1、“杨辉三角杨辉三角”与二项式系数的性质与二项式系数的性质 把（把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，展开式的二项式系数取出来，当当n依次取依次取1，2，3，时，可列成下表：时，可列成下表：(a+b)11 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1上面的表叫做上面的表叫做二项式系数表二项式系数表(杨辉三角杨辉三角)1 在我国在我国, ,很早就很早就有人研究过二项有人研究过二项式系数表式系数表, ,南宋南宋数学家杨辉于数学家杨辉于12611261年年在其所著在其所著的的详解九
2、章算详解九章算法法中就有出现中就有出现. . 欧洲认为是欧洲认为是16541654年帕斯卡发现的，年帕斯卡发现的，称为称为“帕斯卡三帕斯卡三角角”2ppt课件 (a+b)1 1 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)61 6 15 20 15 6 1观察二项式系数表，寻求其规律：观察二项式系数表，寻求其规律：31015 思考思考 1, 10nnnCC观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点？(1)(1)对称性对称性: : 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二
3、项式系数相等的两个二项式系数相等3ppt课件(2)(2)递推性递推性: : 除除1 1以外的每一个数都以外的每一个数都等于它肩上两个数的和等于它肩上两个数的和. . 性质性质 (3)(3)各二项式系数的和各二项式系数的和. . 0122rnnnnnnnCCCCC 从第一项起至中间项从第一项起至中间项, ,二项式系数逐渐增大二项式系数逐渐增大, ,随后又逐渐减小随后又逐渐减小. .当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 的二项式系数的二项式系数 取得取得 最大值最大值 ；当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 二项式系数二项式系数 和和 相等，相等，且同且同时取得最大值。时取得最
4、大值。 Cnn21 Cnn212nnC即即 和和Tn121 Tn121 (a+b)1 1 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)61 6 15 20 15 6 1(4)(4)增减性与最大值增减性与最大值. . 即即 Tn12 4ppt课件 试证明在试证明在( (a+ +b) )n的展开式中，奇数项的二项式系的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和数的和等于偶数项的二项式系数的和. .即证：即证：021312nnnnnCCCC 证明：在展开式证明：在展开式 中中 令令a=1，b=1得得0
5、11nnnnnnnC aC abC b 0123(11)( 1)nnnnnnnnCCCCC 02130nnnnCCCC即即0213nnnnCCCC 启示：在二项式定理中，对启示：在二项式定理中，对a, ,b赋予一些特定的值，赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法赋值法. . 思考思考1 5ppt课件题型一题型一 求二项展开式中有关系数和的问题求二项展开式中有关系数和的问题(整理整理) 012999999:12512.CCCC解二项式系数之和为例例1:在二项式在二项式(2x-3y)9展开式中展开式中,求求:(1)二项式系数之和二项式系数之和;
6、(2)各项系数之和各项系数之和;(3)所有偶数项系数之和所有偶数项系数之和;(4)所有项系数绝对值的和所有项系数绝对值的和. 998729012990129:2x3ya xa x ya x ya y . 2xy1aaaa2 1 3 11. 解 设令得各项系数之和为6ppt课件 012990128913901290129999: 32,aaaa1x1,y1:aaaaa5aaa41:aaa51.251aaaaa5 .(3.)2 解由知令得二式相减得所有偶数项系数之和为方法由知方法方法2:|a0|+|a1|+|a2|+|a9|,即为即为(2x+3y)9展式中各项系数展式中各项系数之和之和,令令x=y
7、=1得得|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=59.即所有项系数绝对值的和为即所有项系数绝对值的和为59.7ppt课件变式训练变式训练1:若若(1-2x+3x2)8=a0+a1x+a2x2+a14x14+a15x15+a16x16.求求:(1)a1+a2+a16;(2)a0+a2+a4+a14+a16.解解:(1)令令x=0,得得a0=1.令令x=1,得得a0+a1+a2+a16=28=256.a1+a2+a3+a16=255. (2)由由(1)知知,a0+a1+a2+a3+a15+a16=28,令令x=-1得得a0-a1+a2-a3+a14-a15+a16=68,二式相加得二式相加得2(a
8、0+a2+a4+a14+a16)=28+68,a0+a2+a4+a14+a168826.28ppt课件题型二题型二 求二项展开式中有关最大系数问题求二项展开式中有关最大系数问题例例2:(1+2x)n的展开式中第的展开式中第6项与第项与第7项的系数相等项的系数相等,求求展开式中展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项二项式系数最大的项和系数最大的项.5655656678454rr 1rr 15648186818867:T2x,T2x,C 2 n8.12x,T2x1120 x .r1,2C25r622r5r6T1792x ,T17922x .nnnnrrrrCCCCCCC解依题意有的展开式中 二项
9、式系数最大的项为设第项系数最大 则有 或。系数最大的项为9ppt课件22*89()6433nnnN能被整除。证：例求、 余数是余数是1 1， 所以是所以是星期六星期六例例4、今天是星期五，那么今天是星期五，那么 天后的这天后的这一天是星期几？一天是星期几？1008三、整除问题三、整除问题10ppt课件 例例 5:5:求求 的展开式中的展开式中 项项 的系数的系数. .65(1) (21)xx6x解解62666()rrrrCxC x6(1)x 的通项是的通项是55555(2) ( 1 )( 1 )2sssssssC xCx 5(21)x的通项是的通项是1622556( 1) 2rssrssC C
10、x 65(1) (21)xx的通项是的通项是65(1) (21)xx11ppt课件由题意知由题意知16226rs 24(06,05)rsrs02rs21rs40rs解得解得3206252) 1(CC所以所以 的系数为的系数为: :6x426152) 1(CC5046052) 1(CC640 例题点评例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算个通项之积比较方便运算12ppt课件项的系数的展开式中求在练习562)32(1.xxx (-168)的展开式中的常数项为52) 11)(2(xx1213ppt课件题型题型 证明恒等式证明恒等式1
11、23119232nnnnnnCCCnCn例求证析析: :本题的左边是一个数列但不能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和. .因为因为 由此分析求解由此分析求解rnnrnnnnnnnCCCCCC110,01231:023(1)nnnnnnnnnSCCCCnCnC 解 设nnnnnnnnCCCnCnnCS0) 2() 1(1210两式相加两式相加)(21210nnnnnnnnCCCCCnSnn 212nnnS112knknnCkC用此公式证明方法14ppt课件 求证：求证： 012123122nnnnnnCCCnCn 证明：证明： 0122231nnnnnCCCnC 01201123112n
12、nnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC 0122()nnnnnnCCCC 22nn 012123112nnnnnnCCCnCn 倒序相加法倒序相加法 思考思考15ppt课件123123( 1)0nnnnnnCCCnC 求证求证：!)!2()()()()(2222120nnnCCCCnnnnn求证：的系数相等左右两边利用nnnnxxxx)1 () 1()1 (16ppt课件例例2020证明证明： 3)11 (2nn1*nNn且当2111111)11 (22221 nCnCnCnnnnn证明证明1(1)(1) 111!kknkkkn nn knCnknknk 通项通项nnnnnnnCnCnCn
13、1111)11 (221 122121212!1! 31! 212 nn321121n3)11 (2nn所以所以题型题型 证明不等式证明不等式利用二项式定理证明不等式利用二项式定理证明不等式, ,将展开式进行合理放缩将展开式进行合理放缩17ppt课件探究：斜行规律探究：斜行规律（一）（一）第一条斜线上：第一条斜线上：16C 第二条斜线上：第二条斜线上：26C 第三条斜线上：第三条斜线上：36C 第四条斜线上：第四条斜线上：46C 猜想：猜想：在杨辉三角中，第在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）条斜线（从右上到左下）上前上前n个数字的和，等于个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+
14、3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第第m+1条斜线上的第条斜线上的第n个数个数.18ppt课件1 11 11 1 1 1 （第第1 1条斜线条斜线 ）1 14 41010 （第第4 4条斜线条斜线 ）31nC1 13 36 6 （第第3 3条斜线条斜线 ）21nC1 12 23 3 （第第2 2条斜线条斜线 ）11nC (nr)rnrrrrrrCCCC1211nC2nC3nC4nC1rnC?19ppt课件结论结论1：杨辉三角中，第杨辉三角中，第m条斜条斜(从右上从右上到左下到左下)上前上前n个数字的和，等于第个数字的和，等于第m+1条斜线上第条斜线上第n个数个数)(112
15、1rnCCCCCrnrnrrrrrr即即)(11122110rnCCCCCrnnrnnrrr即即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第中，第m条斜条斜(从左上到右下从左上到右下)上前上前n个数字的和个数字的和，等于第，等于第m+1条斜线上第条斜线上第n个数。个数。20ppt课件第第1行行 1 13第第5行行 1 5 10 10 5 1第第0行行1第第2行行 1 2 1第第4行行 1 4 6 4 1 125第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第3行行 1 3 3 118132134（二）（
16、二）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第第8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 121ppt课件 中世纪意大利数学家中世纪意大利数学家斐波那契斐波那契的传世之作的传世之作算术之法算术之法中中提出了一个饶有趣味的问题：提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年
17、内可以繁殖成多少对兔子？无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？ 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 22ppt课件358 第第0行行4101312679111214151 1）杨辉三角中的第）杨辉三角中的第1 1，3 3，7 7，1515，行，即第行的行，即第行的各个数字为奇数？各个数字为奇数？2 2n n-1-1除两端的除两端的1 1之外都是偶数之外都是偶数. . 则第则第2n行的数字有什么特点？行的数字有什么特点？探究：横行规律探究：横行规律23ppt课件高考真题高考真题：（07湖南理湖南理15）将杨辉三角中的奇数换成将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成偶数换成0，得到
18、如图所示的，得到如图所示的01数表，从上往下数：数表，从上往下数：第一次全行的数都为第一次全行的数都为1 的是第一行，第二次全行的数都的是第一行，第二次全行的数都为为1 的是第的是第3行，行，第第n次全行的数都为次全行的数都为1 的是第的是第 行行第一行第一行 1 1第二行第二行 1 0 1第三行第三行 1 1 1 1 第四行第四行 1 0 0 0 1第五行第五行 1 1 0 0 1 1 2n124ppt课件题型三题型三 与杨辉三角有关的问题与杨辉三角有关的问题例例3:如图所示如图所示,在杨辉三角中在杨辉三角中,斜线斜线AB上方箭头所示的数组成上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列一个锯齿形的数
19、列:1,2,3,3,6,4,10,记这个数列的前记这个数列的前n项项和为和为S(n),则则S(16)等于等于( )25ppt课件2122212339191212122233991112222392392111232222392339231010:,234,1,.()()()()1164.516S 16CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 解析 由图知 数列中的首项是第 项是第 项是第 项是第项是第项是26ppt课件变式训练变式训练:如下图如下图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第第_行中从左到右第行中从左到右第14与第与第15个数的比为个数
20、的比为2：3.27ppt课件13142,3!14!(14)!2,13!(:13)!31421334.3nnnCCnnnnn解析 由“杨辉三角”与二项式系数之间的关系可得即即解得答案答案:3428ppt课件 在在(3x - -2y)20的展开式中，求：的展开式中，求：(1)(1)二项式二项式系数最大的项系数最大的项;(2);(2)系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项;(3);(3)系数最大的项系数最大的项; ; 思考思考 29ppt课件解解:(2):(2)设系数绝对值最大的项是第设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项项. .则则2011912020201211202032323232rrrrrr
21、rrrrrrCCCC 即即 3(r+1)2(20- -r) 得得 2(21- -r)3r所以当所以当r=8时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为227855r812812892032TCx y30ppt课件（3）因为系数为正的项为奇数项，故可）因为系数为正的项为奇数项，故可设第设第2r-1项系数最大。（以下同项系数最大。（以下同2） r=5. 即即 3(r+1)2(20-r) 得得 2(21-r)3r所以当所以当r=8时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为528527 r812812820923yxCT31ppt课件422601260126121_5._ .xxaa xa xa xaaaa设多项式， 则，1161解析解析02401264126()0.111 (2 1 1)=211613162.xxaaaaaaaa 赋值法 令得令得，故32ppt课件
