnt|T1=s1,Tn-1=sn-1 =PX(t+s1+ sn-1)-X(s1+s2+ sn-1)=0 =PX(t)-X(0)=0= e- t所以对任一所以对任一Tn(n0),其分布是参数为其分布是参数为 的指数分布的指数分布.定理定理3 设设N(t),t 0是是参数为参数为 的泊松过程，的泊松过程，设设N(t),t 0是是参数为参数为 的泊松过程，的泊松过程，Wn,n=1,2,为等待时间序列，则为等待时间序列，则Wn (n, )，即概率密度为：，即概率密度为：0, 00,)!1()(1ttetntftnn下面用下面用Wn表示第表示第n个顾客的到达时间，则个顾客的到达
21、时间，则 Wn = X1 + X2 + + Xn , n 1称称 Wn 为直到第为直到第 n 个顾客出现的等待时间。个顾客出现的等待时间。证明证明: 因事件因事件Wn t等价于事件等价于事件N(t) n,在在0,t)内事件至少内事件至少出现出现n次次,所以所以Wn的分布函数为的分布函数为于是于是Wn的概率密度的概率密度nktkntektntNPtWPtF. 0,!)()()(nknktktkektekttFtf!)()!1()()( )(1)0( ,)!1(!)()!1()()!1()(1111tetnektektenttnntnknkktntn当当ta。由定理由定理2知知X2服从参数为服从参
22、数为 的指数分布，故的指数分布，故2ttaaaP Xaedtee 等待时间等待时间所以平均等待时间为aXaXXaS2220)1 (1)(0aaxeadxexaES4 到达时间的条件分布到达时间的条件分布假设在时间假设在时间0,t内事件内事件A已经发生一次，我们需要确定这一事已经发生一次，我们需要确定这一事件到达时间件到达时间W1的分布。由于的分布。由于泊松过程是一个平稳独立增量过程，泊松过程是一个平稳独立增量过程，因此我们认为因此我们认为W1落在落在0,t区域的小时间段是服从均匀分布的。区域的小时间段是服从均匀分布的。事实上事实上,对对st有有PW1 s|N(t)=1,1)(0)()(1)(1
23、)(0)()(, 1)(1)(1)(,)(1tsteesetNPsNtNPsNPtNPsNtNsNPtNPtNsWPtsts即分布函数为即分布函数为分布密度函数为分布密度函数为;, 1,0 ,/, 0, 0)(1)(|1tststsssFtNW其它, 0,0 ,1)(1)(|1tstsftNW一名服务员一名服务员,且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20分钟的指数分布分钟的指数分布,则到中午则到中午12:00为止平均有多少人已经离开为止平均有多少人已经离开,例例4: 设从早上设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务开始有无穷多的人排队等候服务,设
24、只有设只有解解: 由所设条件可知由所设条件可知,离去的人数离去的人数N(t)是强度是强度=3的的泊松泊松过程过程(这里以小时为单位这里以小时为单位)。设。设8:00为零时刻，则为零时刻，则!)43()0()4(43nenNNPn其均值为其均值为1243)(ttNE即到即到12：00为止，离去的人平均是为止，离去的人平均是12名。名。已有已有9个人接受服务的概率是多少个人接受服务的概率是多少?而有而有9个人接受过服务的概率是个人接受过服务的概率是!9)12(9)4(912eNP3 非齐次泊松过程非齐次泊松过程定义定义4 如果计数过程如果计数过程N(t),t 0满足下列条件：满足下列条件：1.N(
25、0)0；2.N(t),t 0是独立增量过程；是独立增量过程；3.PN(t+ t)-N(t)=1 (t) t+0( t)；4.PN(t+ t)-N(t) 20( t)则称则称N(t),t 0为参数为参数(或平均率、强度或平均率、强度)为为 (t)的的非齐次泊松过程。特别，当非齐次泊松过程。特别，当 (t)= 时，即为齐次时，即为齐次泊松过程。泊松过程。注注1：定义中增量仅具有相互独立性，不具有增量平稳性：定义中增量仅具有相互独立性，不具有增量平稳性质，所以称为非平稳，或非齐次。质，所以称为非平稳，或非齐次。此处的强度此处的强度 与时间与时间t有关，意味着这个计数过程有关，意味着这个计数过程一定与
26、时间起点有关系，或者说在等长的时间间隔里，由一定与时间起点有关系，或者说在等长的时间间隔里，由于时间的起点不同，计数过程的概率特性也有所不同，因于时间的起点不同，计数过程的概率特性也有所不同，因此这种计数过程不再具有增量平稳性。此这种计数过程不再具有增量平稳性。 ( ) t注注2 2：在定义中令：在定义中令 ，且增加计数过程的增量，且增加计数过程的增量平稳性，则可以退化为标准泊松过程平稳性，则可以退化为标准泊松过程 平稳泊松过程平稳泊松过程 。 ( ) t常数定理定理5 5若过程若过程N(t),tN(t),t 00是非齐次泊松过程，则在时是非齐次泊松过程，则在时间间距间间距tt0 0,t,t0
27、 0+ +t) )内事件内事件A A出现出现k k次的概率为：次的概率为：式中式中, 2 , 1 , 0k,e!k )m(tt)m(tkt)-N(t)PN(t )m(tt)m(tk00000 t0ds) s () t (mm(t)称为非平稳泊松过程的强度，称为非平稳泊松过程的强度，N(t)表示表示0, t内到达的数内到达的数量，则量，则m(t)表示表示0, t内平均到达数量。取内平均到达数量。取t=0得到：得到： ( ) ( ) ( ),0,1,2,!km tm tP N tkekk例例某镇有一小商店，每日某镇有一小商店，每日8:008:00开始营业。从开始营业。从8:008:00到到11:0
28、011:00平平均顾客到达率线性增加，在均顾客到达率线性增加，在8:008:00顾客平均到达顾客平均到达5 5人人/ /小时；小时；11:0011:00到达率达最高峰到达率达最高峰2020人人/ /小时。从小时。从11:0011:00到到13:0013:00平均顾平均顾客到达率为客到达率为2020人人/ /小时。从小时。从13:0013:00到到17:0017:00平均顾客到达率线平均顾客到达率线性下降，性下降，17:0017:00顾客到达率为顾客到达率为1212人人/ /小时。假设在不相交的小时。假设在不相交的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，试问在时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立
29、的，试问在8:308:30到到9:309:30时间内无顾客到达商店的概率为多少？在这段时间时间内无顾客到达商店的概率为多少？在这段时间机内到达商店的顾客的均值为多少？机内到达商店的顾客的均值为多少？解解:设设8:008:00为为t=0t=0，11:0011:00为为t=3t=3，13:0013:00为为t=5t=5，17:0017:00为为t=9t=9。于是，顾客到达率是周期为于是，顾客到达率是周期为9 9的函数：的函数： (t)(t) (t-9)(t-9)根据题意，在根据题意，在0,t)0,t)内到达的顾客数内到达的顾客数N(t),tN(t),t 00是一是一个非齐次泊松过程。个非齐次泊松过
30、程。在在8:308:30到到9:309:30无顾客到达商店的概率为无顾客到达商店的概率为在在8:308:30到到9:309:30到达商店的顾客均值概率为到达商店的顾客均值概率为 9t5),5t (2205t3,203t0, t55) t (10dt) t55(dt) t ()5 . 0(m)5 . 1(m0eeee)5 . 1 , 5 . 0(p5 . 15 . 05 . 15 . 0 10dt) t55(dt) t55()5 . 0(m)5 . 1(m5 . 005 . 10 3 非平稳泊松过程的均值和方差非平稳泊松过程的均值和方差设设N(t) 是强度为是强度为m(t)的非平稳泊松过程的非平
31、稳泊松过程，由于，由于泊松分布的泊松分布的均值和方差相等，满足：均值和方差相等，满足： 例例 设设N(t)是一个是一个非齐次泊松过程，其强度为非齐次泊松过程，其强度为求求1 增量增量 的概率分布的概率分布 2 与与( )( )( )E N tD N tm t1( )(1cos)02ttt()( ) N ttN t( )E N t( )D N t解：由定理解：由定理3.1知：增量知：增量 的概率分布是的概率分布是其中其中所以所以()( )N ttN t()( )()( )exp ()( )!km ttm tP N ttN tkm ttm tk1111()( )(sin()(sin)22 m tt
32、m ttttttt00111( )( )(1cos)(sin)22ttm ts dss dstt11cos()sin)222 tttt2 2 因为因为N N( (t t) )服从参数为服从参数为的泊松分布，因此满足：的泊松分布，因此满足：011( )( )(sin)2tm ts dstt11( )( )(sin)2E N tD N ttt4 复合泊松过程复合泊松过程设设N(t),t 0是是参数为参数为 的泊松过程，的泊松过程，Yn，n=1,2,是相互独立同分布的随机变量序列，且是相互独立同分布的随机变量序列，且N(t)与与Yn相相互独立，令互独立，令0t,Y) t (X) t (N1nn 称称
33、X(t),X(t),t t 00为复合泊松过程。为复合泊松过程。复合泊松过程性质复合泊松过程性质定理：设定理：设 是复合的泊松过程是复合的泊松过程( )1( ),0N tnnX tY t则有则有 (1) 是独立增量过程是独立增量过程 (2) 的特征函数的特征函数 ，其中，其中( ),0X t t ( )X t( )( )exp( ) 1X tYgut gu 是随机变量是随机变量 的特征函数字。的特征函数字。 (3) 若若 ，则，则( )Ygu1Y21()E Y 211( )(),( )()E X ttE YD X ttE Y1( )101()1() 1112( )( )( )00.()1,2,
34、.,()()0( )( )()|( ) ( )|( )kkNtkkmN tkkiiN tikkkkiuX tX tiuX tniuYtttX ttYkmYX ttX ttX tguE eE eN tn P N tnE eN t(1) 令由于是相互独立的且同分布的随机变量,因此E是一个独立增量的随机过程.(2)0010()!()exp!()( )!exp( )1ntnnNtknknntYnYtn entEiuYentguent gu( )111111122( ) ( )|( )( )|( )|( )|( )( ) ( )|( )( ) ( )|( )( ) ( )( )( )N tiinniiiiE X tE E X tN tE X tN tnEYN tnEYN tnEYnE YE X tE E X tN tE N t E YtE YD X tN tN t D YD X tEXtEX t(3)由条件期望的性质所以类似地222211121121 ( )|( ) ( )|( ) ( )|( )( ( )|( ) ( )( )()( )()()()()E E XtN tE E X tN tE D X tN tE X tN tEN t EYE N t D YD N t E YtD YtE YtE Y习题习题
